Jedna od najtežih i najnerazumljivijih tema sveučilišne matematike je integracija i diferencijalni račun. Morate poznavati i razumjeti te koncepte, kao i biti u stanju primijeniti ih. Mnoge sveučilišne tehničke discipline vezane su za diferencijale i integrale.
Kratke informacije o jednadžbama
Ove su jednadžbe jedan od najvažnijih matematičkih koncepata u obrazovnom sustavu. Diferencijalna jednadžba je jednadžba koja povezuje nezavisne varijable, funkciju koju treba pronaći i derivacije te funkcije s varijablama za koje se pretpostavlja da su neovisne. Diferencijalni račun za pronalaženje funkcije jedne varijable naziva se običan. Ako željena funkcija ovisi o nekoliko varijabli, onda se govori o parcijskoj diferencijalnoj jednadžbi.
Zapravo, pronalaženje određenog odgovora na jednadžbu svodi se na integraciju, a metoda rješenja određena je vrstom jednadžbe.
jednadžbe prvog reda
Diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba koja može opisati varijablu, željenu funkciju i njen prvi izvod. Takve se jednadžbe mogu dati u tri oblika: eksplicitna, implicitna, diferencijalna.
Koncepti potrebni za rješavanje
Početni uvjet - postavljanje vrijednosti željene funkcije za danu vrijednost varijable koja je neovisna.
Rješenje diferencijalne jednadžbe - bilo koja diferencijabilna funkcija, točno zamijenjena u izvornu jednadžbu, pretvara je u identično jednaku. Dobiveno rješenje, koje nije eksplicitno, integral je jednadžbe.
Opće rješenje diferencijalnih jednadžbi je funkcija y=y(x;C), koja može zadovoljiti sljedeće prosudbe:
- Funkcija može imati samo jednu proizvoljnu konstantu S.
- Rezultirajuća funkcija mora biti rješenje jednadžbe za sve proizvoljne vrijednosti proizvoljne konstante.
- S danim početnim uvjetom, proizvoljna konstanta može se definirati na jedinstven način tako da će rezultirajuće određeno rješenje biti u skladu s danim ranim početnim uvjetom.
U praksi se često koristi Cauchyjev problem - pronalaženje rješenja koje je posebno i može se usporediti s uvjetom postavljenim na početku.
Cauchyjev teorem je teorem koji naglašava postojanje i jedinstvenost određenog rješenja u diferencijalnom računu.
Geometrijski smisao:
- Opće rješenje y=y(x;C)jednadžba je ukupan broj integralnih krivulja.
- Diferencijalni račun omogućuje vam da povežete koordinate točke u ravnini XOY i tangente povučene na integralnu krivulju.
- Postavljanje početnog stanja znači postavljanje točke na ravnini.
- Za rješavanje Cauchyjevog problema znači da je iz cijelog skupa integralnih krivulja koje predstavljaju isto rješenje jednadžbe potrebno odabrati jedinu koja prolazi kroz jedinu moguću točku.
- Ispunjenje uvjeta Cauchyjevog teorema u točki znači da integralna krivulja (štoviše, samo jedna) nužno prolazi kroz odabranu točku u ravnini.
jednadžba odvojive varijable
Po definiciji, diferencijalna jednadžba je jednadžba u kojoj njezina desna strana opisuje ili se odražava kao proizvod (ponekad omjer) dviju funkcija, jedna ovisi samo o "x", a druga - samo o "y" ". Jasan primjer za ovu vrstu: y'=f1(x)f2(y).
Da biste riješili jednadžbe određenog oblika, prvo morate transformirati derivaciju y'=dy/dx. Zatim, manipulirajući jednadžbom, trebate je dovesti u oblik u kojem možete integrirati dva dijela jednadžbe. Nakon potrebnih transformacija, integriramo oba dijela i pojednostavljujemo rezultat.
Homogene jednadžbe
Po definiciji, diferencijalna jednadžba se može nazvati homogenom ako ima sljedeći oblik: y'=g(y/x).
U ovom slučaju najčešće se koristi zamjena y/x=t(x).
Za rješavanje takvih jednadžbi potrebno je homogenu jednadžbu svesti na oblik s odvojivim varijablama. Da biste to učinili, morate izvesti sljedeće operacije:
- Prikaz, koji izražava derivaciju izvorne funkcije, iz bilo koje izvorne funkcije kao nova jednadžba.
- Sljedeći korak je transformacija rezultirajuće funkcije u oblik f(x;y)=g(y/x). Jednostavnijim riječima, neka jednadžba sadrži samo omjer y/x i konstante.
- Napravite sljedeću zamjenu: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Izvršena zamjena pomoći će podijeliti varijable u jednadžbi, postupno je dovodeći u jednostavniji oblik.
Linearne jednadžbe
Definicija takvih jednadžbi je sljedeća: linearna diferencijalna jednadžba je jednadžba u kojoj je njezina desna strana izražena kao linearni izraz u odnosu na izvornu funkciju. Željena funkcija u ovom slučaju: y'=a(x)y + b(x).
Preformulirajmo definiciju na sljedeći način: bilo koja jednadžba 1. reda postat će linearna u svom obliku ako su izvorna funkcija i njezin deriv uključeni u jednadžbu prvog stupnja i ne množe se jedna s drugom. "Klasični oblik" linearne diferencijalne jednadžbe ima sljedeću strukturu: y' + P(x)y=Q(x).
Prije rješavanja takve jednadžbe treba je pretvoriti u "klasični oblik". Sljedeći korak bit će odabir metode rješenja: Bernoullijeva ili Lagrangeova metoda.
Rješavanje jednadžbe sakoristeći metodu koju je uveo Bernoulli, podrazumijeva zamjenu i redukciju linearne diferencijalne jednadžbe na dvije jednadžbe s odvojenim varijablama u odnosu na funkcije U(x) i V(x), koje su dane u svom izvornom obliku.
Lagrangeova metoda je pronalaženje općeg rješenja izvorne jednadžbe.
- Potrebno je pronaći isto rješenje homogene jednadžbe. Nakon pretraživanja, imamo funkciju y=y(x, C), gdje je C proizvoljna konstanta.
- Tražimo rješenje izvorne jednadžbe u istom obliku, ali smatramo da je C=C(x). Zamijenimo funkciju y=y(x, C(x)) u izvornu jednadžbu, pronađemo funkciju C(x) i zapišemo rješenje opće izvorne jednadžbe.
Bernoullijeva jednadžba
Bernoullijeva jednadžba - ako desna strana računa ima oblik f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, gdje je k bilo koja moguća racionalna brojčana vrijednost, koja se ne uzima kao primjer slučaja kada je k=0 i k=1.
Ako je k=1, tada račun postaje odvojiv, a kada je k=0, jednadžba ostaje linearna.
Razmotrimo opći slučaj rješavanja ove vrste jednadžbe. Imamo standardnu Bernoullijevu jednadžbu. Mora se svesti na linearnu, za to trebate podijeliti jednadžbu s yk. Nakon ove operacije zamijenite z(x)=y1-k. Nakon niza transformacija, jednadžba će se svesti na linearnu, najčešće metodom supstitucije z=UV.
Jednadžbe u ukupnim diferencijalima
Definicija. Jednadžba sa strukturom P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 naziva se jednadžba u cijelostidiferencijali, ako je ispunjen sljedeći uvjet (u ovom uvjetu, "d" je parcijalni diferencijal): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Sve diferencijalne jednadžbe prvog reda razmatrane ranije mogu se prikazati kao diferencijali.
Takvi izračuni se rješavaju na nekoliko načina. No, svi oni počinju provjerom stanja. Ako je uvjet zadovoljen, tada je krajnje lijevo područje jednadžbe ukupni diferencijal još nepoznate funkcije U(x;y). Tada će, u skladu s jednadžbom, dU (x; y) biti jednak nuli, pa će se isti integral jednadžbe u ukupnim diferencijalima prikazati u obliku U (x; y) u003d C. Dakle, rješenje jednadžbe svodi se na pronalaženje funkcije U (x; y).
Integracijski faktor
Ako uvjet dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx nije zadovoljen u jednadžbi, tada jednadžba nema oblik koji smo razmatrali gore. Ali ponekad je moguće odabrati neku funkciju M(x;y), kada se pomnoži s kojom jednadžba poprima oblik jednadžbe u punom "diffursu". Funkcija M (x;y) se naziva integrirajući faktor.
Integrator se može pronaći samo kada postane funkcija samo jedne varijable.
