U algebri postoji koncept dvije vrste jednakosti - identiteta i jednadžbi. Identiteti su takve jednakosti koje su izvedive za sve vrijednosti slova uključenih u njih. Jednadžbe su također jednakosti, ali su izvedive samo za određene vrijednosti slova uključenih u njih.
Slova su obično nejednaka u smislu zadatka. To znači da neki od njih mogu poprimiti bilo koje dopuštene vrijednosti, koje se nazivaju koeficijenti (ili parametri), dok drugi - oni se zovu nepoznanice - preuzimaju vrijednosti koje je potrebno pronaći u procesu rješavanja. Nepoznate količine se u jednadžbama u pravilu označavaju slovima, posljednje u latiničnoj abecedi (x.y.z itd.), ili istim slovima, ali indeksom (x1, x 2 itd.), a poznati koeficijenti dati su prvim slovima iste abecede.
Na temelju broja nepoznanica razlikuju se jednadžbe s jednom, dvije i više nepoznanica. Dakle, sve vrijednosti nepoznanica za koje se jednadžba rješava u identičnost nazivaju se rješenjima jednadžbi. Jednadžba se može smatrati riješenom ako se pronađu sva njezina rješenja ili se dokaže da nema nijedno. Zadatak "riješi jednadžbu" u praksi je uobičajen i znači da trebate pronaći korijen jednadžbe.
Definicija: korijeni jednadžbe su one vrijednosti nepoznanica iz raspona dopuštenih vrijednosti pri kojima jednadžba koja se rješava postaje identitet.
Algoritam za rješavanje apsolutno svih jednadžbi je isti, a njegovo je značenje svesti ovaj izraz na jednostavniji oblik korištenjem matematičkih transformacija. Jednadžbe koje imaju iste korijene nazivaju se u algebri ekvivalentne.
Najjednostavniji primjer: 7x-49=0, korijen jednadžbe x=7;x-7=0, slično, korijen x=7, dakle, jednadžbe su ekvivalentne. (U posebnim slučajevima, ekvivalentne jednadžbe možda uopće nemaju korijen.)
Ako je korijen jednadžbe također korijen druge, jednostavnije jednadžbe dobivene iz izvorne jednadžbe transformacijama, onda se potonja naziva posljedicom prethodne jednadžbe.
Ako je jedna od dvije jednadžbe posljedica druge, onda se one smatraju ekvivalentnima. Nazivaju se i ekvivalentima. Gornji primjer to ilustrira.
Rješavanje čak i najjednostavnijih jednadžbi u praksi je često teško. Kao rezultat rješenja, možete dobiti jedan korijen jednadžbe, dva ili više, čak i beskonačan broj - ovisi o vrsti jednadžbe. Ima i onih koji nemaju korijena, zovu se neodlučivi.
Primjeri:
1) 15x -20=10; x=2. Ovo je jedini korijen jednadžbe.
2) 7x - y=0. Jednadžba ima beskonačan broj korijena, budući da svaka varijabla može imati bezbrojbroj vrijednosti.
3) x2=- 16. Broj podignut na drugi stepen uvijek daje pozitivan rezultat, pa je nemoguće pronaći korijen jednadžbe. Ovo je jedna od gore spomenutih nerješivih jednadžbi.
Točnost rješenja provjerava se zamjenom pronađenih korijena umjesto slova i rješavanjem dobivenog primjera. Ako identitet vrijedi, rješenje je točno.
