Svi smo učili aritmetičke kvadratne korijene na satu algebre u školi. Događa se da ako se znanje ne osvježi, onda se brzo zaboravlja, isto i s korijenima. Ovaj će članak biti koristan učenicima osmih razreda koji žele osvježiti svoje znanje iz ovog područja, ali i ostalim školarcima, jer radimo s korijenima iz 9., 10. i 11. razreda.
Povijest korijena i stupnja
Čak iu davna vremena, a posebno u starom Egiptu, ljudima su bili potrebni stupnjevi za obavljanje operacija s brojevima. Kad nije postojao takav koncept, Egipćani su umnožak istog broja zapisali dvadeset puta. Ali ubrzo je izmišljeno rješenje problema - u gornjem desnom kutu iznad njega počelo se pisati koliko puta se broj mora pomnožiti sam sa sobom, a ovaj oblik snimanja zadržao se do danas.
A povijest kvadratnog korijena započela je prije otprilike 500 godina. Označavano je na različite načine, a tek je u sedamnaestom stoljeću Rene Descartes uveo takav znak, koji koristimo do danas.
Što je kvadratni korijen
Počnimo s objašnjenjem što je kvadratni korijen. Kvadratni korijen nekog broja c je nenegativan broj koji će, kada se kvadrira, biti jednak c. U ovom slučaju, c je veći ili jednak nuli.
Da bismo broj doveli pod korijen, kvadriramo ga i stavljamo znak korijena preko njega:
32=9, 3=√9
Također, ne možemo dobiti vrijednost kvadratnog korijena negativnog broja, budući da je svaki broj u kvadratu pozitivan, odnosno:
c2 ≧ 0, ako je √c negativan broj, tada c2 < 0 - suprotno pravilu.
Da biste brzo izračunali kvadratni korijen, morate znati tablicu kvadrata brojeva.
Svojstva
Razmotrimo algebarska svojstva kvadratnog korijena.
1) Da biste izdvojili kvadratni korijen proizvoda, trebate uzeti korijen svakog faktora. Odnosno, može se napisati kao proizvod korijena faktora:
√ac=√a × √c, na primjer:
√36=√4 × √9
2) Prilikom vađenja korijena iz razlomka potrebno je izdvojiti korijen odvojeno od brojnika i nazivnika, odnosno napisati ga kao kvocijent njihovih korijena.
3) Vrijednost dobivena uzimanjem kvadratnog korijena broja uvijek je jednaka modulu ovog broja, budući da modul može biti samo pozitivan:
√s2=∣s∣, ∣s∣ > 0.
4) Da bismo podigli korijen na bilo koji stepen, dižemo na njegaradikalni izraz:
(√s)4=√s4, na primjer:
(√2)6 =√26=√64=8
5) Kvadrat aritmetičkog korijena od c jednak je samom ovom broju:
(√s)2=s.
Korijeni iracionalnih brojeva
Recimo da je korijen od šesnaest jednostavan, ali kako uzeti korijen brojeva poput 7, 10, 11?
Broj čiji je korijen beskonačan neperiodični razlomak naziva se iracionalnim. Ne možemo sami izvući korijen iz njega. Možemo ga usporediti samo s drugim brojevima. Na primjer, uzmite korijen od 5 i usporedite ga s √4 i √9. Jasno je da je √4 < √5 < √9, zatim 2 < √5 < 3. To znači da je vrijednost korijena iz pet negdje između dva i tri, ali između njih ima puno decimalnih razlomaka i odabir svake je sumnjiv način pronalaženja korijena.
Ovu operaciju možete izvesti na kalkulatoru - ovo je najlakši i najbrži način, ali u 8. razredu nikada nećete morati izvlačiti iracionalne brojeve iz aritmetičkog kvadratnog korijena. Trebate samo zapamtiti približne vrijednosti korijena dva i korijena tri:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Primjeri
Sada ćemo, na temelju svojstava kvadratnog korijena, riješiti nekoliko primjera:
1) √172 - 82
Zapamti formulu za razliku kvadrata:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Poznajemo svojstvo kvadratnog aritmetičkog korijena - da biste izvukli korijen iz proizvoda, trebate ga izdvojiti iz svakog faktora:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Primijenite još jedno svojstvo korijena - kvadrat aritmetičkog korijena broja jednak je samom ovom broju:
2 × 3 + 6=12
Važno! Često, kada počnu raditi i rješavati primjere s aritmetičkim kvadratnim korijenima, učenici naprave sljedeću pogrešku:
√12 + 3=√12 + √3 - ne možete to učiniti!
Ne možemo uzeti korijen svakog pojma. Ne postoji takvo pravilo, ali se miješa s uzimanjem korijena svakog čimbenika. Da imamo ovaj unos:
√12 × 3, tada bi bilo pošteno napisati √12 × 3=√12 × √3.
I tako možemo napisati samo:
√12 + 3=√15
