U matematici i obradi, koncept analitičkog signala (skraćeno - C, AC) je složena funkcija koja nema negativne frekvencijske komponente. Stvarni i imaginarni dijelovi ovog fenomena su stvarne funkcije povezane jedna s drugom Hilbertovom transformacijom. Analitički signal je prilično čest fenomen u kemiji, čija je bit slična matematičkoj definiciji ovog pojma.
nastupi
Analitički prikaz realne funkcije je analitički signal koji sadrži izvornu funkciju i njezinu Hilbertovu transformaciju. Ovaj prikaz olakšava mnoge matematičke manipulacije. Glavna ideja je da su negativne frekvencijske komponente Fourierove transformacije (ili spektra) realne funkcije suvišne zbog hermitske simetrije takvog spektra. Ove negativne frekvencijske komponente mogu se odbaciti bezgubitak informacija, pod uvjetom da se umjesto toga želite baviti složenom funkcijom. To čini određene atribute značajki pristupačnijim i olakšava izvođenje tehnika modulacije i demodulacije kao što je SSB.
Negativne komponente
Sve dok funkcija kojom se manipulira nema negativne frekvencijske komponente (tj. i dalje je analitička), pretvaranje iz kompleksnog natrag u realno je jednostavno pitanje odbacivanja imaginarnog dijela. Analitički prikaz je generalizacija koncepta vektora: dok je vektor ograničen na vremenski nepromjenjivu amplitudu, fazu i frekvenciju, kvalitativna analiza analitičkog signala dopušta parametre koji se mijenjaju u vremenu.
Trenutačna amplituda, trenutna faza i frekvencija koriste se u nekim aplikacijama za mjerenje i otkrivanje lokalnih značajki C. Druga primjena analitičkog prikaza odnosi se na demodulaciju moduliranih signala. Polarne koordinate prikladno odvajaju učinke AM i fazne (ili frekvencijske) modulacije i učinkovito demoduliraju određene vrste.
Tada jednostavan niskopropusni filtar sa stvarnim koeficijentima može odsjeći dio od interesa. Drugi motiv je smanjenje maksimalne frekvencije, što smanjuje minimalnu frekvenciju za ne-alias uzorkovanje. Frekvencijski pomak ne potkopava matematičku korisnost prikaza. Dakle, u tom smislu, pretvorba na niže stanje je još uvijek analitička. Međutim, obnova stvarne reprezentacijeviše nije jednostavno vađenje prave komponente. Može biti potrebna pretvorba naviše, a ako je signal uzorkovan (diskretno vrijeme), može biti potrebna i interpolacija (upsampling) kako bi se izbjeglo aliasing.
Varijable
Koncept je dobro definiran za pojedinačne varijabilne pojave, koje su obično privremene. Ova temporalnost zbunjuje mnoge početnike matematičara. Za dvije ili više varijabli, analitički C se može definirati na različite načine, a u nastavku su predstavljena dva pristupa.
Pravi i imaginarni dijelovi ovog fenomena odgovaraju dvama elementima monogenog signala vektorske vrijednosti, kako je definirano za slične pojave s jednom varijablom. Međutim, monogeno se može proširiti na proizvoljan broj varijabli na jednostavan način, stvarajući (n + 1)-dimenzionalnu vektorsku funkciju za slučaj signala n varijabli.
Pretvorba signala
Možete pretvoriti stvarni signal u analitički dodavanjem imaginarne (Q) komponente, što je Hilbertova transformacija stvarne komponente.
Usput, ovo nije novo u njegovoj digitalnoj obradi. Jedan od tradicionalnih načina generiranja AM s jednim bočnim pojasom (SSB), faza faziranja, uključuje stvaranje signala generiranjem Hilbertove transformacije audio signala u analognoj mreži otpornik-kondenzator. Budući da ima samo pozitivne frekvencije, lako ga je pretvoriti u modulirani RF signal sa samo jednim bočnim pojasom.
Formule definicije
Analitički izraz signala je holomorfna kompleksna funkcija definirana na granici gornje kompleksne poluravnine. Granica gornje poluravnine poklapa se sa slučajnim, pa je C zadan preslikavanjem fa: R → C. Od sredine prošlog stoljeća, kada je Denis Gabor 1946. predložio korištenje ovog fenomena za proučavanje konstantne amplitude i faze, signal je našao mnoge primjene. Posebnost ovog fenomena je naglašena [Vak96], gdje je pokazano da samo kvalitativna analiza analitičkog signala odgovara fizičkim uvjetima za amplitudu, fazu i frekvenciju..
Najnovija postignuća
Tijekom posljednjih nekoliko desetljeća postojao je interes za proučavanje signala u mnogim dimenzijama, motiviran problemima koji se javljaju u područjima u rasponu od obrade slike/video do višedimenzionalnih oscilatornih procesa u fizici, kao što su seizmički, elektromagnetski i gravitacijski valovi. Općenito je prihvaćeno da se, kako bi se ispravno generalizirala analitička C (kvalitativna analiza) na slučaj nekoliko dimenzija, treba osloniti na algebarsku konstrukciju koja proširuje obične kompleksne brojeve na prikladan način. Takve se konstrukcije obično nazivaju hiperkompleksnim brojevima [SKE].
Konačno, trebalo bi biti moguće konstruirati hiperkompleksni analitički signal fh: Rd → S, gdje je predstavljen neki opći hiperkompleksni algebarski sustav, koji prirodno proširuje sva tražena svojstva za dobivanje trenutne amplitude ifaza.
Studij
Brojni radovi posvećeni su raznim pitanjima vezanim za ispravan izbor hiperkompleksnog brojevnog sustava, definiciju hiperkompleksne Fourierove transformacije i frakcijske Hilbertove transformacije za proučavanje trenutne amplitude i faze. Većina ovog rada temeljila se na svojstvima različitih prostora kao što su Cd, kvaternioni, Clearon algebre i Cayley-Dixon konstrukcije.
Dalje ćemo navesti samo neke od radova posvećenih proučavanju signala u mnogim dimenzijama. Koliko nam je poznato, prvi radovi na multivarijantnoj metodi dobiveni su početkom 1990-ih. To uključuje Ellov rad [Ell92] o hiperkompleksnim transformacijama; Bulowov rad na generalizaciji metode analitičke reakcije (analitički signal) na mnoga mjerenja [BS01] i rad Felsberga i Sommera na monogenim signalima.
Daljnji izgledi
Očekuje se da će signal hiperkompleksa proširiti sva korisna svojstva koja imamo u 1D slučaju. Prije svega, moramo biti u stanju izdvojiti i generalizirati trenutnu amplitudu i fazu na mjerenja. Drugo, Fourierov spektar složenog analitičkog signala održava se samo na pozitivnim frekvencijama, pa očekujemo da hiperkompleksna Fourierova transformacija ima svoj hipervalificirani spektar, koji će se održavati samo u nekom pozitivnom kvadrantu hiperkompleksnog prostora. Jer je vrlo važno.
Treće, konjugirajte dijelove složenog konceptaanalitičkog signala odnose se na Hilbertovu transformaciju, te možemo očekivati da konjugirane komponente u hiperkompleksnom prostoru također moraju biti povezane s nekom kombinacijom Hilbertovih transformacija. I konačno, doista, hiperkompleksni signal mora biti definiran kao produžetak neke hiperkompleksne holomorfne funkcije nekoliko hiperkompleksnih varijabli definiranih na granici nekog oblika u hiperkompleksnom prostoru.
Ova pitanja rješavamo uzastopnim redoslijedom. Prije svega, počinjemo gledanjem formule Fourierovog integrala i pokazujemo da je Hilbertova transformacija u 1-D povezana s modificiranom Fourierovom integralnom formulom. Ova činjenica nam omogućuje da definiramo trenutnu amplitudu, fazu i frekvenciju bez ikakvog pozivanja na hiperkompleksne sustave brojeva i holomorfne funkcije.
Izmjena integrala
Nastavljamo proširenjem modificirane formule Fourierovog integrala na nekoliko dimenzija, te određujemo sve potrebne fazno pomaknute komponente koje možemo prikupiti u trenutnu amplitudu i fazu. Drugo, prelazimo na pitanje postojanja holomorfnih funkcija nekoliko hiperkompleksnih varijabli. Nakon [Sch93] ispada da je komutativna i asocijativna hiperkompleksna algebra generirana skupom eliptičkih (e2i=−1) generatora prikladan prostor za život hiperkompleksnog analitičkog signala, takvu hiperkompleksnu algebru nazivamo Schaefersovim prostorom i označavamo toSd.
Stoga je hiperkompleks analitičkih signala definiran kao holomorfna funkcija na granici polidiska / gornje polovice ravnine u nekom hiperkompleksnom prostoru, koji nazivamo općim Schaefersovim prostorom i označavamo sa Sd. Zatim promatramo valjanost Cauchyjeve integralne formule za funkcije Sd → Sd, koje su izračunate preko hiperpovršine unutar polidiska u Sd i izvode odgovarajuće frakcijske Hilbertove transformacije koje povezuju hiperkompleksne konjugirane komponente. Konačno, ispada da je Fourierova transformacija s vrijednostima u Schaefersovom prostoru podržana samo na nenegativnim frekvencijama. Zahvaljujući ovom članku naučili ste što je analitički signal.
