Kako pronaći umnožak matrica. Množenje matrice. Skalarni umnožak matrica. Umnožak tri matrice

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Matrice (tablice s numeričkim elementima) mogu se koristiti za različite izračune. Neki od njih su množenje brojem, vektor, druga matrica, nekoliko matrica. Proizvod je ponekad netočan. Pogrešan rezultat je rezultat nepoznavanja pravila za izvođenje računskih radnji. Idemo shvatiti kako napraviti množenje.

Matrica i broj

Počnimo od najjednostavnije stvari - množenja tablice s brojevima određenom vrijednošću. Na primjer, imamo matricu A s elementima a_ij (i su brojevi redaka, a j brojevi stupaca) i brojem e. Umnožak matrice brojem e bit će matrica B s elementima b_ij, koji se nalaze po formuli:

b_ij=e × a_ij.

T. e. da biste dobili element b₁₁ trebate uzeti element a₁₁ i pomnožiti ga sa željenim brojem, da biste dobili b₁₂ potrebno je pronaći umnožak elementa a₁₂ i broja e, itd.

Rešimo problem broj 1 prikazan na slici. Da biste dobili matricu B, jednostavno pomnožite elemente iz A s 3:

1. a₁₁ × 3=18. Ovu vrijednost upisujemo u matricu B na mjestu gdje se sijeku stupac br. 1 i redak br. 1.
2. a₂₁ × 3=15. Dobili smo element b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. Dobili smo element b₁₂. Upisujemo ga u matricu B na mjestu gdje se sijeku stupac 2 i red 1.
4. a₂₂ × 3=9. Ovaj rezultat je element b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. Unesite ovaj broj u matricu umjesto elementa b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. Zadnji primljeni broj je element b₂₃.

Tako smo dobili pravokutni niz s brojčanim elementima.

18	–6	12
15	9	–3

Vektori i uvjet postojanja proizvoda matrica

U matematičkim disciplinama postoji nešto kao "vektor". Ovaj izraz se odnosi na uređeni skup vrijednosti od a₁ do a . Zovu se vektorske prostorne koordinate i zapisuju se kao stupac. Postoji i pojam "transponirani vektor". Njegove komponente su raspoređene kao niz.

Vektori se mogu nazvati matricama:

• vektor stupca je matrica izgrađena od jednog stupca;
• vektor redaka je matrica koja uključuje samo jedan redak.

Kada je gotovonad matricama operacija množenja, važno je zapamtiti da postoji uvjet za postojanje proizvoda. Računska radnja A × B može se izvesti samo kada je broj stupaca u tablici A jednak broju redaka u tablici B. Rezultirajuća matrica koja proizlazi iz izračuna uvijek ima broj redaka u tablici A i broj stupaca u tablici B.

Prilikom množenja ne preporučuje se preuređivanje matrica (množitelja). Njihov umnožak obično ne odgovara komutativnom zakonu (pomaka) množenja, tj. rezultat operacije A × B nije jednak rezultatu operacije B × A. Ova značajka naziva se nekomutativnost umnoška matrice. U nekim slučajevima, rezultat množenja A × B jednak je rezultatu množenja B × A, tj. umnožak je komutativan. Matrice za koje vrijedi jednakost A × B=B × A nazivaju se permutacijske matrice. Pogledajte primjere takvih tablica u nastavku.

Množenje vektorom stupca

Prilikom množenja matrice vektorom stupca, moramo uzeti u obzir uvjet za postojanje proizvoda. Broj stupaca (n) u tablici mora odgovarati broju koordinata koje čine vektor. Rezultat izračuna je transformirani vektor. Njegov broj koordinata jednak je broju redaka (m) iz tablice.

Kako se izračunavaju koordinate vektora y ako postoji matrica A i vektor x? Za izračune stvorene formule:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

……………………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

gdje su x₁, …, x koordinate iz x-vektora, m je broj redaka u matrici i broj koordinata u novom y-vektoru, n je broj stupaca u matrici i broj koordinata u x-vektoru, a₁₁, a_{12, …, a}mn– elementi matrice A.

Da bi se dobila i-ta komponenta novog vektora, izvodi se skalarni proizvod. I-ti vektor retka uzet je iz matrice A i množi se s dostupnim vektorom x.

Riješimo problem 2. Možete pronaći proizvod matrice i vektora jer A ima 3 stupca, a x se sastoji od 3 koordinate. Kao rezultat, trebali bismo dobiti vektor stupca s 4 koordinate. Koristimo gornje formule:

1. Izračunaj y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Konačna vrijednost je 2.
2. Izračunaj y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Prilikom izračunavanja dobivamo 0.
3. Izračunaj y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Zbroj proizvoda navedenih faktora je 6.
4. Izračunaj y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinata je -8.

Redak vektorsko-matrice množenje

Matricu s više stupaca ne možete pomnožiti vektorom retka. U takvim slučajevima nije zadovoljen uvjet za postojanje djela. Ali množenje vektora retka matricom je moguće. Ovajračunska operacija se izvodi kada se poklapaju broj koordinata u vektoru i broj redaka u tablici. Rezultat proizvoda vektora i matrice je novi vektor reda. Njegov broj koordinata mora biti jednak broju stupaca u matrici.

Izračunavanje prve koordinate novog vektora uključuje množenje vektora retka i prvog vektora stupca iz tablice. Druga koordinata se izračunava na sličan način, ali umjesto prvog vektora stupca uzima se drugi vektor stupca. Ovdje je opća formula za izračun koordinata:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m, gdje je y_k koordinata iz y-vektora, (k je između 1 i n), m je broj redaka u matrici i broj koordinata u x-vektoru, n je broj stupaca u matrici i broj koordinata u y-vektoru, a s alfanumeričkim indeksima su elementi matrice A.

Proizvod pravokutnih matrica

Ovaj izračun može se činiti kompliciranim. Međutim, množenje je jednostavno. Počnimo s definicijom. Umnožak matrice A s m redaka i n stupaca i matrice B s n redaka i p stupaca je matrica C s m redaka i p stupaca, u kojoj je element c_ij zbroj proizvoda elemenata i-tog retka iz tablice A i j-tog stupca iz tablice B. Jednostavnije rečeno, element c_ij je skalarni proizvod i-tog retka vektor iz tablice A i vektor j-tog stupca iz tablice B.

Sada shvatimo u praksi kako pronaći umnožak pravokutnih matrica. Riješimo za to zadatak broj 3. Uvjet za postojanje proizvoda je zadovoljen. Počnimo računati elemente c_ij:

1. Matrix C će imati 2 retka i 3 stupca.
2. Izračunaj element c₁₁. Da bismo to učinili, izvodimo skalarni proizvod reda br. 1 iz matrice A i stupca br. 1 iz matrice B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Zatim nastavljamo na sličan način, mijenjajući samo retke, stupce (ovisno o indeksu elementa).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Elementi su izračunati. Sada ostaje samo napraviti pravokutni blok od primljenih brojeva.

16	12	9
31	18	36

Množenje tri matrice: teoretski dio

Možete li pronaći proizvod tri matrice? Ova računska operacija je izvediva. Rezultat se može dobiti na nekoliko načina. Na primjer, postoje 3 kvadratne tablice (istog reda) - A, B i C. Da biste izračunali proizvod, možete:

1. Prvo pomnožite A i B. Zatim pomnožite rezultat s C.
2. Najprije pronađite umnožak B i C. Zatim pomnožite matricu A s rezultatom.

Ako trebate množiti pravokutne matrice, prvo se morate uvjeriti da je ova računska operacija moguća. Trebao biproizvodi A × B i B × C postoje.

Inkrementalno množenje nije pogreška. Postoji nešto kao "asocijativnost množenja matrice". Ovaj izraz se odnosi na jednakost (A × B) × C=A × (B × C).

Vježba množenja s tri matrice

Kvadratne matrice

Počnite množenjem malih kvadratnih matrica. Slika ispod prikazuje problem broj 4, koji moramo riješiti.

Koristit ćemo svojstvo asocijativnosti. Prvo množimo ili A i B, ili B i C. Sjećamo se samo jedne stvari: ne možete mijenjati faktore, to jest, ne možete množiti B × A ili C × B. Ovim množenjem dobit ćemo pogrešan rezultat.

Napredak odluke.

Prvi korak. Da bismo pronašli zajednički proizvod, prvo pomnožimo A s B. Prilikom množenja dvije matrice vodit ćemo se gore navedenim pravilima. Dakle, rezultat množenja A i B bit će matrica D s 2 retka i 2 stupca, tj. pravokutni niz će uključivati 4 elementa. Pronađimo ih izračunom:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Srednji rezultat spreman.

30	10
15	16

Drugi korak. Sada pomnožimo matricu D s matricom C. Rezultat bi trebao biti kvadratna matrica G s 2 retka i 2 stupca. Izračunaj elemente:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Dakle, rezultat proizvoda kvadratnih matrica je tablica G s izračunatim elementima.

250	180
136	123

Pravokutne matrice

Slika ispod prikazuje problem broj 5. Potrebno je pomnožiti pravokutne matrice i pronaći rješenje.

Provjerimo da li je zadovoljen uvjet za postojanje proizvoda A × B i B × C. Redoslijed navedenih matrica omogućuje nam množenje. Počnimo rješavati problem.

Napredak odluke.

Prvi korak. Pomnožite B sa C da dobijete D. Matrica B ima 3 retka i 4 stupca, a matrica C ima 4 retka i 2 stupca. To znači da ćemo dobiti matricu D s 3 retka i 2 stupca. Izračunajmo elemente. Evo 2 primjera izračuna:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Nastavljamo rješavati problem. Kao rezultat daljnjih izračuna, nalazimo vrijednosti d₂₁, d₂ 2, d₃₁ i d₃₂. Ovi elementi su 0, 19, 1 i 11. Zapišimo pronađene vrijednosti u pravokutni niz.

0	7
0	19
1	11

Drugi korak. Pomnožite A s D da biste dobili konačnu matricu F. Imat će 2 retka i 2 stupca. Izračunaj elemente:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Sastavite pravokutni niz, koji je krajnji rezultat množenja tri matrice.

1	139
3	52

Uvod u izravni rad

Prilično teško razumljiv materijal je Kroneckerov proizvod matrica. Ima i dodatni naziv - izravno djelo. Što se podrazumijeva pod ovim pojmom? Recimo da imamo tablicu A reda m × n i tablicu B reda p × q. Izravni umnožak matrice A i matrice B je matrica reda mp × nq.

Imamo 2 kvadratne matrice A, B koje su prikazane na slici. Prvi ima 2 stupca i 2 reda, a drugi 3 stupca i 3 reda. Vidimo da se matrica koja proizlazi iz izravnog proizvoda sastoji od 6 redaka i točno istog broja stupaca.

Kako se elementi nove matrice izračunavaju u izravnom proizvodu? Pronaći odgovor na ovo pitanje vrlo je lako ako analizirate sliku. Prvo ispunite prvi redak. Uzmite prvi element iz gornjeg retka tablice A i uzastopno pomnožite s elementima prvog retkaiz tablice B. Zatim uzmite drugi element prvog retka tablice A i uzastopno pomnožite s elementima prvog retka tablice B. Da biste popunili drugi red, ponovno uzmite prvi element iz prvog retka tablice A i pomnožite ga s elementima drugog retka tablice B.

Konačna matrica dobivena izravnim proizvodom naziva se blok matrica. Ako ponovno analiziramo sliku, možemo vidjeti da se naš rezultat sastoji od 4 bloka. Svi oni uključuju elemente matrice B. Dodatno, element svakog bloka se množi s određenim elementom matrice A. U prvom bloku, svi elementi se množe s a₁₁, u drugi - za _{12, u trećem - na} 21_{, u četvrti - na} 22.

Odrednica proizvoda

Kada se razmatra tema množenja matrice, vrijedi uzeti u obzir termin kao što je "determinanta umnožaka matrica". Što je determinanta? Ovo je važna karakteristika kvadratne matrice, određena vrijednost koja se ovoj matrici pripisuje. Doslovna oznaka determinante je det.

Za matricu A koja se sastoji od dva stupca i dva retka, determinantu je lako pronaći. Postoji mala formula koja predstavlja razliku između proizvoda određenih elemenata:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Razmotrimo primjer izračunavanja determinante za tablicu drugog reda. Postoji matrica A u kojoj je a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 i a22_{=1. Za izračunavanje determinante koristite formulu:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

Za matrice 3 × 3, determinanta se izračunava pomoću složenije formule. To je prikazano u nastavku za matricu A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

Da zapamtimo formulu, osmislili smo pravilo trokuta, koje je ilustrirano na slici. Prvo se množe elementi glavne dijagonale. Dobivenoj vrijednosti dodaju se proizvodi onih elemenata označenih kutovima trokuta s crvenim stranicama. Zatim se oduzima umnožak elemenata sekundarne dijagonale i oduzimaju se proizvodi tih elemenata označenih uglovima trokuta s plavim stranicama.

Sada razgovarajmo o determinanti umnoška matrica. Postoji teorem koji kaže da je ovaj pokazatelj jednak umnošku determinanti tablica množenja. Potvrdimo to na primjeru. Imamo matricu A s unosima a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 i a22_{=1 i matrica B s unosima b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 i b}22_{=2. Pronađite determinante za matrice A i B, umnožak A × B i determinantu ovog proizvoda.}

Napredak odluke.

Prvi korak. Izračunajte determinantu za A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Zatim izračunajte determinantu za B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Drugi korak. Nađimoproizvod A × B. Označite novu matricu slovom C. Izračunajte njezine elemente:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Treći korak. Izračunajte determinantu za C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Usporedite s vrijednošću koja se može dobiti množenjem determinanti izvornih matrica. Brojke su iste. Gornji teorem je točan.

Rang proizvoda

Rang matrice je karakteristika koja odražava maksimalni broj linearno neovisnih redaka ili stupaca. Za izračunavanje ranga provode se elementarne transformacije matrice:

• preuređenje dva paralelna reda;
• množenje svih elemenata određenog retka iz tablice brojem koji nije nula;
• dodavanje elementima jednog retka elemenata iz drugog retka, pomnoženo određenim brojem.

Nakon elementarnih transformacija, pogledajte broj nizova koji nisu nula. Njihov broj je rang matrice. Razmotrimo prethodni primjer. Predstavlja 2 matrice: A s elementima a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 i a₂₂ =1 i B s elementima b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 i b}22_{=2. Također ćemo koristiti matricu C dobivenu kao rezultat množenja. Ako izvršimo elementarne transformacije, tada u pojednostavljenim matricama neće biti nula redaka. To znači da i rang tablice A, i rang tablice B, i rangtablica C je 2.}

Sada obratimo posebnu pozornost na rang proizvoda matrica. Postoji teorem koji kaže da rang proizvoda tablica koje sadrže numeričke elemente ne prelazi rang niti jednog od faktora. To se može dokazati. Neka je A k × s matrica, a B s × m matrica. Umnožak A i B jednak je C.

Proučimo gornju sliku. Prikazuje prvi stupac matrice C i njezinu pojednostavljenu notaciju. Ovaj stupac je linearna kombinacija stupaca uključenih u matricu A. Slično, može se reći i za bilo koji drugi stupac iz pravokutnog niza C. Dakle, podprostor formiran od vektora stupaca tablice C nalazi se u podprostoru formiranom od vektori stupaca tablice A. Prema tome, dimenzija podprostora br. 1 ne prelazi dimenziju podprostora br. 2. To implicira da rang u stupcima tablice C ne prelazi rang u stupcima tablice A, tj. r(C) ≦ r(A). Ako argumentiramo na sličan način, tada možemo osigurati da su redovi matrice C linearne kombinacije redaka matrice B. To implicira nejednakost r(C) ≦ r(B).

Kako pronaći umnožak matrica prilično je komplicirana tema. Može se lako savladati, ali da biste postigli takav rezultat, morat ćete potrošiti puno vremena na pamćenje svih postojećih pravila i teorema.