Jedna od figura koja se javlja pri rješavanju geometrijskih problema u prostoru je stožac. On, za razliku od poliedara, pripada klasi figura rotacije. Razmotrimo u članku što se pod tim podrazumijeva u geometriji i istražimo karakteristike različitih presjeka stošca.
konus u geometriji
Pretpostavimo da postoji neka krivulja na ravnini. To može biti parabola, kružnica, elipsa i tako dalje. Uzmite točku koja ne pripada navedenoj ravnini i povežite s njom sve točke krivulje. Rezultirajuća površina naziva se konus ili jednostavno konus.
Ako je originalna krivulja zatvorena, tada se konusna površina može ispuniti materijom. Ovako dobivena figura je trodimenzionalno tijelo. Također se naziva konus. Nekoliko papirnatih čunjeva prikazano je ispod.
Konična površina nalazi se u svakodnevnom životu. Na primjer, kornet sladoleda ili prugasti kornet ima ovaj oblik, koji je dizajniran da privuče pažnju vozača ipješaci.
Vrste čunjeva
Kao što možete pretpostaviti, brojke koje se razmatraju razlikuju se jedna od druge po vrsti krivulje na kojoj su formirane. Na primjer, postoji okrugli konus ili eliptični. Ova krivulja naziva se baza figure. Međutim, oblik baze nije jedina značajka koja omogućuje klasifikaciju čunjeva.
Druga važna karakteristika je položaj visine u odnosu na bazu. Visina stošca je odsječak ravne linije, koji je spušten od vrha figure do ravnine baze i okomit je na ovu ravninu. Ako visina siječe bazu u geometrijskom središtu (na primjer, u središtu kruga), konus će biti ravan, ako okomit segment padne na bilo koju drugu točku baze ili izvan nje, tada će lik biti koso.
Dalje u članku razmatrat ćemo samo okrugli ravni stožac kao svijetli predstavnik razmatrane klase figura.
Geometrijski nazivi elemenata konusa
Iznad je rečeno da konus ima bazu. Omeđena je kružnicom, koja se naziva vodičem stošca. Segmenti koji povezuju vodilicu s točkom koja ne leži u ravnini baze nazivaju se generatori. Skup svih točaka generatora naziva se konusna ili bočna površina figure. Za okrugli desni stožac, svi generatori imaju istu duljinu.
Točka u kojoj se sijeku generatori naziva se vrh figure. Za razliku od poliedra, konus ima jedan vrh i brrub.
Prava crta koja prolazi vrhom figure i središtem kružnice naziva se os. Os sadrži visinu ravnog stošca, pa tvori pravi kut s ravninom baze. Ova informacija je važna kada se izračunava površina aksijalnog presjeka stošca.
Okrugli ravni stožac - figura rotacije
Razmatrani stožac je prilično simetričan lik, koji se može dobiti kao rezultat rotacije trokuta. Pretpostavimo da imamo trokut s pravim kutom. Da biste dobili stožac, dovoljno je rotirati ovaj trokut oko jedne od krakova kao što je prikazano na donjoj slici.
Može se vidjeti da je os rotacije os stošca. Jedna od nogu bit će jednaka visini figure, a druga će noga postati polumjer baze. Hipotenuza trokuta kao rezultat rotacije opisat će stožastu plohu. To će biti generatriksa stošca.
Ova metoda dobivanja okruglog ravnog stošca pogodna je za proučavanje matematičkog odnosa između linearnih parametara figure: visine h, polumjera okrugle baze r i vodilice g. Odgovarajuća formula proizlazi iz svojstava pravokutnog trokuta. Naveden je u nastavku:
g2=h2+ r2.
Budući da imamo jednu jednadžbu i tri varijable, to znači da za jedinstveno postavljanje parametara okruglog konusa morate znati bilo koje dvije veličine.
Presjeci stošca ravninom koja ne sadrži vrh figure
Pitanje konstruiranja dijelova figure nijetrivijalno. Činjenica je da oblik presjeka stošca po površini ovisi o relativnom položaju figure i sekante.
Pretpostavimo da konus siječemo ravninom. Što će biti rezultat ove geometrijske operacije? Opcije oblika presjeka prikazane su na donjoj slici.
Ružičasti dio je krug. Nastaje kao rezultat presjeka lika s ravninom koja je paralelna s bazom stošca. To su presjeci okomiti na os slike. Lik formiran iznad rezne ravnine je konus sličan izvornom, ali ima manji krug u osnovi.
Zeleni dio je elipsa. Dobiva se ako rezna ravnina nije paralelna s bazom, nego siječe samo bočnu površinu stošca. Lik odsječen iznad ravnine naziva se eliptični kosi stožac.
Plavi i narančasti dijelovi su parabolični, odnosno hiperbolični. Kao što možete vidjeti na slici, oni se dobivaju ako rezna ravnina istovremeno siječe bočnu površinu i bazu figure.
Za određivanje površina presjeka stošca koji su razmatrani, potrebno je koristiti formule za odgovarajući lik na ravnini. Na primjer, za krug, ovo je broj Pi pomnožen s kvadratom polumjera, a za elipsu, ovo je umnožak Pi i duljine male i velike poluosi:
krug: S=pir2;
elipsa: S=piab.
Odjeljci koji sadrže vrh konusa
Sada razmotrite opcije za presjeke koje nastaju ako je rezna ravninaproći kroz vrh stošca. Moguća su tri slučaja:
- Odjeljak je jedna točka. Na primjer, ravnina koja prolazi kroz vrh i paralelna je s bazom daje upravo takav presjek.
- Osječak je ravna linija. Ova situacija se događa kada je ravnina tangenta na stožastu površinu. Ravna linija presjeka u ovom slučaju bit će generatriksa stošca.
- Aksijalni presjek. Nastaje kada ravnina sadrži ne samo vrh figure, već i cijelu njegovu os. U ovom slučaju, ravnina će biti okomita na okruglu bazu i podijelit će stožac na dva jednaka dijela.
Očito, površine prve dvije vrste sekcija jednake su nuli. Što se tiče površine poprečnog presjeka stošca za 3. tip, ovo pitanje je detaljnije obrađeno u sljedećem odlomku.
Aksialni presjek
Gore je napomenuto da je aksijalni presjek stošca lik koji nastaje kada konus presječe ravnina koja prolazi kroz njegovu os. Lako je pogoditi da će ovaj odjeljak predstavljati sliku prikazanu na donjoj slici.
Ovo je jednakokraki trokut. Vrh aksijalnog presjeka stošca je vrh ovog trokuta, nastao presjekom identičnih stranica. Potonji su jednaki duljini generatrike stošca. Osnova trokuta je promjer baze stošca.
Izračunavanje površine aksijalnog presjeka stošca svodi se na pronalaženje površine rezultirajućeg trokuta. Ako su polumjer baze r i visina stošca h početno poznati, tada će površina S presjeka koji se razmatra biti:
S=hr.
Ovoizraz je posljedica primjene standardne formule za površinu trokuta (pola umnožaka visine pomnožene osnovicom).
Imajte na umu da ako je generatrisa stošca jednaka promjeru njegove okrugle baze, tada je aksijalni presjek stošca jednakostraničan trokut.
Trokutasti presjek nastaje kada je rezna ravnina okomita na bazu stošca i prolazi kroz njegovu os. Svaka druga ravnina paralelna s navedenom dat će hiperbolu u presjeku. Međutim, ako ravnina sadrži vrh stošca i siječe njegovu bazu ne kroz promjer, tada će rezultirajući presjek također biti jednakokračan trokut.
Problem određivanja linearnih parametara stošca
Pokažimo kako koristiti formulu napisanu za područje aksijalnog presjeka za rješavanje geometrijskog problema.
Poznato je da je površina aksijalnog presjeka stošca 100 cm2. Dobiveni trokut je jednakostraničan. Kolika je visina stošca i polumjer njegove baze?
Budući da je trokut jednakostraničan, njegova visina h povezana je s duljinom stranice a na sljedeći način:
h=√3/2a.
S obzirom na to da je stranica trokuta dvostruko veća od polumjera baze stošca, i zamjenom ovog izraza u formulu za površinu poprečnog presjeka, dobivamo:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Tada je visina stošca:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Ostaje zamijeniti vrijednost površine iz uvjeta problemai dobiti odgovor:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
U kojim područjima je važno znati parametre razmatranih sekcija?
Proučavanje različitih tipova konusnih presjeka nije samo od teoretskog interesa, već ima i praktične primjene.
Prvo, treba istaknuti područje aerodinamike, gdje je uz pomoć konusnih presjeka moguće stvoriti idealne glatke oblike čvrstih tijela.
Drugo, konusni presjeci su putanje duž kojih se svemirski objekti kreću u gravitacijskim poljima. Koja specifična vrsta presjeka predstavlja putanju kretanja kozmičkih tijela sustava određena je omjerom njihovih masa, apsolutnih brzina i udaljenosti između njih.
