Trokut je jedan od najčešćih geometrijskih oblika koji nam je već poznat u osnovnoj školi. Svaki učenik se suočava s pitanjem kako pronaći površinu trokuta u nastavi geometrije. Dakle, koje se značajke pronalaženja područja dane figure mogu razlikovati? U ovom članku razmotrit ćemo osnovne formule potrebne za izvršavanje takvog zadatka, kao i analizirati vrste trokuta.
Vrste trokuta
Površinu trokuta možete pronaći na potpuno različite načine, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figure koja sadrži tri kuta. Ove vrste uključuju:
- Oštri trokut.
- pod kutom.
- Ekvilateralno (ispravno).
- Pravokutni trokut.
- jednakokraka.
Pogledajmo pobliže svaku od postojećih vrsta trokuta.
Akutnotrokut
Takav geometrijski lik smatra se najčešćim u rješavanju geometrijskih problema. Kada postane potrebno nacrtati proizvoljan trokut, ova opcija dolazi u pomoć.
U oštrom trokutu, kao što naziv implicira, svi kutovi su oštri i zbrajaju do 180°.
Trokut pod kutom
Ovaj trokut je također vrlo čest, ali je nešto rjeđi od onog pod oštrim kutom. Na primjer, prilikom rješavanja trokuta (odnosno, poznajete nekoliko njegovih stranica i kutova i trebate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li kut tup ili ne. Kosinus tupog kuta je negativan broj.
U tupokutnom trokutu vrijednost jednog od kutova prelazi 90°, tako da preostala dva kuta mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15° ili čak 3°).
Da biste pronašli površinu trokuta ove vrste, morate znati neke nijanse, o kojima ćemo govoriti kasnije.
Pravilni i jednakokračni trokuti
Pravilan poligon je lik koji uključuje n kutova i sve strane i kutovi su jednaki. Ovo je pravokutni trokut. Budući da je zbroj svih kutova trokuta 180°, svaki od tri kuta je 60°.
Pravilan trokut, zbog svog svojstva, naziva se i jednakostranični lik.
Vrijedi napomenuti da upravilan trokut može biti upisan samo jednom kružnicom i samo jedan krug može biti opisan oko njega, a njihova središta se nalaze u jednoj točki.
Osim jednakostraničnog tipa, može se odabrati i jednakokračni trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom trokutu dvije su stranice i dva kuta jednaki jedna drugoj, a treća stranica (na koju graniče jednaki kutovi) je baza.
Slika prikazuje jednakokračni trokut DEF, čiji su kutovi D i F jednaki, a DF je baza.
Pravokutni trokut
Pravokutni trokut nazvan je tako jer je jedan od njegovih kutova pravi kut, odnosno jednak 90°. Zbroj ostala dva kuta iznosi 90°.
Najveća stranica takvog trokuta, koja leži nasuprot kuta od 90°, je hipotenuza, dok su druge dvije njegove stranice katete. Za ovu vrstu trokuta primjenjiv je Pitagorin teorem:
Zbroj kvadrata duljina kateta jednak je kvadratu duljine hipotenuze.
Slika prikazuje pravokutni trokut BAC s hipotenuzom AC i kracima AB i BC.
Da biste pronašli površinu trokuta s pravim kutom, morate znati brojčane vrijednosti njegovih krakova.
Pređimo na formule za pronalaženje površine ove figure.
Osnovne formule područja
U geometriji postoje dvije formule koje su prikladne za pronalaženje površine većine tipova trokuta, naime za oštre, tupokutne, pravilne ijednakokračni trokuti. Analizirajmo svaki od njih.
Sa strane i visine
Ova formula je univerzalna za pronalaženje površine figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati duljinu stranice i duljinu povučene visine. Sama formula (pola umnožaka baze i visine) izgleda ovako:
S=½AH, gdje je A stranica zadanog trokuta, a H visina trokuta.
Na primjer, da biste pronašli površinu trokuta pod oštrim kutom ACB, trebate pomnožiti njegovu stranu AB s visinom CD i dobivenu vrijednost podijeliti s dva.
Međutim, nije uvijek lako pronaći površinu trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste koristili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate nastaviti jednu od njegovih stranica i tek nakon toga nacrtati joj visinu.
U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.
Na dvije strane i kut
Ova formula, kao i prethodna, prikladna je za većinu trokuta i po svom je značenju posljedica formule za pronalaženje površine po strani i visini trokuta. To jest, formula koja se razmatra može se lako izvesti iz prethodne. Njezina formulacija izgleda ovako:
S=½sinOAB, gdje su A i B stranice trokuta, a O kut između stranica A i B.
Podsjetimo da se sinus kuta može vidjeti u posebnoj tablici nazvanoj po istaknutom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.
A sada idemo na druge formule,prikladno samo za izuzetne vrste trokuta.
Površina pravokutnog trokuta
Pored univerzalne formule, koja uključuje potrebu za crtanjem visine u trokutu, površina trokuta koji sadrži pravi kut može se pronaći po njegovim nogama.
Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi kut je polovica umnoška njegovih nogu, ili:
S=½ab, gdje su a i b katete pravokutnog trokuta.
pravilni trokut
Ova vrsta geometrijskih figura razlikuje se po tome što se njezino područje može pronaći s navedenom vrijednošću samo jedne od njegovih stranica (budući da su sve strane pravilnog trokuta jednake). Dakle, nakon što ste se susreli sa zadatkom "pronaći površinu trokuta kada su stranice jednake", morate koristiti sljedeću formulu:
S=A2√3 / 4, gdje je A stranica jednakostraničnog trokuta.
Heron's Formula
Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati duljine triju strana figure. Heronova formula izgleda ovako:
S=√p (p - a) (p - b) (p - c), gdje su a, b i c stranice ovog trokuta.
Ponekad se daje zadatak: "površina pravilnog trokuta - pronađite duljinu njegove stranice." U ovom slučaju morate koristiti već poznatu formulu za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njegovog kvadrata):
A2=4S / √3.
Ispitni problemi
U GIA zadacimaU matematici postoje mnoge formule. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kockastom papiru.
U ovom slučaju najprikladnije je nacrtati visinu na jednu od strana figure, odrediti njezinu duljinu po ćelijama i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje površine:
S=½AH.
Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem površine trokuta bilo koje vrste.
