Teorija vjerojatnosti je posebna grana matematike koju proučavaju samo studenti visokih učilišta. Volite li izračune i formule? Ne bojite li se mogućnosti upoznavanja s normalnom distribucijom, entropijom ansambla, matematičkim očekivanjem i varijansom diskretne slučajne varijable? Tada će vas ova tema jako zanimati. Upoznajmo se s nekim od najvažnijih temeljnih koncepata ovog odjeljka znanosti.
Prisjetite se osnova
Čak i ako se sjećate najjednostavnijih koncepata teorije vjerojatnosti, nemojte zanemariti prve odlomke članka. Činjenica je da bez jasnog razumijevanja osnova nećete moći raditi s formulama o kojima se raspravlja u nastavku.
Dakle, postoji neki slučajni događaj, neki eksperiment. Kao rezultat izvršenih radnji možemo dobiti nekoliko ishoda - neki su češći, drugi rjeđi. Vjerojatnost događaja je omjer broja stvarno primljenih ishoda jedne vrste i ukupnog broja mogućih ishoda. Tek poznavajući klasičnu definiciju ovog koncepta, možete početi proučavati matematičko očekivanje i varijancu kontinuiranogslučajne varijable.
Aritmetička sredina
Još u školi, na satovima matematike, počeli ste raditi s aritmetičkom sredinom. Ovaj koncept se široko koristi u teoriji vjerojatnosti i stoga se ne može zanemariti. Za nas je trenutno najvažnije da ćemo ga susresti u formulama za matematičko očekivanje i varijancu slučajne varijable.
Imamo niz brojeva i želimo pronaći aritmetičku sredinu. Sve što se od nas traži je zbrojiti sve dostupno i podijeliti s brojem elemenata u nizu. Neka imamo brojeve od 1 do 9. Zbroj elemenata će biti 45, a tu vrijednost podijelit ćemo s 9. Odgovor: - 5.
Disperzija
Znanstveno gledano, varijanca je srednji kvadrat odstupanja dobivenih vrijednosti obilježja od aritmetičke sredine. Jedan je označen velikim latiničnim slovom D. Što je potrebno za njegovo izračunavanje? Za svaki element niza izračunavamo razliku između raspoloživog broja i aritmetičke sredine i kvadriramo je. Bit će točno onoliko vrijednosti koliko može biti ishoda za događaj koji razmatramo. Zatim sumiramo sve primljeno i podijelimo s brojem elemenata u nizu. Ako imamo pet mogućih ishoda, podijelite s pet.
Disperzija također ima svojstva koja morate zapamtiti kako biste je primijenili prilikom rješavanja problema. Na primjer, ako se slučajna varijabla poveća za X puta, varijanca se povećava za X puta kvadrat (tj. XX). Nikada nije manji od nule i ne ovisi opomicanje vrijednosti za jednaku vrijednost gore ili dolje. Također, za nezavisna ispitivanja, varijanca zbroja jednaka je zbroju varijansi.
Sada svakako moramo razmotriti primjere varijance diskretne slučajne varijable i matematičkog očekivanja.
Pretpostavimo da smo proveli 21 eksperiment i dobili 7 različitih ishoda. Svaku od njih promatrali smo 1, 2, 2, 3, 4, 4 i 5 puta. Kolika će biti varijanca?
Prvo, izračunajmo aritmetičku sredinu: zbroj elemenata je, naravno, 21. Podijelite ga sa 7 i dobijete 3. Sada oduzmite 3 od svakog broja u izvornom nizu, kvadrirajte svaku vrijednost i dodajte rezultate zajedno. Ispada 12. Sada nam ostaje podijeliti broj s brojem elemenata, i, čini se, to je sve. Ali postoji kvaka! Raspravimo o tome.
Ovisnost o broju eksperimenata
Ispostavilo se da prilikom izračunavanja varijance nazivnik može biti jedan od dva broja: ili N ili N-1. Ovdje je N broj izvedenih eksperimenata ili broj elemenata u nizu (koji je, zapravo, isti). O čemu ovisi?
Ako se broj testova mjeri u stotinama, u nazivnik moramo staviti N. Ako je u jedinicama, onda N-1. Znanstvenici su odlučili povući granicu prilično simbolično: danas ona ide uz broj 30. Ako smo proveli manje od 30 eksperimenata, tada ćemo iznos podijeliti s N-1, a ako više, onda s N.
Zadatak
Vratimo se na naš primjer rješavanja problema varijance i očekivanja. Midobio srednji broj od 12, koji je morao biti podijeljen s N ili N-1. Budući da smo proveli 21 pokus, što je manje od 30, odabrat ćemo drugu opciju. Dakle, odgovor je: varijanca je 12 / 2=2.
Očekivanje
Pređimo na drugi koncept, koji moramo razmotriti u ovom članku. Matematičko očekivanje rezultat je zbrajanja svih mogućih ishoda pomnoženih s odgovarajućim vjerojatnostima. Važno je razumjeti da se rezultirajuća vrijednost, kao i rezultat izračuna varijance, dobiva samo jednom za cijeli zadatak, bez obzira na to koliko ishoda uzima u obzir.
Formula očekivanja je prilično jednostavna: uzmemo ishod, pomnožimo ga s njegovom vjerojatnošću, dodamo isto za drugi, treći rezultat, itd. Sve što je vezano uz ovaj koncept lako je izračunati. Na primjer, zbroj matematičkih očekivanja jednak je matematičkom očekivanju zbroja. Isto vrijedi i za rad. Ne dopušta svaka veličina u teoriji vjerojatnosti izvođenje tako jednostavnih operacija. Uzmimo zadatak i izračunajmo vrijednost dva pojma koja smo proučavali odjednom. Osim toga, skrenula nam je pozornost teorija - vrijeme je za praksu.
Još jedan primjer
Proveli smo 50 pokušaja i dobili 10 vrsta ishoda - brojeva od 0 do 9 - koji se pojavljuju u različitim postocima. To su, redom: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Podsjetimo da da biste dobili vjerojatnosti, trebate podijeliti postotne vrijednosti sa 100. Dakle, dobivamo 0,02; 0, 1 itd. Predstavimo za varijancu slučajnogprimjer vrijednosti i matematičkog očekivanja rješavanja problema.
Izračunajte aritmetičku sredinu koristeći formulu koju pamtimo iz osnovne škole: 50/10=5.
Sad prevedimo vjerojatnosti u broj ishoda "u komadima" kako bismo ih lakše prebrojali. Dobivamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 i 9. Od svake dobivene vrijednosti oduzmimo aritmetičku sredinu, nakon čega svaki dobiveni rezultat kvadriramo. Pogledajte kako to učiniti koristeći prvi element kao primjer: 1 - 5=(-4). Nadalje: (-4)(-4)=16. Za ostale vrijednosti, izvršite ove operacije sami. Ako ste sve učinili kako treba, nakon dodavanja svih međurezultata dobit ćete 90.
Nastavite s izračunom varijance i srednje vrijednosti dijeleći 90 s N. Zašto biramo N, a ne N-1? Tako je, jer broj izvedenih eksperimenata prelazi 30. Dakle: 90/10=9. Dobili smo disperziju. Ako dobijete drugi broj, ne očajavajte. Najvjerojatnije ste napravili banalnu pogrešku u izračunima. Još jednom provjeri što si napisao i sve će sigurno doći na svoje mjesto.
Na kraju, prisjetimo se formule očekivanja. Nećemo dati sve izračune, samo ćemo napisati odgovor s kojim možete provjeriti nakon dovršetka svih potrebnih postupaka. Očekivanje će biti jednako 5, 48. Sjećamo se samo kako izvoditi operacije na primjeru prvih elemenata: 00, 02 + 10, 1… i tako dalje. Kao što možete vidjeti, jednostavno množimo vrijednost ishoda s njegovom vjerojatnošću.
Odstupanje
Još jedan koncept usko povezan s varijansom i očekivanom vrijednošću jestandardna devijacija. Označava se ili latinskim slovima sd, ili grčkim malim slovima "sigma". Ovaj koncept pokazuje kako, u prosjeku, vrijednosti odstupaju od središnjeg obilježja. Da biste pronašli njegovu vrijednost, trebate izračunati kvadratni korijen varijance.
Ako gradite graf normalne distribucije i želite vidjeti vrijednost standardne devijacije izravno na njemu, to se može učiniti u nekoliko faza. Uzmite polovicu slike lijevo ili desno od načina rada (središnja vrijednost), nacrtajte okomicu na vodoravnu os tako da su površine rezultirajućih figura jednake. Vrijednost segmenta između sredine distribucije i rezultirajuće projekcije na horizontalnu os bit će standardna devijacija.
Softver
Kao što možete vidjeti iz opisa formula i prikazanih primjera, izračunavanje varijance i matematičkog očekivanja nije najlakši postupak s aritmetičke točke gledišta. Kako ne biste gubili vrijeme, ima smisla koristiti program koji se koristi u visokom obrazovanju - zove se "R". Ima funkcije koje vam omogućuju izračunavanje vrijednosti za mnoge koncepte iz statistike i teorije vjerojatnosti.
Na primjer, definirate vektor vrijednosti. To se radi na sljedeći način: vektor <-c(1, 5, 2…). Sada, kada trebate izračunati neke vrijednosti za ovaj vektor, napišete funkciju i date je kao argument. Da biste pronašli varijancu, morat ćete koristiti var. Primjer njeupotreba: var(vektor). Zatim samo pritisnete "enter" i dobijete rezultat.
Zaključak
Varijanca i matematičko očekivanje osnovni su koncepti teorije vjerojatnosti, bez kojih je teško bilo što izračunati u budućnosti. U glavnom kolegiju predavanja na sveučilištima oni se razmatraju već u prvim mjesecima studiranja predmeta. Upravo zbog nerazumijevanja ovih jednostavnih pojmova i nemogućnosti njihovog izračunavanja mnogi studenti odmah počinju zaostajati u programu i kasnije dobivaju slabe ocjene na kraju sesije, što ih lišava stipendija.
Vježbajte najmanje tjedan dana po pola sata dnevno, rješavajući probleme slične onima prikazanima u ovom članku. Tada ćete se na bilo kojem testu teorije vjerojatnosti nositi s primjerima bez suvišnih savjeta i varalica.
