Što su varijable? Varijabla u matematici

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Važnost varijabli u matematici je velika, jer su tijekom njenog postojanja znanstvenici uspjeli napraviti mnoga otkrića na ovom području, a kako bismo ukratko i jasno iznijeli ovaj ili onaj teorem, pomoću varijabli zapisujemo odgovarajuće formule. Na primjer, Pitagorin teorem o pravokutnom trokutu: a² =b² + c^{2. Kako napisati svaki put pri rješavanju problema: prema Pitagorinom teoremu, kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta - to zapisujemo formulom i sve odmah postaje jasno.}

Dakle, ovaj će članak raspravljati o tome što su varijable, njihove vrste i svojstva. Razmatrat će se i različiti matematički izrazi: nejednakosti, formule, sustavi i algoritmi za njihovo rješavanje.

Varijabilni koncept

Kao prvo, što je varijabla? Ovo je brojčana vrijednost koja može poprimiti mnoge vrijednosti. Ne može biti konstantan, jer u različitim problemima i jednadžbama, radi praktičnosti, uzimamo rješenja kaopromjenjivi različiti brojevi, to jest, na primjer, z je opća oznaka za svaku od veličina za koje se uzima. Obično se označavaju slovima latinske ili grčke abecede (x, y, a, b i tako dalje).

Postoje različite vrste varijabli. Oni postavljaju i neke fizičke veličine - put (S), vrijeme (t) i jednostavno nepoznate vrijednosti u jednadžbama, funkcijama i drugim izrazima.

Na primjer, postoji formula: S=Vt. Ovdje varijable označavaju određene količine koje se odnose na stvarni svijet - put, brzinu i vrijeme.

I postoji jednadžba oblika: 3x - 16=12x. Ovdje je x već uzet kao apstraktni broj koji ima smisla u ovoj notaciji.

Vrste količina

Količina znači nešto što izražava svojstva određenog predmeta, tvari ili pojave. Na primjer, temperatura zraka, težina životinje, postotak vitamina u tableti - sve su to količine čije se numeričke vrijednosti mogu izračunati.

Svaka količina ima svoje mjerne jedinice, koje zajedno tvore sustav. Zove se brojevni sustav (SI).

Što su varijable i konstante? Razmotrite ih konkretnim primjerima.

Uzmimo pravolinijsko jednoliko gibanje. Točka u prostoru svaki put se kreće istom brzinom. Odnosno, vrijeme i udaljenost se mijenjaju, ali brzina ostaje ista. U ovom primjeru, vrijeme i udaljenost su varijable, a brzina je konstantna.

Ili, na primjer, "pi". Ovo je iracionalan broj koji se nastavlja bez ponavljanjaniz znamenki i ne može se napisati u cijelosti, pa se u matematici izražava općeprihvaćenim simbolom koji uzima samo vrijednost zadanog beskonačnog razlomka. To jest, "pi" je konstantna vrijednost.

Povijest

Povijest označavanja varijabli počinje u sedamnaestom stoljeću sa znanstvenikom Renéom Descartesom.

Poznate vrijednosti označio je prvim slovima abecede: a, b i tako dalje, a za nepoznate je predložio korištenje zadnjih slova: x, y, z. Zanimljivo je da je Descartes takve varijable smatrao nenegativnim brojevima, a kada se suočio s negativnim parametrima, ispred varijable je stavljao znak minus ili, ako se nije znalo koji je predznak broj, elipsu. Ali s vremenom su nazivi varijabli počeli označavati brojeve bilo kojeg predznaka, a to je počelo s matematičarem Johannom Huddeom.

S varijablama se matematički izračuni lakše rješavaju, jer, na primjer, kako sada rješavamo bikvadratne jednadžbe? Unosimo varijablu. Na primjer:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Za x2 uzmemo neki k, i jednadžba postaje jasna:

x2=k, za k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

To je ono što uvođenje varijabli donosi u matematiku.

Nejednakosti, primjeri rješenja

Nejednakost je zapis u kojem su dva matematička izraza ili dva broja povezana znakovima za usporedbu:, ≦, ≧. Oni su strogi i označeni su znakovima ili nestrogi znakovima ≦, ≧.

Po prvi put uvedeni ovi znakoviThomas Harriot. Nakon Thomasove smrti, objavljena je njegova knjiga s tim oznakama, svidjele su se matematičarima i s vremenom su se naširoko koristile u matematičkim izračunima.

Postoji nekoliko pravila kojih se treba pridržavati prilikom rješavanja nejednakosti jedne varijable:

Kada prenosite broj iz jednog dijela nejednadžbe u drugi, promijenite njegov predznak u suprotan.
Kada se dijelovi nejednadžbe množe ili dijele negativnim brojem, njihovi predznaci su obrnuti.
Ako obje strane nejednakosti pomnožite ili podijelite pozitivnim brojem, dobit ćete nejednakost jednaku izvornoj.

Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje svih valjanih vrijednosti za varijablu.

Primjer jedne varijable:

10x - 50 > 150

Rješavamo je kao normalnu linearnu jednadžbu - članove s varijablom pomičemo ulijevo, bez varijable - udesno i dajemo slične pojmove:

10x > 200

Obje strane nejednakosti podijelimo s 10 i dobijemo:

x > 20

Radi jasnoće, u primjeru rješavanja nejednadžbe s jednom promjenljivom, nacrtajte brojevnu liniju, na njoj označite probijenu točku 20, jer je nejednakost stroga i ovaj broj nije uključen u skup njegovih rješenja.

Rješenje ove nejednakosti je interval (20; +∞).

Rješenje nestroge nejednakosti provodi se na isti način kao i stroge:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Ali postoji jedna iznimka. Zapis oblika x ≧ 5 treba shvatiti na sljedeći način: x je veći ili jednak pet, što značibroj pet je uključen u skup svih rješenja nejednakosti, odnosno pri pisanju odgovora stavljamo uglatu zagradu ispred broja pet.

x ∈ [5; +∞)

Kvadratne nejednakosti

Ako uzmemo kvadratnu jednadžbu oblika ax2 + bx +c=0 i promijenimo znak jednakosti u znak nejednakosti u njoj, tada ćemo prema tome dobiti kvadratna nejednakost.

Da biste riješili kvadratnu nejednakost, morate znati rješavati kvadratne jednadžbe.

y=ax2 + bx + c je kvadratna funkcija. Možemo ga riješiti pomoću diskriminanta ili pomoću Vietinog teorema. Prisjetite se kako se rješavaju ove jednadžbe:

1) y=x2 + 12x + 11 - funkcija je parabola. Njegove grane su usmjerene prema gore, budući da je predznak koeficijenta "a" pozitivan.

2) x2 + 12x + 11=0 - jednako nuli i rješavanje pomoću diskriminanta.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 korijena

Prema formuli korijena kvadratne jednadžbe, dobivamo:

x₁ =-1, x_2=-11

Ili biste ovu jednadžbu mogli riješiti koristeći Vieta teorem:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Upotrebom metode odabira dobivamo iste korijene jednadžbe.

Parabola

Dakle, prvi način rješavanja kvadratne nejednakosti je parabola. Algoritam za njegovo rješavanje je sljedeći:

1. Odredi kamo su usmjerene grane parabole.

2. Izjednačite funkciju s nulom i pronađite korijene jednadžbe.

3. Izgradimo brojevnu liniju, označimo korijene na njoj, nacrtamo parabolu i pronađemo prazninu koja nam je potrebna, ovisno o predznaku nejednakosti.

Riješi nejednakost x2 + x - 12 > 0

Napiši kao funkciju:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, grana se prema gore.

Postavljeno na nulu.

2) x2 + x -12=0

Dalje rješavamo kao kvadratnu jednadžbu i nalazimo nule funkcije:

x₁ =3, x_2=-4

3) Nacrtajte brojevnu liniju s točkama 3 i -4 na njoj. Parabola će proći kroz njih, granati se i odgovor na nejednakost bit će skup pozitivnih vrijednosti, odnosno (-∞; -4), (3; +∞).

Metoda intervala

Drugi način je metoda razmaka. Algoritam za njegovo rješavanje:

1. Pronađite korijene jednadžbe za koju je nejednakost jednaka nuli.

2. Obilježavamo ih na brojevnoj liniji. Dakle, podijeljen je na nekoliko intervala.

3. Odredi predznak bilo kojeg intervala.

4. Znakove postavljamo u preostalim intervalima, mijenjajući ih nakon jednog.

Riješi nejednakost (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Nejednakosti nule: 4, 5 i -7.

2) Nacrtajte ih na brojevnoj liniji.

3) Odredite znakove intervala.

Odgovor: (-∞; -7]; [4; 5].

Riješi još jednu nejednakost: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Nejednakosti nule: 0, 2, -2 i 1.

2. Označite ih na brojevnoj liniji.

3. Odredi znakove intervala.

Red je podijeljen na intervale - od -2 do 0, od 0 do 1, od 1 do 2.

Uzmi vrijednost na prvom intervalu - (-1). Zamjena u nejednakosti. S ovom vrijednošću nejednakost postaje pozitivna, što znači da će predznak na ovom intervalu biti +.

Dalje, počevši od prve praznine, slažemo znakove, mijenjajući ih nakon jednog.

Nejednakost je veća od nule, odnosno morate pronaći skup pozitivnih vrijednosti na liniji.

Odgovor: (-2; 0), (1; 2).

Sustavi jednadžbi

Sustav jednadžbi s dvije varijable su dvije jednadžbe spojene vitičastim zagradama za koje je potrebno pronaći zajedničko rješenje.

Sustavi mogu biti ekvivalentni ako je opće rješenje jednog od njih rješenje drugog, ili oba nemaju rješenja.

Proučavat ćemo rješenja sustava jednadžbi s dvije varijable. Postoje dva načina za njihovo rješavanje - metoda zamjene ili algebarska metoda.

Algebarska metoda

Da biste riješili sustav prikazan na slici ovom metodom, prvo morate pomnožiti jedan njegov dio s takvim brojem, tako da kasnije možete međusobno poništiti jednu varijablu iz oba dijela jednadžbe. Ovdje množimo s tri, povlačimo crtu ispod sustava i zbrajamo njegove dijelove. Kao rezultat, x-ovi postaju identični u modulu, ali suprotni po predznaku, te ih smanjujemo. Zatim dobivamo linearnu jednadžbu s jednom varijablom i rješavamo je.

Pronašli smo Y, ali ne možemo stati na tome, jer još nismo pronašli X. ZamjenaY na dio iz kojeg će biti prikladno povući X, na primjer:

-x + 5y=8, s y=1

-x + 5=8

Riješi rezultirajuću jednadžbu i pronađi x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Glavna stvar u rješenju sustava je ispravno zapisati odgovor. Mnogi studenti griješe pišu:

Odgovor: -3, 1.

Ali ovo je pogrešan unos. Uostalom, kao što je već spomenuto, pri rješavanju sustava jednadžbi tražimo opće rješenje za njegove dijelove. Točan odgovor bi bio:

(-3; 1)