Trokut je poligon s tri strane (tri kuta). Najčešće se stranice označavaju malim slovima, što odgovara velikim slovima koji označavaju suprotne vrhove. U ovom članku ćemo se upoznati s vrstama ovih geometrijskih oblika, teoremom koji određuje koliki je zbroj kutova trokuta.
Pogledi po kutovima
Razlikuju se sljedeće vrste poligona s tri vrha:
- oštri kut, u kojem su svi kutovi oštri;
- pravokutni, s jednim pravim kutom, dok se stranice koje ga tvore zovu noge, a strana koja je postavljena nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza;
- tup kada je jedan kut tup;
- jednakokračan, u kojem su dvije stranice jednake, i zovu se bočne, a treća je baza trokuta;
- jednakostraničan, koji ima sve tri jednake strane.
Svojstva
Ističu glavna svojstva koja su karakteristična za svaku vrstu trokuta:
- nasuprot veće strane uvijek postoji veći kut, i obrnuto;
- suprotne strane jednake veličine su jednaki kutovi, i obrnuto;
- bilo koji trokut ima dva oštra kuta;
- vanjski kut je veći od bilo kojeg unutarnjeg kuta koji nije uz njega;
- zbroj bilo koja dva kuta je uvijek manji od 180 stupnjeva;
- vanjski kut jednak je zbroju druga dva kuta koji se ne sijeku s njim.
Teorem o zbroju kutova trokuta
Teorem kaže da ako zbrojite sve kutove danog geometrijskog lika, koji se nalazi na euklidovoj ravnini, tada će njihov zbroj biti 180 stupnjeva. Pokušajmo dokazati ovaj teorem.
Imamo proizvoljan trokut s vrhovima KMN.
Kroz vrh M povucite ravnu liniju paralelnu s ravnom crtom KN (ova se crta također naziva Euklidova ravna linija). Na njoj označavamo točku A na način da se točke K i A nalaze na različitim stranama prave MN. Dobivamo jednake kutove AMN i KNM, koji, kao i unutarnji, leže poprečno i tvore ih sekansa MN zajedno s ravnim linijama KN i MA, koje su paralelne. Iz ovoga slijedi da je zbroj kutova trokuta koji se nalazi na vrhovima M i H jednak veličini kuta KMA. Sva tri kuta čine zbroj, koji je jednak zbroju kutova KMA i MKN. Budući da su ti kutovi unutarnji jednostrani u odnosu naparalelne prave KN i MA sa sekantom KM, njihov zbroj je 180 stupnjeva. Teorem dokazan.
Posljedica
Iz prethodno dokazanog teorema slijedi sljedeći zaključak: bilo koji trokut ima dva oštra kuta. Da bismo to dokazali, pretpostavimo da dati geometrijski lik ima samo jedan oštar kut. Također se može pretpostaviti da niti jedan od kutova nije oštar. U tom slučaju moraju postojati najmanje dva kuta jednaka ili veća od 90 stupnjeva. Ali tada će zbroj kutova biti veći od 180 stupnjeva. Ali to ne može biti, jer prema teoremu, zbroj kutova trokuta je 180 ° - ni više ni manje. To je ono što je trebalo dokazati.
Svojstvo vanjskog kuta
Koji je zbroj vanjskih kutova trokuta? Na ovo se pitanje može odgovoriti na jedan od dva načina. Prvi je da je potrebno pronaći zbroj kutova koji se uzimaju po jedan u svakom vrhu, odnosno tri kuta. Drugi podrazumijeva da trebate pronaći zbroj svih šest kutova u vrhovima. Prvo, pozabavimo se prvom opcijom. Dakle, trokut sadrži šest vanjskih uglova - dva na svakom vrhu.
Svaki par ima jednake kutove jer su okomiti:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Osim toga, poznato je da je vanjski kut trokuta jednak zbroju dvaju unutarnjih kutova koji se s njim ne sijeku. Stoga, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Iz ovoga proizlazi da je zbroj vanjskihuglovi, koji se uzimaju po jedan na svakom vrhu, bit će jednaki:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
S obzirom da je zbroj kutova 180 stupnjeva, može se tvrditi da je ∟A + ∟B + ∟C=180°. A to znači da je ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Ako se koristi druga opcija, tada će zbroj šest kutova biti dvostruko veći. To jest, zbroj vanjskih kutova trokuta bit će:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Pravokutni trokut
Koliki je zbroj oštrih kutova pravokutnog trokuta? Odgovor na ovo pitanje, opet, slijedi iz teorema, koji kaže da zbroj kutova u trokutu iznosi 180 stupnjeva. A naša izjava (svojstvo) zvuči ovako: u pravokutnom trokutu, akutni kutovi zbrajaju se do 90 stupnjeva. Dokažimo njegovu istinitost.
Neka nam je dan trokut KMN, u kojem je ∟N=90°. Potrebno je dokazati da je ∟K + ∟M=90°.
Dakle, prema teoremu zbroja kutova ∟K + ∟M + ∟N=180°. Naš uvjet kaže da je ∟N=90°. Dakle, ispada, ∟K + ∟M + 90°=180°. To jest, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. To smo morali dokazati.
Pored gornjih svojstava pravokutnog trokuta, možete dodati sljedeće:
- uglovi koji leže uz noge su oštri;
- hipotenuza je trokuta više od bilo kojeg kraka;
- zbroj kateta je veći od hipotenuze;
- nogatrokut koji leži nasuprot kuta od 30 stupnjeva je polovica hipotenuze, odnosno jednak je njegovoj polovici.
Kao još jedno svojstvo ove geometrijske figure, može se razlikovati Pitagorin teorem. Ona navodi da je u trokutu s kutom od 90 stupnjeva (pravokutnom) zbroj kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze.
Zbroj kutova jednakokračnog trokuta
Ranije smo rekli da je jednakokračan mnogokut s tri vrha, koji sadrži dvije jednake stranice. Ovo svojstvo danog geometrijskog lika je poznato: kutovi u njegovoj bazi su jednaki. Dokažimo to.
Uzmite trokut KMN, koji je jednakokračan, KN je njegova baza.
Od nas se traži da dokažemo da je ∟K=∟N. Dakle, recimo da je MA simetrala našeg trokuta KMN. MCA trokut, uzimajući u obzir prvi znak jednakosti, jednak je MCA trokutu. Naime, uvjetom je dano da je KM=NM, MA je zajednička stranica, ∟1=∟2, budući da je MA simetrala. Koristeći činjenicu da su ova dva trokuta jednaka, možemo ustvrditi da je ∟K=∟N. Dakle, teorem je dokazan.
Ali nas zanima koliki je zbroj kutova trokuta (jednakokračnog). Budući da u tom pogledu nema svojih posebnosti, poći ćemo od ranije razmatranog teorema. Odnosno, možemo reći da je ∟K + ∟M + ∟H=180°, ili 2 x ∟K + ∟M=180° (budući da je ∟K=∟H). Nećemo dokazivati ovo svojstvo, budući da je sam teorem o zbroju trokuta dokazan ranije.
Osim kako je raspravljenosvojstva o kutovima trokuta, postoje i takve važne izjave:
- u jednakokračnom trokutu, visina koja je spuštena na bazu je i medijan, simetrala kuta između jednakih stranica, kao i os simetrije njegove baze;
- medijane (simetrale, visine) koje su povučene na stranice takvog geometrijskog lika su jednake.
Jednakostranični trokut
Zove se i desni, to je trokut čiji su sve strane jednake. Stoga su i kutovi jednaki. Svaki od njih je 60 stupnjeva. Dokažimo ovo svojstvo.
Pretpostavimo da imamo trokut KMN. Znamo da je KM=NM=KN. A to znači da je prema svojstvu kutova koji se nalaze na bazi u jednakokračnom trokutu, ∟K=∟M=∟N. Budući da je, prema teoremu, zbroj kutova trokuta ∟K + ∟M + ∟N=180°, tada je 3 x ∟K=180° ili ∟K=60°, ∟M=60°, ∟ N=60°. Dakle, tvrdnja je dokazana.
Kao što možete vidjeti iz gornjeg dokaza temeljenog na teoremu, zbroj kutova jednakostraničnog trokuta, kao i zbroj kutova bilo kojeg drugog trokuta, je 180 stupnjeva. Nema potrebe ponovno dokazivati ovaj teorem.
Postoje i takva svojstva karakteristična za jednakostranični trokut:
- medijan, simetrala, visina u takvoj geometrijskoj figuri su iste, a njihova se duljina izračunava kao (a x √3): 2;
- ako opišete kružnicu oko danog poligona, tada će njegov polumjer bitijednako (a x √3): 3;
- ako upišete kružnicu u jednakostranični trokut, tada će njegov polumjer biti (a x √3): 6;
- površina ove geometrijske figure izračunava se po formuli: (a2 x √3): 4.
Trokut pod kutom
Prema definiciji tupokuta, jedan od njegovih kutova je između 90 i 180 stupnjeva. No s obzirom na to da su druga dva kuta ove geometrijske figure akutna, možemo zaključiti da ne prelaze 90 stupnjeva. Stoga, teorem o zbroju kutova trokuta djeluje pri izračunavanju zbroja kutova u tupokutu. Ispada da možemo sa sigurnošću reći, na temelju prethodno spomenutog teorema, da je zbroj kutova tupokuta 180 stupnjeva. Opet, ovaj teorem ne treba ponovno dokazivati.
