Poznavanje udaljenosti od točke do ravnine ili do ravne linije omogućuje vam izračunavanje volumena i površine figura u prostoru. Izračun ove udaljenosti u geometriji provodi se pomoću odgovarajućih jednadžbi za navedene geometrijske objekte. U članku ćemo pokazati kojim se formulama može odrediti.
Jednadžbe pravca i ravnina
Prije nego što damo formule za određivanje udaljenosti od točke do ravnine i pravca, pokažimo koje jednadžbe opisuju ove objekte.
Za definiranje točke koristi se skup koordinata u zadanom sustavu koordinatnih osi. Ovdje ćemo razmatrati samo kartezijanski pravokutni sustav u kojemu osi imaju iste jedinične vektore i međusobno su okomite. Na ravnini, proizvoljna točka je opisana s dvije koordinate, u prostoru - s tri.
Različite vrste jednadžbi koriste se za definiranje ravne linije. U skladu s temom članka donosimosamo dvije od njih, koje se koriste u dvodimenzionalnom prostoru za definiranje linija.
Vektorska jednadžba. Ima sljedeću oznaku:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Prvi izraz ovdje predstavlja koordinate poznate točke koja leži na liniji. Drugi pojam su koordinate vektora smjera pomnožene s proizvoljnim brojem λ.
Opća jednadžba. Njegova oznaka je sljedeća:
Ax + By + C=0;
gdje su A, B, C neki koeficijenti.
Opća jednadžba se češće koristi za određivanje pravaca na ravnini, međutim, za pronalaženje udaljenosti od točke do pravca na ravnini, prikladnije je raditi s vektorskim izrazom.
Ravan u trodimenzionalnom prostoru također se može napisati na nekoliko matematičkih načina. Ipak, najčešće u problemima postoji opća jednadžba, koja se piše na sljedeći način:
Ax + By + Cz + D=0.
Prednost ove oznake u odnosu na ostale je u tome što eksplicitno sadrži koordinate vektora okomitog na ravninu. Taj se vektor za njega naziva vodičem, podudara se sa smjerom normale, a koordinate su mu jednake (A; B; C).
Imajte na umu da se gornji izraz poklapa s oblikom pisanja opće jednadžbe za ravnu liniju u dvodimenzionalnom prostoru, tako da prilikom rješavanja problema trebate paziti da ne pobrkate ove geometrijske objekte.
Udaljenost između točke i linije
Pokažimo kako izračunati udaljenost između ravne crte itočka u dvodimenzionalnom prostoru.
Neka postoji neka točka Q(x1; y1) i pravac dat:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Udaljenost između prave i točke podrazumijeva se kao duljina segmenta okomitog na ovu liniju, spuštenog na nju iz točke Q.
Prije izračunavanja ove udaljenosti, trebali biste zamijeniti Q koordinate u ovu jednadžbu. Ako ga zadovoljavaju, tada Q pripada danoj liniji, a odgovarajuća udaljenost jednaka je nuli. Ako koordinate točke ne dovode do jednakosti, tada je udaljenost između geometrijskih objekata različita od nule. Može se izračunati pomoću formule:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Ovdje je P proizvoljna točka ravne linije, koja je početak vektora PQ¯. Vektor u¯ je vodeći segment za ravnu liniju, odnosno, njegove koordinate su (a; b).
Upotreba ove formule zahtijeva sposobnost izračunavanja križnog proizvoda u brojniku.
Problem s točkom i linijom
Recimo da trebate pronaći udaljenost između Q(-3; 1) i ravne linije koja zadovoljava jednadžbu:
y=5x -2.
Zamjenom koordinata Q u izraz, možemo osigurati da Q ne leži na liniji. Možete primijeniti formulu za d danu u gornjem odlomku ako ovu jednadžbu predstavite u vektorskom obliku. Učinimo to ovako:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Sada uzmimo bilo koju točku na ovoj liniji, na primjer (0; -2), i napravimo vektor koji počinje od nje i završava na Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Sada primijenite formulu za određivanje udaljenosti, dobivamo:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Udaljenost od točke do ravnine
Kao iu slučaju ravne linije, udaljenost između ravnine i točke u prostoru razumijeva se kao duljina segmenta koji se iz date točke okomito spušta na ravninu i siječe je.
U prostoru, točka je dana s tri koordinate. Ako su jednaki (x1; y1; z1), tada je udaljenost između ravnina i ta se točka može izračunati pomoću formule:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Napominjemo da korištenje formule omogućuje pronalaženje samo udaljenosti od ravnine do prave. Da bismo pronašli koordinate točke u kojoj okomit segment siječe ravninu, potrebno je napisati jednadžbu za pravac kojem pripada ovaj segment, a zatim pronaći zajedničku točku za ovaj pravac i zadanu ravninu.
Problem s ravninom i točkom
Pronađi udaljenost od točke do ravnine ako je poznato da točka ima koordinate (3; -1; 2) i da je ravnina dana sa:
-y + 3z=0.
Da bismo koristili odgovarajuću formulu, prvo ispisujemo koeficijente zadati avion. Budući da nema varijable x i slobodnog člana, koeficijenti A i D jednaki su nuli. Imamo:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Lako je pokazati da ova ravnina prolazi kroz ishodište i da joj x-os pripada.
Zamijenite koordinate točke i koeficijente ravnine u formulu za udaljenost d, dobivamo:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Imajte na umu da ako promijenite x-koordinatu točke, tada se udaljenost d neće promijeniti. Ova činjenica znači da skup točaka (x; -1; 2) tvori ravnu liniju paralelnu datoj ravnini.
