Da bismo pronašli funkcije distribucije slučajnih varijabli i njihovih varijabli, potrebno je proučiti sve značajke ovog područja znanja. Postoji nekoliko različitih metoda za pronalaženje dotičnih vrijednosti, uključujući promjenu varijable i generiranje trenutka. Distribucija je koncept koji se temelji na elementima kao što su disperzija, varijacije. Međutim, oni karakteriziraju samo stupanj amplitude raspršenja.
Važnije funkcije slučajnih varijabli su one koje su povezane i neovisne, te jednako raspoređene. Na primjer, ako je X1 težina nasumično odabrane osobe iz muške populacije, X2 je težina druge, …, a Xn je težina još jedne osobe iz muške populacije, tada moramo znati kako slučajna funkcija X je distribuiran. U ovom slučaju vrijedi klasični teorem nazvan središnji granični teorem. Omogućuje vam da pokažete da za veliki n funkcija slijedi standardne distribucije.
Funkcije jedne slučajne varijable
Središnji granični teorem služi za aproksimaciju diskretnih vrijednosti koje se razmatraju kao što su binom i Poisson. Funkcije distribucije slučajnih varijabli razmatraju se prije svega na jednostavnim vrijednostima jedne varijable. Na primjer, ako je X kontinuirana slučajna varijabla koja ima vlastitu distribuciju vjerojatnosti. U ovom slučaju istražujemo kako pronaći funkciju gustoće Y koristeći dva različita pristupa, odnosno metodu funkcije distribucije i promjenu varijable. Prvo, uzimaju se u obzir samo vrijednosti jedan na jedan. Zatim morate modificirati tehniku promjene varijable kako biste pronašli njezinu vjerojatnost. Konačno, moramo naučiti kako funkcija inverzne kumulativne distribucije može pomoći modelirati slučajne brojeve koji slijede određene sekvencijalne obrasce.
Metoda distribucije razmatranih vrijednosti
Metoda funkcije distribucije vjerojatnosti slučajne varijable primjenjiva je kako bi se pronašla njezina gustoća. Kada se koristi ova metoda, izračunava se kumulativna vrijednost. Zatim, razlikovanjem, možete dobiti gustoću vjerojatnosti. Sada kada imamo metodu funkcije distribucije, možemo pogledati još nekoliko primjera. Neka je X kontinuirana slučajna varijabla s određenom gustoćom vjerojatnosti.
Koja je funkcija gustoće vjerojatnosti za x2? Ako pogledate ili nacrtate funkciju (gore i desno) y \u003d x2, možete primijetiti da se radi o rastućem X i 0 <y<1. Sada morate koristiti razmatranu metodu da pronađete Y. Prvo, pronađena je kumulativna funkcija distribucije, samo trebate razlikovati da biste dobili gustoću vjerojatnosti. Na taj način dobivamo: 0<y<1. Metoda distribucije uspješno je implementirana za pronalaženje Y kada je Y rastuća funkcija od X. Usput, f(y) se integrira u 1 preko y.
U posljednjem primjeru, velika pažnja je korištena za indeksiranje kumulativnih funkcija i gustoće vjerojatnosti s X ili Y kako bi se naznačilo kojoj slučajnoj varijabli pripadaju. Na primjer, pri pronalaženju kumulativne funkcije distribucije Y, dobili smo X. Ako trebate pronaći slučajnu varijablu X i njezinu gustoću, samo je trebate razlikovati.
Tehnika varijabilne promjene
Neka je X kontinuirana slučajna varijabla dana funkcijom distribucije sa zajedničkim nazivnikom f (x). U ovom slučaju, ako stavite vrijednost y u X=v (Y), tada ćete dobiti vrijednost x, na primjer v (y). Sada trebamo dobiti funkciju distribucije kontinuirane slučajne varijable Y. Gdje se prva i druga jednakost odvijaju iz definicije kumulativnog Y. Treća jednakost vrijedi jer je dio funkcije za koji je u (X) ≦ y također vrijedi da je X ≦ v (Y). Posljednja se radi kako bi se odredila vjerojatnost u kontinuiranoj slučajnoj varijabli X. Sada trebamo uzeti derivaciju FY (y), kumulativnu funkciju distribucije Y, da dobijemo gustoću vjerojatnosti Y.
Generalizacija za funkciju smanjenja
Neka je X kontinuirana slučajna varijabla sa zajedničkim f (x) definiranim preko c1<x<c2. I neka je Y=u (X) opadajuća funkcija od X s inverznim X=v (Y). Budući da je funkcija kontinuirana i opadajuća, postoji inverzna funkcija X=v (Y).
Da biste riješili ovaj problem, možete prikupiti kvantitativne podatke i koristiti empirijsku funkciju kumulativne distribucije. S ovim informacijama i privlačnim za njih, trebate kombinirati uzorke sredstava, standardne devijacije, medijske podatke i tako dalje.
Slično, čak i prilično jednostavan vjerojatnostni model može imati ogroman broj rezultata. Na primjer, ako bacite novčić 332 puta. Tada je broj rezultata dobivenih okretanjem veći od rezultata google (10100) - broj, ali ne manje od 100 kvintilijuna puta veći od elementarnih čestica u poznatom svemiru. Ne zanima me analiza koja daje odgovor na svaki mogući ishod. Potreban bi bio jednostavniji koncept, kao što je broj glava ili najduži potez repa. Kako bi se usredotočili na pitanja od interesa, prihvaća se određeni rezultat. Definicija u ovom slučaju je sljedeća: slučajna varijabla je realna funkcija s prostorom vjerojatnosti.
Raspon S slučajne varijable ponekad se naziva prostor stanja. Dakle, ako je X vrijednost o kojoj je riječ, onda je N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, i tako dalje. Posljednji od njih, zaokružujući X na najbliži cijeli broj, naziva se funkcija poda.
Funkcije distribucije
Kada se odredi funkcija distribucije od interesa za slučajnu varijablu x, obično se postavlja pitanje: "Koje su šanse da X padne u neki podskup B vrijednosti?". Na primjer, B={neparni brojevi}, B={veći od 1} ili B={između 2 i 7} za označavanje onih rezultata koji imaju X, vrijednostslučajna varijabla, u podskupu A. Dakle, u gornjem primjeru, događaje možete opisati na sljedeći način.
{X je neparan broj}, {X je veći od 1}={X> 1}, {X je između 2 i 7}={2 <X <7} kako bi odgovarao trima gornjim opcijama za podskup B. Mnoga svojstva slučajnih veličina nisu povezana s određenim X. Umjesto toga, ovise o tome kako X dodjeljuje svoje vrijednosti. To dovodi do definicije koja zvuči ovako: funkcija distribucije slučajne varijable x je kumulativna i određena je kvantitativnim opažanjima.
Slučajne varijable i funkcije distribucije
Dakle, možete izračunati vjerojatnost da će funkcija distribucije slučajne varijable x uzeti vrijednosti u intervalu oduzimanjem. Razmislite o uključivanju ili isključivanju krajnjih točaka.
Slučajnu varijablu nazvat ćemo diskretnom ako ima konačan ili prebrojivo beskonačan prostor stanja. Dakle, X je broj glava na tri nezavisna bacanja pristranog novčića koji raste s vjerojatnošću p. Moramo pronaći kumulativnu funkciju distribucije diskretne slučajne varijable FX za X. Neka je X broj vrhova u kolekciji od tri karte. Tada je Y=X3 preko FX. FX počinje na 0, završava na 1 i ne smanjuje se kako se x vrijednosti povećavaju. Kumulativna funkcija FX distribucije diskretne slučajne varijable X je konstantna, osim za skokove. Prilikom skakanja FX je kontinuiran. Dokaži tvrdnju o ispravnojkontinuitet funkcije distribucije iz svojstva vjerojatnosti moguć je korištenjem definicije. Zvuči ovako: konstantna slučajna varijabla ima kumulativni FX koji se može razlikovati.
Da bismo pokazali kako se to može dogoditi, možemo dati primjer: cilj s jediničnim radijusom. Vjerojatno. strelica je ravnomjerno raspoređena po navedenom području. Za neki λ> 0. Dakle, funkcije distribucije kontinuiranih slučajnih varijabli raste glatko. FX ima svojstva funkcije distribucije.
Čovjek čeka na autobusnoj stanici dok autobus ne stigne. Nakon što je sam odlučio da će odbiti kada čekanje dođe do 20 minuta. Ovdje je potrebno pronaći kumulativnu funkciju raspodjele za T. Vrijeme kada će osoba još uvijek biti na autobusnoj stanici ili neće otići. Unatoč činjenici da je kumulativna funkcija distribucije definirana za svaku slučajnu varijablu. Svejedno, druge karakteristike će se često koristiti: masa za diskretnu varijablu i funkcija gustoće distribucije slučajne varijable. Obično se vrijednost ispisuje kroz jednu od ove dvije vrijednosti.
Funkcije mase
Ove vrijednosti razmatraju sljedeća svojstva, koja imaju opći (masovni) karakter. Prvi se temelji na činjenici da vjerojatnosti nisu negativne. Drugi slijedi iz zapažanja da skup za sve x=2S, prostor stanja za X, tvori particiju vjerojatnosne slobode X. Primjer: bacanje pristranog novčića čiji su ishodi neovisni. Možete nastaviti raditiodređene radnje dok ne dobijete rolu glava. Neka X označava slučajnu varijablu koja daje broj repova ispred prve glave. A p označava vjerojatnost u bilo kojoj radnji.
Dakle, funkcija vjerojatnosti mase ima sljedeće karakteristične značajke. Budući da pojmovi tvore numerički niz, X se naziva geometrijska slučajna varijabla. Geometrijska shema c, cr, cr2,.,,, crn ima zbroj. I, stoga, sn ima granicu kao n 1. U ovom slučaju, beskonačni zbroj je granica.
Navedena funkcija mase tvori geometrijski niz s omjerom. Dakle, prirodni brojevi a i b. Razlika u vrijednostima funkcije distribucije jednaka je vrijednosti funkcije mase.
Vrijednosti gustoće koje se razmatraju imaju definiciju: X je slučajna varijabla čija FX distribucija ima derivaciju. FX koji zadovoljava Z xFX (x)=fX (t) dt-1 naziva se funkcija gustoće vjerojatnosti. A X se naziva kontinuirana slučajna varijabla. U temeljnom teoremu računa, funkcija gustoće je derivacija distribucije. Možete izračunati vjerojatnosti izračunavanjem određenih integrala.
Budući da se podaci prikupljaju iz višestrukih promatranja, mora se uzeti u obzir više od jedne slučajne varijable istovremeno za modeliranje eksperimentalnih postupaka. Dakle, skup ovih vrijednosti i njihova zajednička distribucija za dvije varijable X1 i X2 znači gledanje događaja. Za diskretne slučajne varijable definirane su zajedničke vjerojatnostne funkcije mase. Za kontinuirane se razmatraju fX1, X2, gdjegustoća vjerojatnosti zgloba je zadovoljena.
Nezavisne slučajne varijable
Dvije slučajne varijable X1 i X2 su neovisne ako su bilo koja dva događaja povezana s njima ista. Riječima, vjerojatnost da se dva događaja {X1 2 B1} i {X2 2 B2} dogode u isto vrijeme, y, jednaka je umnošku gornjih varijabli, da se svaki od njih dogodi pojedinačno. Za neovisne diskretne slučajne varijable postoji zajednička probabilistička funkcija mase, koja je proizvod graničnog volumena iona. Za kontinuirane slučajne varijable koje su neovisne, zajednička funkcija gustoće vjerojatnosti je proizvod vrijednosti granične gustoće. Konačno, razmatramo n neovisnih opažanja x1, x2,.,,, xn koji proizlazi iz nepoznate funkcije gustoće ili mase f. Na primjer, nepoznati parametar u funkcijama za eksponencijalnu slučajnu varijablu koja opisuje vrijeme čekanja za sabirnicu.
Imitacija slučajnih varijabli
Glavni cilj ovog teorijskog područja je pružiti alate potrebne za razvoj postupaka zaključivanja temeljenih na zdravim statističkim znanstvenim načelima. Dakle, jedan vrlo važan slučaj korištenja softvera je sposobnost generiranja pseudo podataka koji oponašaju stvarne informacije. To omogućuje testiranje i poboljšanje metoda analize prije nego što se moraju koristiti u stvarnim bazama podataka. To je potrebno kako bi se istražila svojstva podatakamodeliranje. Za mnoge najčešće korištene obitelji slučajnih varijabli, R pruža naredbe za njihovo generiranje. Za druge okolnosti bit će potrebne metode za modeliranje niza neovisnih slučajnih varijabli koje imaju zajedničku distribuciju.
Diskretne slučajne varijable i naredbeni uzorak. Naredba sample se koristi za stvaranje jednostavnih i stratificiranih slučajnih uzoraka. Kao rezultat, ako je unesena sekvenca x, sample(x, 40) odabire 40 zapisa od x tako da svi izbori veličine 40 imaju istu vjerojatnost. Ovo koristi zadanu R naredbu za dohvaćanje bez zamjene. Također se može koristiti za modeliranje diskretnih slučajnih varijabli. Da biste to učinili, morate osigurati prostor stanja u vektoru x i funkciji mase f. Poziv zamjene=TRUE označava da se uzorkovanje događa sa zamjenom. Zatim, da bi se dao uzorak od n neovisnih slučajnih varijabli koje imaju zajedničku funkciju mase f, koristi se uzorak (x, n, zamijeni=TRUE, prob=f).
Utvrđeno da je 1 najmanja predstavljena vrijednost, a 4 najveća od svih. Ako je naredba prob=f izostavljena, uzorak će uzorkovati jednolično iz vrijednosti u vektoru x. Možete provjeriti simulaciju u odnosu na funkciju mase koja je generirala podatke gledajući znak dvostruke jednakosti,==. I ponovno izračunavanje opažanja koja uzimaju svaku moguću vrijednost za x. Možete napraviti stol. Ponovite ovo za 1000 i usporedite simulaciju s odgovarajućom funkcijom mase.
Ilustracija transformacije vjerojatnosti
Prvisimulirati homogene funkcije distribucije slučajnih varijabli u1, u2,.,,, un na intervalu [0, 1]. Oko 10% brojeva treba biti unutar [0, 3, 0, 4]. To odgovara 10% simulacija u intervalu [0, 28, 0, 38] za slučajnu varijablu s prikazanom funkcijom FX distribucije. Slično, oko 10% slučajnih brojeva bi trebalo biti u intervalu [0, 7, 0, 8]. To odgovara simulaciji od 10% na intervalu [0, 96, 1, 51] slučajne varijable s funkcijom distribucije FX. Ove vrijednosti na osi x mogu se dobiti uzimajući inverzno od FX-a. Ako je X kontinuirana slučajna varijabla s gustoćom fX pozitivnom posvuda u svojoj domeni, tada je funkcija distribucije strogo rastuća. U ovom slučaju, FX ima inverznu FX-1 funkciju poznatu kao kvantilna funkcija. FX (x) u samo kada je x FX-1 (u). Transformacija vjerojatnosti slijedi iz analize slučajne varijable U=FX (X).
FX ima raspon od 0 do 1. Ne može biti ispod 0 ili iznad 1. Za vrijednosti u između 0 i 1. Ako se U može simulirati, tada se mora postaviti slučajna varijabla s FX distribucijom simulirano putem kvantilne funkcije. Uzmimo derivaciju da vidimo da gustoća u varira unutar 1. Budući da slučajna varijabla U ima konstantnu gustoću u intervalu svojih mogućih vrijednosti, naziva se uniformnom na intervalu [0, 1]. Modeliran je u R s naredbom runif. Identitet se naziva probabilistička transformacija. Možete vidjeti kako to radi u primjeru daske za pikado. X između 0 i 1, funkcijaraspodjela u=FX (x)=x2, pa stoga kvantilna funkcija x=FX-1 (u). Moguće je modelirati neovisna promatranja udaljenosti od središta strelice i na taj način stvoriti ujednačene slučajne varijable U1, U2,.,, Un. Funkcija distribucije i empirijska funkcija temelje se na 100 simulacija distribucije daske za pikado. Za eksponencijalnu slučajnu varijablu, vjerojatno je u=FX (x)=1 - exp (- x), a time i x=- 1 ln (1 - u). Ponekad se logika sastoji od ekvivalentnih izjava. U ovom slučaju morate spojiti dva dijela argumenta. Identitet presjeka je sličan za sva 2 {S i i} S, umjesto neke vrijednosti. Unija Ci je jednaka prostoru stanja S i svaki se par međusobno isključuje. Budući da je Bi - podijeljen na tri aksioma. Svaka se provjera temelji na odgovarajućoj vjerojatnosti P. Za bilo koji podskup. Korištenje identiteta kako bi se osiguralo da odgovor ne ovisi o tome jesu li uključene krajnje točke intervala.
Eksponencijalna funkcija i njene varijable
Za svaki ishod u svim događajima, u konačnici se koristi drugo svojstvo kontinuiteta vjerojatnosti, koje se smatra aksiomatičnim. Zakon distribucije funkcije slučajne varijable ovdje pokazuje da svaka ima svoje rješenje i odgovor.
