Kolika je simetrala kuta trokuta? Na ovo pitanje nekima izbija poznata izreka: "Ovo je štakor koji trči po uglovima i dijeli kut na pola." Ako bi odgovor trebao biti "s humorom", onda je možda i točan. Ali sa znanstvenog stajališta, odgovor na ovo pitanje trebao je zvučati otprilike ovako: "Ovo je zraka koja počinje od vrha ugla i dijeli ga na dva jednaka dijela." U geometriji se ovaj lik također doživljava kao segment simetrale sve dok se ne siječe s suprotnom stranom trokuta. Ovo nije pogrešno mišljenje. Što se još zna o simetrali kuta, osim njegove definicije?
Kao i svaki lokus točaka, ima svoje karakteristike. Prvi od njih prije nije čak ni znak, već teorem koji se može ukratko izraziti na sljedeći način: "Ako simetrala podijeli suprotnu stranu na dva dijela, tada će njihov omjer odgovarati omjeru stranica veliketrokut".
Drugo svojstvo koje ima: presjek simetrala svih kutova naziva se središte.
Treći znak: simetrale jednog unutarnjeg i dva vanjska kuta trokuta sijeku se u središtu jedne od tri upisane kružnice u njemu.
Četvrto svojstvo simetrale kuta trokuta je da ako je svaki od njih jednak, onda je posljednji jednakokračan.
Peti znak se također odnosi na jednakokračni trokut i glavna je smjernica za njegovo prepoznavanje na crtežu po simetralama, naime: u jednakokračnom trokutu on istovremeno djeluje kao medijan i visina.
Simetrala kuta može se konstruirati pomoću šestara i ravnala:
Šesto pravilo kaže da je nemoguće konstruirati trokut koristeći potonje samo s dostupnim simetralama, kao što je nemoguće konstruirati udvostručenje kocke, kvadrata kružnice i trisekcije kuta na ovaj način. Strogo govoreći, ovo su sva svojstva simetrale kuta trokuta.
Ako pažljivo pročitate prethodni odlomak, možda vas zanima jedna fraza. "Što je trisekcija kuta?" - sigurno ćete pitati. Trisektrica je malo slična simetrali, ali ako nacrtate potonju, tada će kut biti podijeljen na dva jednaka dijela, a pri konstruiranju trisekcije natri. Naravno, simetralu kuta je lakše zapamtiti, jer se trisekcija ne uči u školi. Ali radi kompletnosti, ispričat ću vam o njoj.
Trisektor, kao što sam rekao, ne može se izgraditi samo s šestarom i ravnalom, ali se može napraviti korištenjem Fujitinih pravila i nekih krivulja: Pascalovih puževa, kvadratrisa, Nikomedovih konhoida, konusnih presjeka, Arhimedovih spirala.
Problemi s trisekcijom kuta vrlo se jednostavno rješavaju pomoću nevsisa.
U geometriji postoji teorem o trisektorima kutova. Zove se Morleyev (Morleyev) teorem. Ona kaže da će točke presjeka trisektora središnje točke svakog kuta biti vrhovi jednakostraničnog trokuta.
Mali crni trokut unutar velikog će uvijek biti jednakostraničan. Ovaj teorem otkrio je britanski znanstvenik Frank Morley 1904.
Ovdje je sve što treba naučiti o dijeljenju kuta: trisektor i simetrala kuta uvijek zahtijevaju detaljna objašnjenja. Ali ovdje su date mnoge definicije koje još nisam otkrio: Pascalov puž, Nikomedov konhoid itd. Nemojte se zavaravati, o njima se može više napisati.
