Rješavanje jednadžbi u matematici ima posebno mjesto. Ovom procesu prethodi višesatno učenje teorije, tijekom kojih student uči rješavati jednadžbe, odrediti njihov oblik i dovesti vještinu do potpunog automatizma. Međutim, potraga za korijenima nema uvijek smisla, jer oni možda jednostavno ne postoje. Postoje posebne metode za pronalaženje korijena. U ovom članku analizirat ćemo glavne funkcije, njihove opsege, kao i slučajeve u kojima njihovi korijeni izostaju.
Koja jednadžba nema korijen?
Jednadžba nema korijena ako ne postoje takvi pravi argumenti x za koje je jednadžba identično istinita. Za nespecijalista, ova formulacija, kao i većina matematičkih teorema i formula, izgleda vrlo nejasno i apstraktno, ali to je u teoriji. U praksi sve postaje krajnje jednostavno. Na primjer: jednadžba 0x=-53 nema rješenja, jer ne postoji takav broj x čiji bi umnožak s nulom dao nešto drugo osim nule.
Sada ćemo pogledati najosnovnije vrste jednadžbi.
1. Linearna jednadžba
Jednadžba se naziva linearnom ako su njeni desni i lijevi dijelovi predstavljeni kao linearne funkcije: ax + b=cx + d ili u generaliziranom obliku kx + b=0. Gdje su a, b, c, d poznati brojevi, a x je nepoznata veličina. Koja jednadžba nema korijen? Primjeri linearnih jednadžbi prikazani su na donjoj ilustraciji.
U osnovi, linearne jednadžbe se rješavaju jednostavnim pomicanjem dijela broja u jedan dio, a sadržaja x u drugi. Ispada jednadžba oblika mx \u003d n, gdje su m i n brojevi, a x je nepoznanica. Da bismo pronašli x, dovoljno je oba dijela podijeliti s m. Tada je x=n/m. U osnovi, linearne jednadžbe imaju samo jedan korijen, ali postoje slučajevi kada ih ima beskonačno mnogo ili uopće nema. Uz m=0 i n=0, jednadžba ima oblik 0x=0. Apsolutno bilo koji broj bit će rješenje takve jednadžbe.
Ali koja jednadžba nema korijen?
Kada je m=0 i n=0, jednadžba nema korijena iz skupa realnih brojeva. 0x=-1; 0x=200 - ove jednadžbe nemaju korijena.
2. Kvadratna jednadžba
Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika ax2 + bx + c=0 za a=0. Najčešći način rješavanja kvadratne jednadžbe je njezino rješavanje kroz diskriminant. Formula za pronalaženje diskriminanta kvadratne jednadžbe: D=b2 - 4ac. Zatim postoje dva korijena x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Kada je D > 0 jednadžba ima dva korijena, kada je D=0 - jedan korijen. Ali koja kvadratna jednadžba nema korijen?Najlakši način za promatranje broja korijena kvadratne jednadžbe je na grafu funkcije, koji je parabola. Na > 0 grane su usmjerene prema gore, na < 0 grane su spuštene prema dolje. Ako je diskriminant negativan, takva kvadratna jednadžba nema korijen u skupu realnih brojeva.
Možete i vizualno odrediti broj korijena bez izračunavanja diskriminanta. Da biste to učinili, morate pronaći vrh parabole i odrediti u kojem su smjeru grane usmjerene. Možete odrediti x-koordinatu vrha koristeći formulu: x0 =-b / 2a. U ovom slučaju, y-koordinata vrha nalazi se jednostavnom zamjenom vrijednosti x0 u izvornu jednadžbu.
Kvadratna jednadžba x2 – 8x + 72=0 nema korijena jer ima negativan diskriminant D=(–8)2 - 4172=-224. To znači da parabola ne dodiruje x-os i funkcija nikada ne uzima vrijednost 0, stoga jednadžba nema pravi korijen.
3. Trigonometrijske jednadžbe
Trigonometrijske funkcije se razmatraju na trigonometrijskom krugu, ali se također mogu predstaviti u kartezijanskom koordinatnom sustavu. U ovom članku ćemo pogledati dvije osnovne trigonometrijske funkcije i njihove jednadžbe: sinx i cosx. Budući da ove funkcije tvore trigonometrijski krug polumjera 1, |sinx| i |cosx| ne može biti veći od 1. Dakle, koja sinx jednadžba nema korijen? Razmotrite graf funkcije sinx prikazan na sliciispod.
Vidimo da je funkcija simetrična i da ima period ponavljanja od 2pi. Na temelju toga možemo reći da maksimalna vrijednost ove funkcije može biti 1, a minimalna -1. Na primjer, izraz cosx=5 neće imati korijene, budući da je njegov modul veći od jedan.
Ovo je najjednostavniji primjer trigonometrijskih jednadžbi. Zapravo, njihovo rješenje može potrajati mnogo stranica, na čijem kraju shvatite da ste upotrijebili pogrešnu formulu i trebate početi ispočetka. Ponekad, čak i uz točan pronalazak korijena, možete zaboraviti uzeti u obzir ograničenja ODZ-a, zbog čega se u odgovoru pojavljuje dodatni korijen ili interval, a cijeli odgovor se pretvara u pogrešan. Stoga se striktno pridržavajte svih ograničenja, jer svi korijeni ne uklapaju se u opseg zadatka.
4. Sustavi jednadžbi
Sustav jednadžbi je skup jednadžbi u kombinaciji s kovrčavim ili uglatim zagradama. Vitičaste zagrade označavaju zajedničko izvođenje svih jednadžbi. To jest, ako barem jedna od jednadžbi nema korijen ili je u suprotnosti s drugom, cijeli sustav nema rješenja. Uglate zagrade označavaju riječ "ili". To znači da ako barem jedna od jednadžbi sustava ima rješenje, onda cijeli sustav ima rješenje.
Odgovor sustava s uglastim zagradama je ukupnost svih korijena pojedinačnih jednadžbi. A sustavi s kovrčavim zagradama imaju samo zajedničke korijene. Sustavi jednadžbi mogu uključivati apsolutno različite funkcije, pa ova složenost nijeomogućuje vam da odmah kažete koja jednadžba nema korijena.
Generalizacija i savjeti za pronalaženje korijena jednadžbe
U problemskim knjigama i udžbenicima postoje različite vrste jednadžbi: one koje imaju korijene i one koje ih nemaju. Prije svega, ako ne možete pronaći korijene, nemojte misliti da oni uopće ne postoje. Možda ste negdje pogriješili, onda samo još jednom provjerite svoje rješenje.
Pokrili smo najosnovnije jednadžbe i njihove vrste. Sada možete reći koja jednadžba nema korijen. U većini slučajeva to uopće nije teško učiniti. Za postizanje uspjeha u rješavanju jednadžbi potrebni su samo pažnja i koncentracija. Vježbajte više, to će vam pomoći da se lakše i brže snalazite u gradivu.
Dakle, jednadžba nema korijena ako:
- u linearnoj jednadžbi mx=n vrijednost m=0 i n=0;
- u kvadratnoj jednadžbi ako je diskriminant manji od nule;
- u trigonometrijskoj jednadžbi oblika cosx=m / sinx=n, ako je |m| > 0, |n| > 0;
- u sustavu jednadžbi s vitičastim zagradama ako barem jedna jednadžba nema korijena i s uglatim zagradama ako sve jednadžbe nemaju korijena.
