Pitagorin teorem: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kateta na kvadrat

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Svaki učenik zna da je kvadrat hipotenuze uvijek jednak zbroju kateta od kojih je svaki na kvadrat. Ova tvrdnja se zove Pitagorin teorem. To je jedan od najpoznatijih teorema u trigonometriji i matematici općenito. Razmotrite to detaljnije.

Koncept pravokutnog trokuta

Prije nego što nastavimo s razmatranjem Pitagorinog teorema, u kojem je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kateta koji su na kvadrat, trebali bismo razmotriti pojam i svojstva pravokutnog trokuta, za koji je teorem vrijedi.

Trokut je ravna figura s tri kuta i tri strane. Pravokutni trokut, kao što mu ime govori, ima jedan pravi kut, odnosno ovaj kut je 90o.

Iz općih svojstava za sve trokute, poznato je da je zbroj sva tri kuta ove figure 180^o, što znači da je za pravokutni trokut zbroj dva kuta koja nisu točna, je 180^o -90^o=90^o. Posljednja činjenica znači da će svaki kut u pravokutnom trokutu koji nije pravi kut uvijek biti manji od 90^o.

Stranica koja leži nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza. Druge dvije strane su kraci trokuta, mogu biti jednake jedna drugoj, a mogu se i razlikovati. Iz trigonometrije je poznato da što je veći kut naspram kojeg strana leži u trokutu, to je duljina ove stranice veća. To znači da će u pravokutnom trokutu hipotenuza (leži nasuprot kuta 90^o) uvijek biti veća od bilo koje katete (ležati nasuprot kutova < 90^o).

Matematička notacija Pitagorinog teorema

Ovaj teorem kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kateta, od kojih je svaki prethodno kvadriran. Da biste matematički zapisali ovu formulaciju, razmotrite pravokutni trokut u kojemu su stranice a, b i c dva kraka, odnosno hipotenuza. U ovom slučaju, teorem, koji se navodi kao kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta, može se predstaviti sljedećom formulom: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Odavde se mogu dobiti druge formule važne za praksu: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) i c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Imajte na umu da je u slučaju pravokutnog jednakostraničnog trokuta, to jest, a=b, formulacija: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kateta, od kojih je svakina kvadrat, matematički zapisano kao: c²=a² + b²=2a ^{2, što implicira jednakost: c=a√2.}

Povijesna pozadina

Pitagorin teorem, koji kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kateta, od kojih je svaki kvadrat, bio je poznat mnogo prije nego što je slavni grčki filozof obratio pažnju na njega. Mnogi papirusi starog Egipta, kao i glinene ploče Babilonaca, potvrđuju da su ti narodi koristili zapaženo svojstvo stranica pravokutnog trokuta. Na primjer, jedna od prvih egipatskih piramida, Khafreova piramida, čija konstrukcija datira iz 26. stoljeća prije Krista (2000 godina prije Pitagorinog života), izgrađena je na temelju poznavanja omjera u pravokutnom trokutu 3x4x5.

Zašto je onda teorem sada nazvan po Grku? Odgovor je jednostavan: Pitagora je prvi matematički dokazao ovaj teorem. Preživjeli babilonski i egipatski spisi samo spominju njegovu upotrebu, ali ne daju nikakav matematički dokaz.

Vjeruje se da je Pitagora dokazao teorem koji se razmatra korištenjem svojstava sličnih trokuta, koje je dobio povlačenjem visine u pravokutnom trokutu iz kuta 90o do hipotenuza.

Primjer korištenja Pitagorinog teorema

Razmotrimo jednostavan problem: potrebno je odrediti duljinu kosog stubišta L, ako je poznato da ima visinu H=3metara, a udaljenost od zida na koji se ljestve oslanjaju do podnožja je P=2,5 metara.

U ovom slučaju, H i P su katete, a L hipotenuza. Budući da je duljina hipotenuze jednaka zbroju kvadrata kateta, dobivamo: L²=H² + P 2^{, odakle L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 metara ili 3 metra i 90,5 cm.}