Matrice: Gaussova metoda. Izračun Gaussove matrice: Primjeri

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Linearna algebra, koja se predaje na sveučilištima u različitim specijalnostima, kombinira mnoge složene teme. Neki od njih se odnose na matrice, kao i na rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom i Gauss-Jordanovim metodama. Ne uspijevaju svi učenici razumjeti ove teme, algoritme za rješavanje raznih problema. Hajdemo zajedno razumjeti matrice i metode Gaussove i Gauss-Jordanove.

Osnovni koncepti

Matrica u linearnoj algebri je pravokutni niz elemenata (tablica). Ispod su skupovi elemenata zatvoreni u zagradama. Ovo su matrice. Iz gornjeg primjera može se vidjeti da elementi u pravokutnim nizovima nisu samo brojevi. Matrica se može sastojati od matematičkih funkcija, algebarskih simbola.

Da bismo razumjeli neke koncepte, napravimo matricu A od elemenata a_ij. Indeksi nisu samo slova: i je broj retka u tablici, a j je broj stupca, u području čijeg se sjecišta element nalazia_ij. Dakle, vidimo da imamo matricu elemenata kao što su a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ i tako dalje. Slovo n označava broj stupaca, a slovo m broj redaka. Simbol m × n označava dimenziju matrice. Ovo je koncept koji definira broj redaka i stupaca u pravokutnom nizu elemenata.

Po izboru, matrica mora imati nekoliko stupaca i redaka. S dimenzijom 1 × n, niz elemenata je jednoredni, a s dimenzijom m × 1 je niz od jednog stupca. Kada su broj redaka i broj stupaca jednaki, matrica se naziva kvadratna. Svaka kvadratna matrica ima determinantu (det A). Ovaj izraz se odnosi na broj koji je dodijeljen matrici A.

Još nekoliko važnih koncepata koje treba zapamtiti kako biste uspješno riješili matrice su glavna i sekundarna dijagonala. Glavna dijagonala matrice je dijagonala koja se iz gornjeg lijevog kuta spušta u desni kut tablice. Bočna dijagonala ide u desni kut gore od lijevog kuta odozdo.

Postepeni matrični prikaz

Pogledajte sliku ispod. Na njemu ćete vidjeti matricu i dijagram. Prvo se pozabavimo matricom. U linearnoj algebri, matrica ove vrste naziva se matrica koraka. Ima jedno svojstvo: ako je a_ij prvi element koji nije nula u i-tom retku, tada svi ostali elementi iz matrice ispod i lijevo od a_ij , su null (tj. svi oni elementi kojima se može dati slovna oznaka a_kl, gdje je k>i il<j).

Sada razmotrite dijagram. Odražava stepenasti oblik matrice. Shema prikazuje 3 vrste stanica. Svaka vrsta označava određene elemente:

• prazne ćelije - nula elemenata matrice;
• zasjenjene ćelije su proizvoljni elementi koji mogu biti nula i različiti od nule;
• crni kvadrati su elementi različiti od nule, koji se nazivaju kutnim elementima, “koracima” (u matrici prikazanoj pored njih, takvi elementi su brojevi –1, 5, 3, 8).

Kada se rješavaju matrice, ponekad je rezultat da je "duljina" koraka veća od 1. To je dopušteno. Važna je samo "visina" stepenica. U matrici koraka, ovaj parametar uvijek mora biti jednak jedan.

Smanjenje matrice u oblik koraka

Svaka pravokutna matrica može se pretvoriti u stepenasti oblik. To se postiže elementarnim transformacijama. Oni uključuju:

• preuređivanje nizova;
• Dodavanje još jednog retka jednom retku, ako je potrebno pomnoženo nekim brojem (možete izvesti i operaciju oduzimanja).

Razmotrimo elementarne transformacije u rješavanju određenog problema. Slika ispod prikazuje matricu A, koju treba svesti na stepenasti oblik.

Kako bismo riješili problem, slijedit ćemo algoritam:

• Prikladno je izvršiti transformacije na matrici sprvi element u gornjem lijevom kutu (tj. "vodeći" element) je 1 ili -1. U našem slučaju, prvi element u gornjem redu je 2, pa zamijenimo prvi i drugi red.
• Izvodimo operacije oduzimanja, utječući na retke 2, 3 i 4. Trebali bismo dobiti nule u prvom stupcu ispod "vodeći" elementa. Da bismo postigli ovaj rezultat: od elemenata retka br. 2 uzastopno oduzimamo elemente reda br. 1, pomnožene s 2; od elemenata reda br. 3 uzastopno oduzimamo elemente reda br. 1, pomnožene s 4; od elemenata reda br. 4 uzastopno oduzimamo elemente reda br. 1.
• Sljedeće ćemo raditi sa skraćenom matricom (bez stupca 1 i bez reda 1). Novi "vodeći" element, koji stoji na sjecištu drugog stupca i drugog reda, jednak je -1. Nema potrebe za preuređivanjem redaka, pa prepisujemo prvi stupac te prvi i drugi red bez promjena. Izvodimo operacije oduzimanja kako bismo dobili nule u drugom stupcu pod "vodećim" elementom: od elemenata trećeg retka uzastopno oduzimamo elemente drugog retka, pomnožene s 3; oduzmi elemente drugog retka pomnožene s 2 od elemenata četvrtog retka.
• Ostalo je promijeniti zadnji redak. Od njegovih elemenata oduzimamo sukcesivno elemente trećeg reda. Tako smo dobili stepenastu matricu.

Svođenje matrica u oblik koraka koristi se u rješavanju sustava linearnih jednadžbi (SLE) Gaussovom metodom. Prije nego pogledamo ovu metodu, razumijemo neke od pojmova koji se odnose na SLN.

Matrice i sustavi linearnih jednadžbi

Matrice se koriste u raznim znanostima. Koristeći tablice brojeva, možete, na primjer, rješavati linearne jednadžbe kombinirane u sustav pomoću Gaussove metode. Prvo, upoznajmo se s nekoliko pojmova i njihovih definicija, a također vidimo kako se matrica formira iz sustava koji kombinira nekoliko linearnih jednadžbi.

SLU – nekoliko kombiniranih algebarskih jednadžbi s nepoznanicama prvog stepena i bez izraza proizvoda.

SLE rješenje – pronađene vrijednosti nepoznanica, zamjenom kojih jednadžbe u sustavu postaju identiteti.

Zajednički SLE je sustav jednadžbi koji ima barem jedno rješenje.

Nedosljedni SLE je sustav jednadžbi koji nema rješenja.

Kako se formira matrica na temelju sustava koji kombinira linearne jednadžbe? Postoje koncepti kao što su glavna i proširena matrica sustava. Da bi se dobila glavna matrica sustava potrebno je u tablicu staviti sve koeficijente za nepoznanice. Proširena matrica se dobiva dodavanjem stupca slobodnih članova glavnoj matrici (sadrži poznate elemente s kojima je izjednačena svaka jednadžba u sustavu). Cijeli ovaj proces možete razumjeti proučavanjem slike ispod.

Prva stvar koju vidimo na slici je sustav koji uključuje linearne jednadžbe. Njegovi elementi: a_ij – brojčani koeficijenti, x_j – nepoznate vrijednosti, b_i – konstantni pojmovi (gdje je i=1, 2, …, m i j=1, 2, …, n). Drugi element na slici je glavna matrica koeficijenata. Iz svake jednadžbe koeficijenti se ispisuju redom. Kao rezultat toga, u matrici ima onoliko redaka koliko ima jednadžbi u sustavu. Broj stupaca jednak je najvećem broju koeficijenata u bilo kojoj jednadžbi. Treći element na slici je proširena matrica sa stupcem slobodnih pojmova.

Opći podaci o Gaussovoj metodi

U linearnoj algebri Gaussova metoda je klasičan način rješavanja SLE-a. Nosi ime Carla Friedricha Gaussa, koji je živio u 18.-19. stoljeću. Ovo je jedan od najvećih matematičara svih vremena. Bit Gaussove metode je izvršiti elementarne transformacije na sustavu linearnih algebarskih jednadžbi. Uz pomoć transformacija, SLE se svodi na ekvivalentni sustav trokutastog (stupačastog) oblika iz kojeg se mogu pronaći sve varijable.

Vrijedi napomenuti da Carl Friedrich Gauss nije otkrivač klasične metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi. Metoda je izumljena mnogo ranije. Njegov prvi opis nalazi se u enciklopediji znanja drevnih kineskih matematičara pod nazivom "Matematika u 9 knjiga".

Primjer rješavanja SLE-a Gaussovom metodom

Razmotrimo rješenje sustava Gaussovom metodom na konkretnom primjeru. Radit ćemo sa SLU-om prikazanim na slici.

Algoritam rješavanja:

1. Sustav ćemo svesti na stepenasti oblik izravnim potezom Gaussove metode, ali prvosastavit ćemo proširenu matricu brojčanih koeficijenata i slobodnih članova.
2. Da bismo riješili matricu Gaussovom metodom (tj. doveli je u stepenasti oblik), od elemenata drugog i trećeg retka, sekvencijalno oduzimamo elemente prvog retka. Dobivamo nule u prvom stupcu pod "vodećim" elementom. Zatim ćemo promijeniti drugi i treći redak na mjestima radi praktičnosti. Elementima posljednjeg retka dodajte uzastopce elemente drugog retka, pomnožene s 3.
3. Kao rezultat izračunavanja matrice Gaussovom metodom, dobili smo stepenasti niz elemenata. Na temelju njega sastavit ćemo novi sustav linearnih jednadžbi. Obrnutim tijekom Gaussove metode nalazimo vrijednosti nepoznatih pojmova. Iz posljednje linearne jednadžbe može se vidjeti da je x₃ jednako 1. Tu vrijednost zamjenjujemo u drugi redak sustava. Dobivate jednadžbu x₂ – 4=–4. Iz toga slijedi da je x₂ jednako 0. Zamijenite x₂ i x₃ u prvu jednadžbu sustava: x1 _{+ 0 +3=2. Nepoznati pojam je -1.}

Odgovor: pomoću matrice, Gaussove metode, pronašli smo vrijednosti nepoznanica; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan metoda

U linearnoj algebri postoji i nešto poput Gauss-Jordanove metode. Smatra se modifikacijom Gaussove metode i koristi se za pronalaženje inverzne matrice, izračunavanje nepoznatih članova kvadratnog sustava algebarskih linearnih jednadžbi. Gauss-Jordanova metoda je prikladna po tome što omogućuje rješavanje SLE u jednom koraku (bez korištenja izravnih i inverznihpotezi).

Počnimo s pojmom "inverzna matrica". Pretpostavimo da imamo matricu A. Inverz za nju će biti matrica A^-1, dok je uvjet nužno zadovoljen: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, tj. proizvod ovih matrica jednak je matrici identiteta (elementi glavne dijagonale matrice identiteta su jedinice, a preostali elementi su nula).}

Važna nijansa: u linearnoj algebri postoji teorem o postojanju inverzne matrice. Dovoljan i nužan uvjet za postojanje matrice A^-1 je da je matrica A nesingularna.

Osnovni koraci na kojima se temelji Gauss-Jordanova metoda:

1. Pogledajte prvi red određene matrice. Gauss-Jordan metoda se može pokrenuti ako prva vrijednost nije jednaka nuli. Ako je prvo mjesto 0, zamijenite redove tako da prvi element ima vrijednost različitu od nule (poželjno je da broj bude bliži jedan).
2. Podijelite sve elemente prvog retka prvim brojem. Na kraju ćete dobiti niz koji počinje s jedan.
3. Od drugog retka oduzmite prvi red pomnožen s prvim elementom drugog retka, tj. na kraju ćete dobiti redak koji počinje od nule. Učinite isto za ostale linije. Podijelite svaki red s njegovim prvim elementom koji nije nula da dobijete 1 dijagonalno.
4. Kao rezultat, dobit ćete gornju trokutastu matricu koristeći Gauss - Jordanovu metodu. U njemu je glavna dijagonala predstavljena jedinicama. Donji kut je ispunjen nulama igornji kut - razne vrijednosti.
5. Od pretposljednjeg retka oduzmite zadnji red pomnožen traženim koeficijentom. Trebali biste dobiti niz s nulama i jedan. Za ostale redove ponovite istu radnju. Nakon svih transformacija, dobit će se matrica identiteta.

Primjer pronalaženja inverzne matrice pomoću Gauss-Jordanove metode

Da biste izračunali inverznu matricu, trebate napisati proširenu matricu A|E i izvesti potrebne transformacije. Razmotrimo jednostavan primjer. Slika ispod prikazuje matricu A.

Rješenje:

1. Prvo, pronađimo determinantu matrice pomoću Gaussove metode (det A). Ako ovaj parametar nije jednak nuli, tada će se matrica smatrati nesingularnom. To će nam omogućiti da zaključimo da A definitivno ima A^-1. Da bismo izračunali determinantu, elementarnim transformacijama transformiramo matricu u postupni oblik. Računajmo da je broj K jednak broju permutacija redaka. Mijenjali smo linije samo 1 put. Izračunajmo determinantu. Njegova će vrijednost biti jednaka umnošku elemenata glavne dijagonale, pomnoženoj s (–1)^K. Rezultat izračuna: det A=2.
2. Sastavite proširenu matricu dodavanjem matrice identiteta izvornoj matrici. Rezultirajući niz elemenata koristit će se za pronalaženje inverzne matrice Gauss-Jordan metodom.
3. Prvi element u prvom retku jednak je jedan. To nam odgovara, jer nema potrebe preuređivati redove i zadanu liniju dijeliti nekim brojem. Počnimo s radoms drugim i trećim redom. Da biste prvi element u drugom retku pretvorili u 0, oduzmite prvi red pomnožen s 3 od drugog retka. Oduzmite prvi red od trećeg retka (nije potrebno množenje).
4. U rezultirajućoj matrici, drugi element drugog retka je -4, a drugi element trećeg retka je -1. Zamijenimo linije radi praktičnosti. Od trećeg retka oduzmite drugi red pomnožen sa 4. Drugi red podijelite s -1, a treći s 2. Dobivamo gornju trokutastu matricu.
5. Oduzmimo zadnji red pomnožen s 4 od drugog retka, a zadnji redak pomnožen s 5 od prvog retka. Zatim oduzmimo drugi red pomnožen s 2 od prvog retka. Na lijevoj strani smo dobili matrica identiteta. Desno je inverzna matrica.

Primjer rješavanja SLE Gauss-Jordan metodom

Slika prikazuje sustav linearnih jednadžbi. Potrebno je pronaći vrijednosti nepoznatih varijabli pomoću matrice, Gauss-Jordan metoda.

Rješenje:

1. Napravimo proširenu matricu. Da bismo to učinili, stavit ćemo koeficijente i slobodne pojmove u tablicu.
2. Riješi matricu pomoću Gauss-Jordanove metode. Od retka br. 2 oduzimamo redak br. 1. Od reda br. 3 oduzimamo redak br. 1, prethodno pomnožen s 2.
3. Zamijenite redove 2 i 3.
4. Od retka 3 oduzmi redak 2 pomnožen s 2. Dobiveni treći redak podijelite s –1.
5. Oduzmi redak 3 od retka 2.
6. Oduzmite redak 1 od retka 12 puta -1. Sa strane smo dobili stupac koji se sastoji od brojeva 0, 1 i -1. Iz ovoga zaključujemo da je x₁=0, x₂=1 i x₃ =–1.

Ako želite, možete provjeriti ispravnost rješenja zamjenom izračunatih vrijednosti u jednadžbe:

• 0 – 1=–1, prvi identitet iz sustava je točan;
• 0 + 1 + (–1)=0, drugi identitet iz sustava je točan;
• 0 – 1 + (–1)=–2, treći identitet iz sustava je točan.

Zaključak: koristeći Gauss-Jordanovu metodu, pronašli smo ispravno rješenje kvadratnog sustava koji kombinira linearne algebarske jednadžbe.

Online kalkulatori

Život današnje mladeži koja studira na sveučilištima i proučava linearnu algebru uvelike je pojednostavljen. Prije nekoliko godina morali smo sami pronaći rješenja za sustave koristeći Gaussovu i Gauss-Jordanovu metodu. Neki su se učenici uspješno nosili sa zadacima, dok su se drugi zbunili u rješenju, griješili, tražili pomoć od kolega iz razreda. Danas možete koristiti online kalkulatore kada radite domaću zadaću. Za rješavanje sustava linearnih jednadžbi, traženje inverznih matrica, napisani su programi koji pokazuju ne samo točne odgovore, već i pokazuju napredak rješavanja određenog problema.

Postoji mnogo resursa na internetu s ugrađenim online kalkulatorima. Gaussove matrice, sustave jednadžbi ovi programi rješavaju u nekoliko sekundi. Učenici trebaju samo specificirati tražene parametre (na primjer, broj jednadžbi,broj varijabli).