Trokut je najjednostavniji lik zatvoren na ravnini, koji se sastoji od samo tri međusobno povezana segmenta. U problemima geometrije često je potrebno odrediti područje ove figure. Što trebate znati za ovo? U članku ćemo odgovoriti na pitanje kako pronaći površinu trokuta na tri strane.
Opća formula
Svaki učenik zna da se površina trokuta izračunava kao umnožak duljine bilo koje njegove stranice - a za polovicu visine - h, spuštene na odabranu stranu. Ispod je odgovarajuća formula: S=ah/2.
Ovaj se izraz može koristiti ako su poznate barem dvije strane i vrijednost kuta između njih. U ovom slučaju, visinu h je lako izračunati pomoću trigonometrijskih funkcija, kao što je sinus. Ali ne znaju svi kako pronaći područje na tri strane trokuta.
Heron's Formula
Ova formula je odgovor na pitanje kakotri strane pronađite površinu trokuta. Prije nego što to zapišemo, označimo duljine segmenata proizvoljnog lika kao a, b i c. Heronova formula je zapisana na sljedeći način: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Gdje je p poluopseg figure, tj.: p=(a+b+c)/2.
Unatoč prividnoj glomaznosti, gornji izraz za područje S lako je zapamtiti. Da biste to učinili, najprije morate izračunati polu-perimetar trokuta, zatim od njega oduzeti jednu duljinu stranice figure, pomnožiti sve dobivene razlike i sam polu-perimetar. Konačno, uzmite kvadratni korijen proizvoda.
Ova formula je dobila ime po Heronu od Aleksandrije, koji je živio na početku naše ere. Moderna povijest vjeruje da je ovaj filozof prvi primijenio ovaj izraz da izvrši odgovarajuće izračune. Ova formula je objavljena u njegovoj Metrici, koja datira iz 60. godine nove ere. Imajte na umu da neka od Arhimedovih djela, koji je živio dva stoljeća ranije od Herona, sadrže znakove da je grčki filozof već znao formulu. Osim toga, stari Kinezi su također znali pronaći površinu trokuta, znajući tri strane.
Važno je napomenuti da se problem može riješiti bez poznavanja postojanja Heronove formule. Da biste to učinili, nacrtajte nekoliko visina u trokutu i koristite opću formulu iz prethodnog odlomka, sastavljajući odgovarajući sustav jednadžbi.
Heronov izraz može se koristiti za izračunavanje površina proizvoljnih poligona, nakon što ih se podijeli natrokuta i izračunavanje duljina rezultirajućih dijagonala.
Primjer rješavanja problema
Znajući kako pronaći površinu trokuta na tri strane, učvrstimo svoje znanje rješavanjem sljedećeg problema. Neka stranice figure budu 5 cm, 4 cm i 3 cm. Pronađite površinu.
Poznate su tri strane trokuta, tako da možete koristiti Heronovu formulu. Izračunavamo poluperimetar i potrebne razlike, imamo:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Tada dobivamo površinu: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Trokut zadan u uvjetu problema je pravokutni, što je lako provjeriti ako koristite Pitagorin teorem. Budući da je površina takvog trokuta polovica umnožaka kateta, dobivamo: S=43/2=6 cm2.
Rezultirajuća vrijednost je ista kao i za Heronovu formulu, što potvrđuje valjanost potonje.
