Formule za određivanje udaljenosti od točke do ravnine i od točke do pravca

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Poznavanje udaljenosti od točke do ravnine ili do ravne linije omogućuje vam izračunavanje volumena i površine figura u prostoru. Izračun ove udaljenosti u geometriji provodi se pomoću odgovarajućih jednadžbi za navedene geometrijske objekte. U članku ćemo pokazati kojim se formulama može odrediti.

Jednadžbe pravca i ravnina

Prije nego što damo formule za određivanje udaljenosti od točke do ravnine i pravca, pokažimo koje jednadžbe opisuju ove objekte.

Za definiranje točke koristi se skup koordinata u zadanom sustavu koordinatnih osi. Ovdje ćemo razmatrati samo kartezijanski pravokutni sustav u kojemu osi imaju iste jedinične vektore i međusobno su okomite. Na ravnini, proizvoljna točka je opisana s dvije koordinate, u prostoru - s tri.

Različite vrste jednadžbi koriste se za definiranje ravne linije. U skladu s temom članka donosimosamo dvije od njih, koje se koriste u dvodimenzionalnom prostoru za definiranje linija.

Vektorska jednadžba. Ima sljedeću oznaku:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Prvi izraz ovdje predstavlja koordinate poznate točke koja leži na liniji. Drugi pojam su koordinate vektora smjera pomnožene s proizvoljnim brojem λ.

Opća jednadžba. Njegova oznaka je sljedeća:

Ax + By + C=0;

gdje su A, B, C neki koeficijenti.

Opća jednadžba se češće koristi za određivanje pravaca na ravnini, međutim, za pronalaženje udaljenosti od točke do pravca na ravnini, prikladnije je raditi s vektorskim izrazom.

Ravan u trodimenzionalnom prostoru također se može napisati na nekoliko matematičkih načina. Ipak, najčešće u problemima postoji opća jednadžba, koja se piše na sljedeći način:

Ax + By + Cz + D=0.

Prednost ove oznake u odnosu na ostale je u tome što eksplicitno sadrži koordinate vektora okomitog na ravninu. Taj se vektor za njega naziva vodičem, podudara se sa smjerom normale, a koordinate su mu jednake (A; B; C).

Imajte na umu da se gornji izraz poklapa s oblikom pisanja opće jednadžbe za ravnu liniju u dvodimenzionalnom prostoru, tako da prilikom rješavanja problema trebate paziti da ne pobrkate ove geometrijske objekte.

Udaljenost između točke i linije

Pokažimo kako izračunati udaljenost između ravne crte itočka u dvodimenzionalnom prostoru.

Neka postoji neka točka Q(x₁; y_{1) i pravac dat:}

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Udaljenost između prave i točke podrazumijeva se kao duljina segmenta okomitog na ovu liniju, spuštenog na nju iz točke Q.

Prije izračunavanja ove udaljenosti, trebali biste zamijeniti Q koordinate u ovu jednadžbu. Ako ga zadovoljavaju, tada Q pripada danoj liniji, a odgovarajuća udaljenost jednaka je nuli. Ako koordinate točke ne dovode do jednakosti, tada je udaljenost između geometrijskih objekata različita od nule. Može se izračunati pomoću formule:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Ovdje je P proizvoljna točka ravne linije, koja je početak vektora PQ¯. Vektor u¯ je vodeći segment za ravnu liniju, odnosno, njegove koordinate su (a; b).

Upotreba ove formule zahtijeva sposobnost izračunavanja križnog proizvoda u brojniku.

Problem s točkom i linijom

Recimo da trebate pronaći udaljenost između Q(-3; 1) i ravne linije koja zadovoljava jednadžbu:

y=5x -2.

Zamjenom koordinata Q u izraz, možemo osigurati da Q ne leži na liniji. Možete primijeniti formulu za d danu u gornjem odlomku ako ovu jednadžbu predstavite u vektorskom obliku. Učinimo to ovako:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

Sada uzmimo bilo koju točku na ovoj liniji, na primjer (0; -2), i napravimo vektor koji počinje od nje i završava na Q:

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

Sada primijenite formulu za određivanje udaljenosti, dobivamo:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

Udaljenost od točke do ravnine

Kao iu slučaju ravne linije, udaljenost između ravnine i točke u prostoru razumijeva se kao duljina segmenta koji se iz date točke okomito spušta na ravninu i siječe je.

U prostoru, točka je dana s tri koordinate. Ako su jednaki (x₁; y₁; z_{1), tada je udaljenost između ravnina i ta se točka može izračunati pomoću formule:}

d=|Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D|/√(A²+B²+C^2).

Napominjemo da korištenje formule omogućuje pronalaženje samo udaljenosti od ravnine do prave. Da bismo pronašli koordinate točke u kojoj okomit segment siječe ravninu, potrebno je napisati jednadžbu za pravac kojem pripada ovaj segment, a zatim pronaći zajedničku točku za ovaj pravac i zadanu ravninu.

Problem s ravninom i točkom

Pronađi udaljenost od točke do ravnine ako je poznato da točka ima koordinate (3; -1; 2) i da je ravnina dana sa:

-y + 3z=0.

Da bismo koristili odgovarajuću formulu, prvo ispisujemo koeficijente zadati avion. Budući da nema varijable x i slobodnog člana, koeficijenti A i D jednaki su nuli. Imamo:

A=0; B=-1; C=3; D=0.

Lako je pokazati da ova ravnina prolazi kroz ishodište i da joj x-os pripada.

Zamijenite koordinate točke i koeficijente ravnine u formulu za udaljenost d, dobivamo:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Imajte na umu da ako promijenite x-koordinatu točke, tada se udaljenost d neće promijeniti. Ova činjenica znači da skup točaka (x; -1; 2) tvori ravnu liniju paralelnu datoj ravnini.