Izvod sinusa kuta jednak je kosinusu istog kuta

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Dana je najjednostavnija trigonometrijska funkcija y=Sin(x), diferencibilna je u svakoj od svojih točaka iz cijele domene definicije. Potrebno je dokazati da je derivacija sinusa bilo kojeg argumenta jednaka kosinsu istog kuta, odnosno y'=Cos(x).

Dokaz se temelji na definiciji derivacije funkcije

Postavite x (proizvoljno) u nekom malom susjedstvu Δx određene točke x₀. Pokažimo vrijednost funkcije na njoj i u točki x kako bismo pronašli prirast zadane funkcije. Ako je Δh prirast argumenta, tada je novi argument x₀+Δx=x, vrijednost ove funkcije za danu vrijednost argumenta y(x) je Sin(h ₀ +Δx), također je poznata vrijednost funkcije u određenoj točki y(x_0).

Sada imamo Δu=Sin(h₀+Δh)-Sin(h_{0) je rezultirajući prirast funkcije.}

Prema formuli sinusa zbroja dvaju nejednakih kutova transformirat ćemo razliku Δu.

Δy=Sin(x₀) Cos(Δx)+Cos(x₀) Sin(Δx) minus Sin (x 0_{)=(Cos(Δx)-1) Sin(x}0_)+Cos(x0 _{) Sin(Δh).}

Izvršena permutacijapojmovi, grupirani prvi s trećim Sin(x₀), stavite zajednički faktor - sinus - izvan zagrada. Dobili smo razliku Cos(Δh)-1 u izrazu. Ostaje promijeniti znak ispred zagrade iu zagradama. Znajući koliko je jednako 1-Cos(Δh), napravit ćemo zamjenu i dobiti pojednostavljeni izraz Δu, koji ćemo zatim podijeliti s Δh.

Δu/Δh će izgledati ovako: Cos(h 0 _{) Sin(Δh)/Δh-2 Sin}2^{(0, 5 Δh) Sin(h}0_{) /Δh. Ovo je omjer prirasta funkcije i dopuštenog prirasta argumenta.}

Ostaje pronaći granicu omjera lim koji smo dobili na Δh koji teži nuli.

Poznato je da je granica Sin(Δh)/Δx jednaka 1, pod ovim uvjetom. A izraz 2 Sin²(0, 5 Δh)/Δh u rezultirajućem kvocijentu zbrojit će se transformacijama u proizvod koji sadrži prvu izvanrednu granicu kao množitelj: dijelimo brojnik i nazivnik razlomka 2, kvadrat zamjenjujemo sinus umnoškom. Ovako:

(Sin(0, 5 Δx)/(0, 5 Δx)) Sin(Δx/2).

Granica ovog izraza kako Δx teži nuli bit će jednaka nuli (1 puta 0). Ispada da je granica omjera Δy/Δh jednaka Cos(h₀) 1-0, ovo je Cos(h_{0), izraz, koji ne ovisi o Δx koji teži 0. Iz ovoga slijedi zaključak: derivacija sinusa bilo kojeg kuta x jednaka je kosinsu x, pišemo je ovako: y'=Cos(x).}

Rezultirajuća formula je navedena u dobro poznatoj tablici izvedenica, gdje su sakupljene sve elementarne funkcije

Pri rješavanju zadataka gdje se javlja derivacija sinusa možete koristiti pravila diferencijacije i gotove formule iz tablice. Na primjer: pronađite derivaciju najjednostavnije funkcije y=3·Sin(x)-15. Poslužimo se elementarnim pravilima diferencijacije, uzimajući brojčani faktor iz predznaka derivacije i izračunajmo derivaciju konstantnog broja (jednaka je nuli). Primjenjujemo tabličnu vrijednost derivacije sinusa kuta x, jednakog Cos (x). Dobivamo odgovor: y'=3·Cos(x)-O. Ova derivacija je, pak, također elementarna funkcija y=3 Cos(x).

Izvod sinusa na kvadrat bilo kojeg argumenta

Prilikom izračunavanja ovog izraza (Sin²(x))', morate zapamtiti kako se složena funkcija razlikuje. Dakle, y=Sin²(x) je funkcija stepena, budući da je sinus na kvadrat. Njegov argument je također trigonometrijska funkcija, ^{složeni argument. Rezultat je u ovom slučaju jednak umnošku čiji je prvi faktor derivacija kvadrata zadanog kompleksnog argumenta, a drugi derivacija sinusa. Ovako izgleda pravilo za razlikovanje funkcije od funkcije: (u(v(x)))' jednako (u(v(x)))'·(v(x))'. Izraz v(x) je složen argument (unutarnja funkcija). Ako je dana funkcija "y jednaka sinusu na kvadrat x", tada će derivacija ove kompleksne funkcije biti y'=2·Sin(x)·Cos(x). U umnošku, prvi udvojeni faktor je derivacija poznate funkcije potencije, a Cos(x) je derivacija sinusa, argumenta kompleksne kvadratne funkcije. Konačni rezultat se može pretvoriti,koristeći trigonometrijsku formulu za sinus dvostrukog kuta. Odgovor: derivacija je Sin(2 x). Ova se formula lako pamti i često se koristi kao tablična formula.}