Neki matematički problemi zahtijevaju sposobnost izračunavanja kvadratnog korijena. Ovi problemi uključuju rješavanje jednadžbi drugog reda. U ovom članku predstavljamo učinkovitu metodu za izračunavanje kvadratnih korijena i koristimo je pri radu s formulama za korijene kvadratne jednadžbe.
Što je kvadratni korijen?
U matematici, ovaj koncept odgovara simbolu √. Povijesni podaci govore da se prvi put počeo koristiti oko prve polovice 16. stoljeća u Njemačkoj (prvo njemačko djelo o algebri Christopha Rudolfa). Znanstvenici vjeruju da je ovaj simbol transformirano latinsko slovo r (radix znači "korijen" na latinskom).
Korijen bilo kojeg broja jednak je takvoj vrijednosti, čiji kvadrat odgovara korijenskom izrazu. U jeziku matematike, ova će definicija izgledati ovako: √x=y ako je y2=x.
Korijen pozitivnog broja (x > 0) je takođerpozitivan broj (y > 0), ali ako se korijen uzme iz negativnog broja (x < 0), tada će njegov rezultat već biti kompleksan broj, uključujući imaginarnu jedinicu i.
Evo dva jednostavna primjera:
√9=3 jer je 32 =9; √(-9)=3i jer i2=-1.
Heronova iterativna formula za pronalaženje kvadratnog korijena
Navedeni primjeri su vrlo jednostavni, a izračunavanje korijena u njima nije teško. Poteškoće se počinju javljati već pri pronalaženju korijenskih vrijednosti za bilo koju vrijednost koja se ne može predstaviti kao kvadrat prirodnog broja, na primjer √10, √11, √12, √13, a da ne spominjemo činjenicu da se u praksi potrebno je pronaći korijene za necijele brojeve: na primjer √(12, 15), √(8, 5) i tako dalje.
U svim gore navedenim slučajevima treba koristiti posebnu metodu izračunavanja kvadratnog korijena. Trenutno je poznato nekoliko takvih metoda: na primjer, proširenje u Taylorov niz, podjela po stupcu i neke druge. Od svih poznatih metoda, možda je najjednostavnija i najučinkovitija upotreba Heronove iterativne formule, koja je također poznata kao babilonska metoda za određivanje kvadratnog korijena (postoje dokazi da su je stari Babilonci koristili u svojim praktičnim izračunima).
Neka je potrebno odrediti vrijednost √x. Formula za pronalaženje kvadratnog korijena je sljedeća:
an+1=1/2(a+x/a), gdje je limn->∞(a)=> x.
Dešifrirajte ovu matematičku notaciju. Da biste izračunali √x, trebali biste uzeti neki broj a0 (može biti proizvoljan, ali za brzi rezultat, trebate ga odabrati tako da (a0) 2 bio je što bliže x, a zatim ga zamijenite u navedenu formulu kvadratnog korijena i dobijete novi broj a1, koji će već biti bliže željenoj vrijednosti potrebno je zamijeniti a1 u izraz i dobiti 2 Ovaj postupak treba ponavljati dok se ne postigne tražena točnost.
Primjer primjene Heronove iterativne formule
Gore opisani algoritam za dobivanje kvadratnog korijena nekog zadanog broja može mnogima zvučati prilično komplicirano i zbunjujuće, ali u stvarnosti se sve ispostavi da je mnogo jednostavnije, budući da se ova formula vrlo brzo konvergira (pogotovo ako je sretan broj je odabran a0).
Uzmimo jednostavan primjer: trebamo izračunati √11. Odabiremo a0=3, budući da je 32=9, što je bliže 11 nego 42=16. Zamjenom u formulu dobivamo:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Nema smisla nastavljati s izračunima, budući da smo dobili da se a2 i a3 počinju razlikovati samo u 5. decimalu mjesto. Dakle, bilo je dovoljno nanijeti samo 2 puta formulu naizračunaj √11 na 0,0001.
Trenutno se kalkulatori i računala široko koriste za izračunavanje korijena, međutim, korisno je zapamtiti označenu formulu kako biste mogli ručno izračunati njihovu točnu vrijednost.
jednadžbe drugog reda
Razumijevanje što je kvadratni korijen i sposobnost izračunavanja koristi se pri rješavanju kvadratnih jednadžbi. Ove jednadžbe su jednakosti s jednom nepoznatom, čiji je opći oblik prikazan na donjoj slici.
Ovdje su c, b i a neki brojevi, a a ne smije biti jednak nuli, a vrijednosti c i b mogu biti potpuno proizvoljne, uključujući nulu.
Sve vrijednosti x koje zadovoljavaju jednakost prikazanu na slici nazivaju se njezinim korijenima (ovaj koncept ne treba brkati s kvadratnim korijenom √). Budući da jednadžba koja se razmatra ima 2. red (x2), tada ne može biti više od dva broja za njezine korijene. Pogledajmo kako pronaći ove korijene kasnije u članku.
Pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe (formule)
Ova metoda rješavanja razmatrane vrste jednakosti naziva se i univerzalna, odnosno metoda kroz diskriminant. Može se primijeniti na bilo koje kvadratne jednadžbe. Formula za diskriminant i korijene kvadratne jednadžbe je sljedeća:
Pokazuje da korijeni ovise o vrijednosti svakog od tri koeficijenta jednadžbe. Štoviše, izračunx1 razlikuje se od izračuna x2 samo znakom ispred kvadratnog korijena. Radikalni izraz, koji je jednak b2 - 4ac, nije ništa drugo nego diskriminant razmatrane jednakosti. Diskriminant u formuli za korijene kvadratne jednadžbe igra važnu ulogu jer određuje broj i vrstu rješenja. Dakle, ako je nula, tada će postojati samo jedno rješenje, ako je pozitivno, onda jednadžba ima dva realna korijena, konačno, negativna diskriminanta vodi do dva kompleksna korijena x1 i x 2.
Vietin teorem ili neka svojstva korijena jednadžbi drugog reda
Krajem 16. stoljeća, jedan od osnivača moderne algebre, Francuz Francois Viet, proučavajući jednadžbe drugog reda, uspio je dobiti svojstva njezinih korijena. Matematički se mogu napisati ovako:
x1 + x2=-b / a i x1 x 2=c / a.
Obje jednakosti svatko može lako dobiti, za to je potrebno samo izvršiti odgovarajuće matematičke operacije s korijenima dobivenim kroz formulu s diskriminantom.
Kombinacija ova dva izraza s pravom se može nazvati drugom formulom korijena kvadratne jednadžbe, koja omogućuje pogađanje njezinih rješenja bez korištenja diskriminanta. Ovdje treba napomenuti da iako su oba izraza uvijek valjana, prikladno ih je koristiti za rješavanje jednadžbe samo ako se može rastaviti na faktore.
Zadatak konsolidacije stečenog znanja
Riješimo matematički problem u kojem ćemo demonstrirati sve tehnike o kojima se govori u članku. Uvjeti zadatka su sljedeći: trebate pronaći dva broja za koje je umnožak -13, a zbroj 4.
Ovaj uvjet odmah podsjeća na Vietin teorem, primjenjujući formule za zbroj kvadratnih korijena i njihov proizvod, pišemo:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Pod pretpostavkom da je a=1, zatim b=-4 i c=-13. Ovi koeficijenti nam omogućuju da zapišemo jednadžbu drugog reda:
x2 - 4x - 13=0.
Koristimo formulu s diskriminantom, dobivamo sljedeće korijene:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Odnosno, zadatak se sveo na pronalaženje broja √68. Imajte na umu da je 68=417, a zatim koristeći svojstvo kvadratnog korijena, dobivamo: √68=2√17.
Sada upotrijebimo razmatranu formulu kvadratnog korijena: a0=4, zatim:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Nema potrebe izračunati a3 jer se pronađene vrijednosti razlikuju za samo 0,02. Dakle, √68=8,246. Zamjenjujući ga u formulu za x 1, 2, dobivamo:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 i x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Kao što možete vidjeti, zbroj pronađenih brojeva je doista 4, ali ako pronađete njihov proizvod, bit će jednak -12,999, što zadovoljava uvjet problema s točnošću od 0,001.
