Funkcija i proučavanje njezinih značajki jedno je od ključnih poglavlja moderne matematike. Glavna komponenta bilo koje funkcije su grafovi koji prikazuju ne samo njezina svojstva, već i parametre derivacije ove funkcije. Pogledajmo ovu zeznutu temu. Dakle, koji je najbolji način za pronalaženje maksimalne i minimalne točke funkcije?
Funkcija: Definicija
Svaka varijabla koja na neki način ovisi o vrijednostima druge vrijednosti može se nazvati funkcijom. Na primjer, funkcija f(x2) je kvadratna i određuje vrijednosti za cijeli skup x. Recimo da je x=9, tada će vrijednost naše funkcije biti jednaka 92=81.
Funkcije dolaze u mnogo različitih tipova: logičke, vektorske, logaritamske, trigonometrijske, numeričke i druge. Takvi izvanredni umovi kao što su Lacroix, Lagrange, Leibniz i Bernoulli bili su angažirani u njihovom proučavanju. Njihovi spisi služe kao bedem u modernim načinima proučavanja funkcija. Prije pronalaska minimalnih točaka, vrlo je važno razumjeti samo značenje funkcije i njezine derivacije.
Izvedba i njezina uloga
Sve funkcije su uključeneovisno o vrijednostima njihovih varijabli, što znači da svoju vrijednost mogu promijeniti u bilo kojem trenutku. Na grafikonu će to biti prikazano kao krivulja koja se ili spušta ili diže duž y-osi (ovo je cijeli skup "y" brojeva duž vertikale grafikona). I tako je definicija točke maksimuma i minimuma funkcije upravo povezana s tim "oscilacijama". Objasnimo kakav je to odnos.
Izvod bilo koje funkcije crta se na grafu kako bi se proučile njezine glavne karakteristike i izračunala brzina promjene funkcije (tj. mijenja svoju vrijednost ovisno o varijabli "x"). U trenutku kada se funkcija povećava povećat će se i graf njezine derivacije, ali u svakoj sekundi funkcija može početi opadati, a zatim će se graf derivacije smanjiti. One točke u kojima derivacija ide od minusa do plusa nazivaju se minimalne točke. Da biste znali pronaći minimalne bodove, trebali biste bolje razumjeti koncept izvedenice.
Kako izračunati izvedenicu?
Definiranje i izračunavanje derivacije funkcije podrazumijeva nekoliko koncepata iz diferencijalnog računa. Općenito, sama definicija derivacije može se izraziti na sljedeći način: ovo je vrijednost koja pokazuje brzinu promjene funkcije.
Matematički način određivanja za mnoge studente čini se kompliciranim, ali zapravo je sve puno jednostavnije. Samo trebate slijeditistandardni plan za pronalaženje derivacije bilo koje funkcije. Sljedeće opisuje kako možete pronaći minimalnu točku funkcije bez primjene pravila diferencijacije i bez pamćenja tablice derivacija.
- Možete izračunati derivaciju funkcije pomoću grafa. Da biste to učinili, trebate prikazati samu funkciju, a zatim uzeti jednu točku na njoj (točka A na sl.) Nacrtajte liniju okomito dolje na os apscise (točka x0) i u točki A nacrtajte tangentu na grafički prikaz funkcije. Os apscise i tangenta tvore kut a. Da biste izračunali koliko brzo se funkcija povećava, morate izračunati tangens ovog kuta a.
- Ispada da je tangenta kuta između tangente i smjera x-osi derivacija funkcije u malom području s točkom A. Ova metoda se smatra geometrijskim načinom određivanja derivacije.
Metode istraživanja funkcije
U školskom programu matematike moguće je pronaći minimalnu točku funkcije na dva načina. Već smo analizirali prvu metodu pomoću grafa, ali kako odrediti brojčanu vrijednost derivacije? Da biste to učinili, morat ćete naučiti nekoliko formula koje opisuju svojstva izvedenice i pomažu u pretvaranju varijabli poput "x" u brojeve. Sljedeća metoda je univerzalna, pa se može primijeniti na gotovo sve vrste funkcija (i geometrijske i logaritamske).
- Potrebno je izjednačiti funkciju s derivacijskom funkcijom, a zatim pojednostaviti izraz koristeći praviladiferencijacija.
- podijeliti s nulom).
- Nakon toga, trebate pretvoriti izvorni oblik funkcije u jednostavnu jednadžbu, izjednačavajući cijeli izraz s nulom. Na primjer, ako je funkcija izgledala ovako: f(x)=2x3+38x, tada je prema pravilima diferencijacije njezin izvod jednak f'(x)=3x 2 +1. Zatim ovaj izraz transformiramo u jednadžbu sljedećeg oblika: 3x2+1=0.
- Nakon rješavanja jednadžbe i pronalaženja točaka "x", treba ih nacrtati na osi x i odrediti je li derivacija u tim područjima između označenih točaka pozitivna ili negativna. Nakon oznake, postat će jasno u kojem trenutku funkcija počinje opadati, odnosno mijenja predznak s minusa na suprotan. Na taj način možete pronaći i minimalne i maksimalne bodove.
Pravila diferencijacije
Najosnovniji dio učenja funkcije i njezine izvedenice je poznavanje pravila diferencijacije. Samo uz njihovu pomoć moguće je transformirati glomazne izraze i velike složene funkcije. Upoznajmo se s njima, ima ih dosta, ali su svi vrlo jednostavni zbog pravilnih svojstava i stepena i logaritamskih funkcija.
- Izvod bilo koje konstante je nula (f(x)=0). To jest, derivacija f(x)=x5+ x - 160 imat će sljedeći oblik: f' (x)=5x4+1.
- Izvod zbroja dva člana: (f+w)'=f'w + fw'.
- Izvod logaritamske funkcije: (logad)'=d/ln ad. Ova formula vrijedi za sve vrste logaritama.
- Izvod stupnja: (x)'=nxn-1. Na primjer, (9x2)'=92x=18x.
- Izvod sinusoidne funkcije: (sin a)'=cos a. Ako je grijeh kuta a 0,5, tada je njegova derivacija √3/2.
Ekstremni bodovi
Već smo shvatili kako pronaći minimalne točke, međutim, postoji koncept maksimalnih točaka funkcije. Ako minimum označava one točke u kojima funkcija ide od minusa do plusa, tada su maksimalne točke one točke na x-osi u kojima se derivacija funkcije mijenja iz plusa u suprotno - minus.
Maksimalni broj bodova možete pronaći gore opisanom metodom, samo treba uzeti u obzir da oni označavaju ona područja u kojima se funkcija počinje smanjivati, odnosno derivacija će biti manja od nule.
U matematici je uobičajeno generalizirati oba koncepta, zamjenjujući ih izrazom "ekstremne točke". Kada zadatak traži određivanje ovih točaka, to znači da je potrebno izračunati derivaciju ove funkcije i pronaći minimalnu i maksimalnu točku.
