Matrix je poseban predmet u matematici. Prikazuje se u obliku pravokutne ili kvadratne tablice, sastavljene od određenog broja redaka i stupaca. U matematici postoji veliki izbor vrsta matrica koje se razlikuju po veličini ili sadržaju. Brojevi njegovih redaka i stupaca nazivaju se nalozima. Ovi se objekti koriste u matematici za organiziranje pisanja sustava linearnih jednadžbi i prikladno traženje njihovih rezultata. Jednadžbe pomoću matrice rješavaju se metodom Carla Gaussa, Gabriela Cramera, minorima i algebarskim zbrajanjem te na mnoge druge načine. Osnovna vještina pri radu s matricama je dovesti ih u standardni oblik. Međutim, prvo, shvatimo koje vrste matrica razlikuju matematičari.
Nulta vrsta
Sve komponente ove vrste matrice su nule. U međuvremenu, broj njegovih redaka i stupaca je potpuno drugačiji.
Kvadratna vrsta
Broj stupaca i redaka ove vrste matrice je isti. Drugim riječima, to je stol u obliku "kvadrata". Broj njegovih stupaca (ili redaka) naziva se red. Posebni slučajevi su postojanje matrice drugog reda (matrica 2x2), četvrtog reda (4x4), desetog (10x10), sedamnaestog (17x17) i tako dalje.
Vektor stupca
Ovo je jedna od najjednostavnijih vrsta matrica, koja sadrži samo jedan stupac, koji uključuje tri numeričke vrijednosti. Predstavlja niz slobodnih pojmova (brojeva neovisnih o varijablama) u sustavima linearnih jednadžbi.
Vektor reda
Pogledajte sličan prethodnom. Sastoji se od tri numerička elementa, redom organizirana u jednom redu.
tip dijagonale
Samo komponente glavne dijagonale (označene zelenom bojom) uzimaju numeričke vrijednosti u dijagonalnom obliku matrice. Glavna dijagonala počinje s elementom u gornjem lijevom kutu i završava s elementom u donjem desnom, respektivno. Ostale komponente su nula. Dijagonalni tip je samo kvadratna matrica nekog reda. Među matricama dijagonalnog oblika može se izdvojiti skalarna. Sve njegove komponente imaju iste vrijednosti.
Matrica identiteta
Podvrsta dijagonalne matrice. Sve njegove numeričke vrijednosti su jedinice. Koristeći jednu vrstu matričnih tablica, izvršite njezine osnovne transformacije ili pronađite matricu inverznu izvornoj.
Kanonska vrsta
Kanonski oblik matrice smatra se jednim od glavnih; lijevanje na to je često potrebno za rad. Broj redaka i stupaca u kanonskoj matrici je različit, ne mora nužno pripadati kvadratnom tipu. Donekle je slična matrici identiteta, međutim, u njenom slučaju, sve komponente glavne dijagonale ne poprimaju vrijednost jednaku jedan. Mogu postojati dvije ili četiri glavne dijagonalne jedinice (sve ovisi o duljini i širini matrice). Ili možda uopće nema jedinica (tada se smatra nulom). Preostale komponente kanonskog tipa, kao i elementi dijagonale i identiteta, jednaki su nuli.
vrsta trokuta
Jedna od najvažnijih vrsta matrice, koja se koristi pri traženju njezine determinante i pri izvođenju jednostavnih operacija. Trokutasti tip dolazi od dijagonalnog tipa, tako da je matrica također kvadratna. Trokutasti prikaz matrice podijeljen je na gornji trokutasti i donji trokutasti.
U gornjoj trokutastoj matrici (slika 1), samo elementi koji su iznad glavne dijagonale poprimaju vrijednost jednaku nuli. Komponente same dijagonale i dio matrice ispod nje sadrže numeričke vrijednosti.
U donjoj trokutastoj matrici (slika 2), naprotiv, elementi koji se nalaze u donjem dijelu matrice jednaki su nuli.
Matrica koraka
Pregled je neophodan za pronalaženje ranga matrice, kao i za elementarne operacije nad njima (zajedno s trokutastim tipom). Matrica koraka je tako nazvana jer sadrži karakteristične "korake" nula (kao što je prikazano na slici). U stepenastom tipu formira se dijagonala nula (ne nužno glavna), a svi elementi ispod ove dijagonale također imaju vrijednosti jednake nuli. Preduvjet je sljedeći: ako postoji nulti redak u matrici koraka, tada preostali redovi ispod njega također ne sadrže numeričke vrijednosti.
Tako smo razmotrili najvažnije vrste matrica potrebnih za rad s njima. Sada se pozabavimo zadatkom pretvaranja matrice u traženi oblik.
Svedi na trokutasti oblik
Kako dovesti matricu u trokutasti oblik? Najčešće, u zadacima, trebate pretvoriti matricu u trokutasti oblik kako biste pronašli njezinu determinantu, koja se inače naziva determinanta. Prilikom izvođenja ovog postupka iznimno je važno "sačuvati" glavnu dijagonalu matrice, jer je determinanta trokutaste matrice upravo umnožak komponenti njezine glavne dijagonale. Dopustite mi da vas podsjetim i na alternativne metode za pronalaženje determinante. Odrednica kvadratnog tipa nalazi se pomoću posebnih formula. Na primjer, možete koristiti metodu trokuta. Za ostale matrice koristi se metoda dekompozicije po retku, stupcu ili njihovim elementima. Također možete primijeniti metodu minora i algebarskih komplemenata matrice.
DetaljiAnalizirajmo proces dovođenja matrice u trokutasti oblik koristeći primjere nekih zadataka.
Zadatak 1
Potrebno je pronaći determinantu prikazane matrice, koristeći je metodom dovođenja u trokutasti oblik.
Matrica koja nam je dana je kvadratna matrica trećeg reda. Stoga, da bismo ga transformirali u trokutasti oblik, moramo poništiti dvije komponente prvog stupca i jednu komponentu drugog.
Da biste ga doveli u trokutasti oblik, počnite transformaciju od donjeg lijevog kuta matrice - od broja 6. Da biste ga pretvorili na nulu, pomnožite prvi red s tri i oduzmite ga od posljednjeg retka.
Važno! Gornja linija se ne mijenja, ali ostaje ista kao u izvornoj matrici. Ne morate napisati niz četiri puta veći od izvornog. Ali vrijednosti nizova čije komponente treba poništiti se stalno mijenjaju.
Dalje, pozabavimo se sljedećom vrijednošću - elementom drugog retka prvog stupca, brojem 8. Pomnožite prvi red s četiri i oduzmite ga od drugog retka. Dobivamo nulu.
Ostaje samo posljednja vrijednost - element trećeg retka drugog stupca. Ovo je broj (-1). Da biste ga pretvorili na nulu, oduzmite drugi od prvog retka.
Provjerimo:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Dakle, odgovor na zadatak je -22.
Zadatak 2
Moramo pronaći determinantu matrice dovodeći je u trokutasti oblik.
Predstavljena matricapripada tipu kvadrata i matrica je četvrtog reda. To znači da tri komponente prvog stupca, dvije komponente drugog stupca i jedna komponenta trećeg stupca moraju biti nula.
Počnimo njegovo smanjenje od elementa koji se nalazi u donjem lijevom kutu - od broja 4. Ovaj broj trebamo okrenuti na nulu. Najlakši način za to je pomnožiti gornji red s četiri, a zatim ga oduzeti od četvrtog retka. Zapišimo rezultat prve faze transformacije.
Dakle, komponenta četvrtog retka postavljena je na nulu. Prijeđimo na prvi element trećeg retka, na broj 3. Izvodimo sličnu operaciju. Pomnožite s tri prvi red, oduzmite ga od trećeg retka i napišite rezultat.
Dalje, vidimo broj 2 u drugom retku. Ponavljamo operaciju: pomnožite gornji red s dva i oduzmite ga od drugog.
Uspjeli smo postaviti na nulu sve komponente prvog stupca ove kvadratne matrice, osim broja 1, elementa glavne dijagonale koji ne zahtijeva transformaciju. Sada je važno zadržati rezultirajuće nule, pa ćemo transformacije izvoditi s recima, a ne stupcima. Prijeđimo na drugi stupac prikazane matrice.
Počnimo ponovno od dna - od elementa drugog stupca posljednjeg retka. Ovo je broj (-7). Međutim, u ovom slučaju prikladnije je započeti s brojem (-1) - elementom drugog stupca trećeg retka. Da biste ga pretvorili na nulu, oduzmite drugi red od trećeg retka. Zatim drugi red pomnožimo sa sedam i oduzmemo ga od četvrtog. Dobili smo nulu umjesto elementa koji se nalazi u četvrtom redu drugog stupca. A sada prijeđimo na trećestupac.
U ovom stupcu trebamo okrenuti na nulu samo jedan broj - 4. Lako je to učiniti: samo dodajte treći u zadnji red i vidite nulu koja nam je potrebna.
Nakon svih transformacija, doveli smo predloženu matricu u trokutasti oblik. Sada, da biste pronašli njegovu determinantu, trebate samo pomnožiti rezultirajuće elemente glavne dijagonale. Dobivamo: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Dakle, rješenje je broj 160.
Dakle, sada vam pitanje dovođenja matrice u trokutasti oblik neće otežati.
Smanjenje na stepenasti oblik
U elementarnim operacijama na matricama, stepenasti oblik je manje "zahtjevan" od trokutastog. Najčešće se koristi za pronalaženje ranga matrice (tj. broja njezinih redaka koji nisu nula) ili za određivanje linearno ovisnih i neovisnih redaka. Međutim, stepenasti matrični prikaz je svestraniji jer je prikladan ne samo za kvadratni tip, već i za sve ostale.
Da biste matricu sveli na stepenasti oblik, prvo morate pronaći njenu determinantu. Za to su prikladne gore navedene metode. Svrha pronalaženja determinante je saznati može li se ona pretvoriti u matricu koraka. Ako je determinanta veća ili manja od nule, onda možete sigurno nastaviti sa zadatkom. Ako je jednak nuli, neće uspjeti svesti matricu na stepenasti oblik. U tom slučaju morate provjeriti ima li grešaka u zapisu ili u transformacijama matrice. Ako nema takvih netočnosti, zadatak se ne može riješiti.
Da vidimo kakodovedite matricu u stepenasti oblik koristeći primjere nekoliko zadataka.
Zadatak 1. Pronađite rang zadane matrične tablice.
Pred nama je kvadratna matrica trećeg reda (3x3). Znamo da je za pronalaženje ranga potrebno svesti ga na stepenasti oblik. Stoga prvo trebamo pronaći determinantu matrice. Metodom trokuta: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Veći je od nule, što znači da se matrica može svesti na stepenasti oblik. Započnimo njegove transformacije.
Počnimo s elementom lijevog stupca trećeg retka - brojem 2. Pomnožite gornji red s dva i oduzmite ga od trećeg. Zahvaljujući ovoj operaciji, i element koji nam je potreban i broj 4 - element drugog stupca trećeg retka - pretvorili su se u nulu.
Dalje, okrenite na nulu element drugog retka prvog stupca - broj 3. Da biste to učinili, pomnožite gornji red s tri i oduzmite ga od drugog.
Vidimo da je smanjenje rezultiralo trokutastom matricom. U našem slučaju, transformacija se ne može nastaviti, budući da se preostale komponente ne mogu okrenuti na nulu.
Dakle, zaključujemo da je broj redaka koji sadrže numeričke vrijednosti u ovoj matrici (ili njenom rangu) 3. Odgovor na zadatak: 3.
Zadatak 2. Odredite broj linearno neovisnih redaka ove matrice.
Moramo pronaći nizove koji se ne mogu preokrenuti nikakvim transformacijamana nulu. Zapravo, trebamo pronaći broj redaka koji nije nula, odnosno rang predstavljene matrice. Da biste to učinili, pojednostavimo.
Vidimo matricu koja ne pripada tipu kvadrata. Dimenzija je 3x4. Započnimo i cast od elementa donjeg lijevog kuta - broja (-1).
Dodajte prvi redak trećem. Zatim oduzmite sekundu da biste broj 5 pretvorili u nulu.
Daljnje transformacije su nemoguće. Dakle, zaključujemo da je broj linearno neovisnih linija u njemu i odgovor na zadatak 3.
Sada dovođenje matrice u stepenasti oblik za vas nije nemoguć zadatak.
Na primjerima ovih zadataka analizirali smo redukciju matrice na trokutasti oblik i stepenasti oblik. Kako bi se poništile željene vrijednosti matričnih tablica, u nekim slučajevima potrebno je pokazati maštu i ispravno transformirati njihove stupce ili retke. Sretno u matematici i radu s matricama!
