Svijet je uređen na način da se rješenje velikog broja problema svodi na pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Korijeni jednadžbi važni su za opisivanje različitih obrazaca. To su znali čak i geodeti starog Babilona. Astronomi i inženjeri također su bili prisiljeni rješavati takve probleme. Još u 6. stoljeću naše ere, indijski znanstvenik Aryabhata razvio je osnove za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Formule su dovršene u 19. stoljeću.
Opći koncepti
Pozivamo vas da se upoznate s osnovnim pravilnostima kvadratnih jednakosti. Općenito, jednakost se može napisati na sljedeći način:
ax2 + bx + c=0, Broj korijena kvadratne jednadžbe može biti jednak jednom ili dva. Brza analiza može se napraviti korištenjem koncepta diskriminanta:
D=b2 - 4ac
Ovisno o izračunatoj vrijednosti, dobivamo:
- Kada je D > 0 postoje dva različita korijena. Opća formula za određivanje korijena kvadratne jednadžbe izgleda kao (-b± √D) / (2a).
- D=0, u ovom slučaju korijen je jedan i odgovara vrijednosti x=-b / (2a)
- D < 0, za negativnu vrijednost diskriminanta, ne postoji rješenje jednadžbe.
Napomena: ako je diskriminant negativan, jednadžba nema korijen samo u području realnih brojeva. Ako se algebra proširi na koncept kompleksnih korijena, tada jednadžba ima rješenje.
Dajmo lanac radnji koji potvrđuje formulu za pronalaženje korijena.
Iz općeg oblika jednadžbe slijedi:
ax2 + bx=-c
Množimo desni i lijevi dio s 4a i dodajemo b2, dobivamo
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Transformirajte lijevu stranu u kvadrat polinoma (2ax + b)2. Izvlačimo kvadratni korijen obje strane jednadžbe 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), prenosimo koeficijent b na desnu stranu, dobivamo:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Odavde slijedi:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Što je bilo potrebno za prikazati.
Poseban slučaj
U nekim slučajevima, rješenje problema se može pojednostaviti. Dakle, za paran koeficijent b dobivamo jednostavniju formulu.
Označimo k=1/2b, tada formula općeg oblika korijena kvadratne jednadžbe ima oblik:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Kada je D=0, dobivamo x=-k / a
Još jedan poseban slučaj je rješenje jednadžbe s a=1.
Za oblik x2 + bx + c=0 korijeni će biti x=-k ± √(k2 - c) s diskriminantom većim od 0. Za slučaj kada je D=0, korijen će biti određen jednostavnom formulom: x=-k.
Koristite grafikone
Svaka osoba, a da to i ne zna, stalno je suočena s fizičkim, kemijskim, biološkim, pa čak i društvenim fenomenima koji su dobro opisani kvadratnom funkcijom.
Napomena: krivulja izgrađena na temelju kvadratne funkcije naziva se parabola.
Evo nekoliko primjera.
- Prilikom izračunavanja putanje projektila koristi se svojstvo kretanja duž parabole tijela ispaljenog pod kutom prema horizontu.
- Svojstvo parabole da ravnomjerno raspoređuje opterećenje široko se koristi u arhitekturi.
Razumeći važnost paraboličke funkcije, shvatimo kako koristiti graf za istraživanje njegovih svojstava, koristeći koncepte "diskriminanta" i "korijena kvadratne jednadžbe".
Ovisno o vrijednosti koeficijenata a i b, postoji samo šest opcija za položaj krivulje:
- Diskriminant je pozitivan, a i b imaju različite predznake. Grane parabole gledaju gore, kvadratna jednadžba ima dva rješenja.
- Diskriminant i koeficijent b jednaki su nuli, koeficijent a je veći od nule. Graf je u pozitivnoj zoni, jednadžba ima 1 korijen.
- Diskriminanta i svi koeficijenti su pozitivni. Kvadratna jednadžba nema rješenja.
- Diskriminanta i koeficijent a su negativni, b je veći od nule. Grane grafa usmjerene su prema dolje, jednadžba ima dva korijena.
- Diskriminantno ikoeficijent b jednak je nuli, koeficijent a je negativan. Parabola gleda prema dolje, jednadžba ima jedan korijen.
- Vrijednosti diskriminanta i svih koeficijenata su negativne. Nema rješenja, vrijednosti funkcije su potpuno u negativnoj zoni.
Napomena: opcija a=0 se ne razmatra, jer se u ovom slučaju parabola degenerira u ravnu liniju.
Sve gore navedeno je dobro ilustrirano slikom ispod.
Primjeri rješavanja problema
Uvjet: koristeći opća svojstva, napravite kvadratnu jednadžbu čiji su korijeni međusobno jednaki.
Rješenje:
prema uvjetu problema x1 =x2, ili -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Pojednostavljivanje zapisa:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, otvorite zagrade i dajte slične pojmove. Jednadžba postaje 2√(b2 - 4ac)=0. Ova izjava je istinita kada je b2 - 4ac=0, dakle b 2=4ac, tada se vrijednost b=2√(ac) zamjenjuje u jednadžbu
ax2 + 2√(ac)x + c=0, u smanjenom obliku dobivamo x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Odgovor:
za a koji nije jednak 0 i bilo koje c, postoji samo jedno rješenje ako je b=2√(c / a).
Kvadrične jednadžbe, unatoč svojoj jednostavnosti, od velike su važnosti u inženjerskim proračunima. Gotovo svaki fizički proces može se opisati s nekom aproksimacijom pomoćufunkcije moći reda n. Kvadratna jednadžba bit će prva takva aproksimacija.
