Mislim da bismo trebali početi s poviješću tako veličanstvenog matematičkog alata kao što su diferencijalne jednadžbe. Kao i svaki diferencijalni i integralni račun, ove je jednadžbe izumio Newton krajem 17. stoljeća. Upravo to svoje otkriće smatrao je toliko važnim da je čak i šifrirao poruku, koja se danas može prevesti otprilike ovako: "Svi zakoni prirode opisani su diferencijalnim jednadžbama." Ovo može izgledati kao pretjerivanje, ali je istina. Bilo koji zakon fizike, kemije, biologije može se opisati ovim jednadžbama.
Matematičari Euler i Lagrange dali su ogroman doprinos razvoju i stvaranju teorije diferencijalnih jednadžbi. Već u 18. stoljeću otkrili su i razvili ono što sada studiraju na višim sveučilišnim tečajevima.
Nova prekretnica u proučavanju diferencijalnih jednadžbi započela je zahvaljujući Henriju Poincareu. Stvorio je "kvalitativnu teoriju diferencijalnih jednadžbi", koja je u kombinaciji s teorijom funkcija kompleksne varijable dala značajan doprinos temeljima topologije - znanosti o prostoru i njegovomsvojstva.
Što su diferencijalne jednadžbe?
Mnogi ljudi se boje jedne fraze "diferencijalna jednadžba". No, u ovom ćemo članku detaljno opisati bit ovog vrlo korisnog matematičkog aparata, koji zapravo i nije tako kompliciran kao što se čini iz naziva. Kako biste započeli razgovor o diferencijalnim jednadžbama prvoga reda, prvo se trebate upoznati s osnovnim pojmovima koji su inherentno povezani s ovom definicijom. I počet ćemo s diferencijalom.
Diferencijal
Mnogi poznaju ovaj koncept iz škole. Međutim, pogledajmo to pobliže. Zamislite graf funkcije. Možemo ga povećati do te mjere da će bilo koji njegov segment poprimiti oblik ravne linije. Na njemu uzimamo dvije točke koje su jedna drugoj beskonačno blizu. Razlika između njihovih koordinata (x ili y) bit će beskonačno mala vrijednost. Zove se diferencijal i označava se znakovima dy (diferencijal od y) i dx (diferencijal od x). Vrlo je važno razumjeti da diferencijal nije konačna vrijednost, a to je njegovo značenje i glavna funkcija.
A sada trebamo razmotriti sljedeći element, koji će nam biti od koristi u objašnjavanju koncepta diferencijalne jednadžbe. Ovo je izvedenica.
Izvod
Svi smo vjerojatno čuli u školi za ovaj koncept. Za derivaciju se kaže da je stopa rasta ili smanjenja funkcije. Međutim, iz ove definicijemnogo toga postaje nejasno. Pokušajmo derivaciju objasniti u terminima diferencijala. Vratimo se na infinitezimalni segment funkcije s dvije točke koje su jedna od druge na minimalnoj udaljenosti. Ali čak i za ovu udaljenost, funkcija se uspijeva promijeniti za određenu količinu. I da bi opisali ovu promjenu, smislili su derivaciju, koja se inače može napisati kao omjer razlika: f(x)'=df/dx.
Sada vrijedi razmotriti osnovna svojstva izvedenice. Ima ih samo tri:
- Izvod zbroja ili razlike može se predstaviti kao zbroj ili razlika izvedenica: (a+b)'=a'+b' i (a-b)'=a'-b'.
- Drugo svojstvo se odnosi na množenje. Derivat proizvoda je zbroj proizvoda jedne funkcije i derivacije druge: (ab)'=a'b+ab'.
- Izvod razlike može se napisati kao sljedeća jednakost: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Sva ova svojstva bit će korisna za pronalaženje rješenja diferencijalnih jednadžbi prvog reda.
Postoje i djelomične izvedenice. Recimo da imamo funkciju z koja ovisi o varijablama x i y. Da bismo izračunali parcijalni izvod ove funkcije, recimo, s obzirom na x, moramo uzeti varijablu y kao konstantu i jednostavno diferencirati.
Integralni
Još jedan važan koncept je integral. Zapravo, ovo je direktna suprotnost izvedenice. Postoji nekoliko vrsta integrala, ali za rješavanje najjednostavnijih diferencijalnih jednadžbi potrebni su nam najtrivijalniji neodređeni integrali.
Pa što je integral? Recimo da imamo neku ovisnost fod x. Od njega uzimamo integral i dobivamo funkciju F (x) (koja se često naziva antiderivatom), čija je derivacija jednaka izvornoj funkciji. Dakle, F(x)'=f(x). Iz ovoga također slijedi da je integral derivacije jednak izvornoj funkciji.
Prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi vrlo je važno razumjeti značenje i funkciju integrala, jer ćete ih morati vrlo često uzimati da biste pronašli rješenje.
Jednadžbe se razlikuju ovisno o njihovoj prirodi. U sljedećem odjeljku razmotrit ćemo vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda, a zatim naučiti kako ih riješiti.
Razredi diferencijalnih jednadžbi
"Diffury" su podijeljeni prema redoslijedu izvedenica uključenih u njih. Dakle, postoji prvi, drugi, treći i više reda. Također se mogu podijeliti u nekoliko klasa: obične i parcijalne izvedenice.
U ovom članku ćemo razmotriti obične diferencijalne jednadžbe prvog reda. Također ćemo raspravljati o primjerima i načinima njihovog rješavanja u sljedećim odjeljcima. Razmotrit ćemo samo ODE, jer su to najčešće vrste jednadžbi. Obične se dijele na podvrste: s odvojivim varijablama, homogene i heterogene. Zatim ćete naučiti kako se međusobno razlikuju i naučiti kako ih riješiti.
Osim toga, ove se jednadžbe mogu kombinirati, tako da nakon toga dobijemo sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Također ćemo razmotriti takve sustave i naučiti kako ih riješiti.
Zašto razmatramo samo prvu narudžbu? Jer trebate početi s jednostavnim, i opisati sve što se odnosi na diferencijaljednadžbe, u jednom članku je jednostavno nemoguće.
Odvojive jednadžbe varijable
Ovo su možda najjednostavnije diferencijalne jednadžbe prvog reda. To uključuje primjere koji se mogu napisati ovako: y'=f(x)f(y). Za rješavanje ove jednadžbe potrebna nam je formula za predstavljanje derivacije kao omjera diferencijala: y'=dy/dx. Koristeći ga, dobivamo sljedeću jednadžbu: dy/dx=f(x)f(y). Sada možemo prijeći na metodu rješavanja standardnih primjera: varijable ćemo podijeliti na dijelove, tj. sve ćemo s varijablom y prenijeti na dio gdje se nalazi dy, a isto ćemo učiniti i s varijablom x. Dobivamo jednadžbu oblika: dy/f(y)=f(x)dx, koja se rješava uzimanjem integrala oba dijela. Ne zaboravite na konstantu koja se mora postaviti nakon uzimanja integrala.
Rješenje bilo koje "difurance" je funkcija ovisnosti x o y (u našem slučaju) ili, ako postoji brojčani uvjet, onda je odgovor u obliku broja. Analizirajmo cijeli tijek rješenja na konkretnom primjeru:
y'=2ysin(x)
Premjestite varijable u različitim smjerovima:
dy/y=2sin(x)dx
Sada uzimamo integrale. Svi se oni mogu naći u posebnoj tablici integrala. I dobivamo:
ln(y)=-2cos(x) + C
Ako je potrebno, možemo izraziti "y" kao funkciju "x". Sada možemo reći da je naša diferencijalna jednadžba riješena ako nije zadan nikakav uvjet. Može se dati uvjet, na primjer, y(n/2)=e. Zatim jednostavno zamjenjujemo vrijednost tih varijabli u rješenje ipronaći vrijednost konstante. U našem primjeru, to je jednako 1.
Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda
Sada na teži dio. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda mogu se zapisati u općem obliku na sljedeći način: y'=z(x, y). Valja napomenuti da je desna funkcija dviju varijabli homogena i ne može se podijeliti u dvije ovisnosti: z na x i z na y. Provjera je li jednadžba homogena ili ne prilično je jednostavna: vršimo zamjenu x=kx i y=ky. Sada poništavamo sve k. Ako se sva ova slova smanje, onda je jednadžba homogena i možete je sigurno nastaviti rješavati. Gledajući unaprijed, recimo: princip rješavanja ovih primjera također je vrlo jednostavan.
Moramo napraviti zamjenu: y=t(x)x, gdje je t neka funkcija koja također ovisi o x. Tada možemo izraziti derivaciju: y'=t'(x)x+t. Zamijenivši sve to u našu izvornu jednadžbu i pojednostavljujući je, dobivamo primjer s odvojivim varijablama t i x. Rješavamo to i dobivamo ovisnost t(x). Kada smo ga dobili, jednostavno zamjenjujemo y=t(x)x u našu prethodnu zamjenu. Tada dobivamo ovisnost y o x.
Da bude jasnije, pogledajmo primjer: xy'=y-xey/x.
Prilikom provjere sa zamjenom, sve je smanjeno. Dakle, jednadžba je stvarno homogena. Sada napravimo još jednu zamjenu o kojoj smo govorili: y=t(x)x i y'=t'(x)x+t(x). Nakon pojednostavljenja, dobivamo sljedeću jednadžbu: t'(x)x=-et. Rezultirajući primjer rješavamo s odvojenim varijablama i dobivamo: e-t=ln(Cx). Trebamo samo zamijeniti t s y/x (na kraju krajeva, ako je y=tx, onda je t=y/x) i dobivamoodgovor: e-y/x=ln(xC).
Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda
Vrijeme je za još jednu veliku temu. Analizirat ćemo nehomogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Po čemu se razlikuju od prethodna dva? Idemo to shvatiti. Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda u općem obliku mogu se zapisati na sljedeći način: y' + g(x)y=z(x). Vrijedi pojasniti da z(x) i g(x) mogu biti konstante.
A sada primjer: y' - yx=x2.
Postoje dva načina da se to riješi, a oba ćemo se pozabaviti redom. Prva je metoda varijacije proizvoljnih konstanti.
Da biste riješili jednadžbu na ovaj način, prvo morate izjednačiti desnu stranu s nulom i riješiti rezultirajuću jednadžbu, koja će nakon pomicanja dijelova poprimiti oblik:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Sada moramo zamijeniti konstantu C1 s funkcijom v(x) koju moramo pronaći.
y=vex2/2.
Promijenimo izvedenicu:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
I zamijenite ove izraze u izvornu jednadžbu:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Na lijevoj strani možete vidjeti da se dva termina poništavaju. Ako se u nekom primjeru to nije dogodilo, onda ste učinili nešto krivo. Nastavi:
v'ex2/2 =x2.
Sada rješavamo uobičajenu jednadžbu u kojoj trebamo odvojiti varijable:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Da bismo izdvojili integral, ovdje moramo primijeniti integraciju po dijelovima. Međutim, to nije tema našeg članka. Ako ste zainteresirani, možete naučiti kako sami izvoditi takve radnje. Nije teško, a uz dovoljno vještine i pažnje ne treba puno vremena.
Okrenimo se drugoj metodi rješavanja nehomogenih jednadžbi: Bernoullijevoj metodi. Koji je pristup brži i lakši ovisi o vama.
Dakle, kada rješavamo jednadžbu ovom metodom, moramo napraviti zamjenu: y=kn. Ovdje su k i n neke funkcije ovisne o x. Tada će derivacija izgledati ovako: y'=k'n+kn'. Zamijenite obje zamjene u jednadžbu:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grupa:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Sada moramo izjednačiti s nulom ono što je u zagradama. Sada, ako kombinirate dvije rezultirajuće jednadžbe, dobit ćete sustav diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje trebate riješiti:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Prva jednakost se rješava kao normalna jednadžba. Da biste to učinili, morate odvojiti varijable:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Uzmite integral i dobijete: ln(n)=x2/2. Zatim, ako izrazimo n:
n=ex2/2.
Sada zamjenjujemo rezultirajuću jednakost u drugu jednadžbu sustava:
k'ex2/2=x2.
I transformacijom, dobivamo istu jednakost kao u prvoj metodi:
dk=x2/ex2/2.
Nećemo ići u daljnje korake. Vrijedi reći da u početku rješavanje diferencijalnih jednadžbi prvog reda uzrokuje značajne poteškoće. Međutim, kako dublje zaronite u temu, postaje sve bolje i bolje.
Gdje se koriste diferencijalne jednadžbe?
Diferencijalne jednadžbe se vrlo aktivno koriste u fizici, budući da su gotovo svi osnovni zakoni napisani u diferencijalnom obliku, a formule koje vidimo su rješenje ovih jednadžbi. U kemiji se koriste iz istog razloga: iz njih se izvode osnovni zakoni. U biologiji se diferencijalne jednadžbe koriste za modeliranje ponašanja sustava, kao što je grabežljivac-plijen. Također se mogu koristiti za stvaranje modela reprodukcije, recimo, kolonije mikroorganizama.
Kako će diferencijalne jednadžbe pomoći u životu?
Odgovor na ovo pitanje je jednostavan: nema šanse. Ako niste znanstvenik ili inženjer, malo je vjerojatno da će vam oni biti korisni. Međutim, za opći razvoj ne škodi znati što je diferencijalna jednadžba i kako se ona rješava. A onda pitanje sina ili kćeri "što je diferencijalna jednadžba?" neće vas zbuniti. Pa, ako ste znanstvenik ili inženjer, onda i sami razumijete važnost ove teme u bilo kojoj znanosti. Ali najvažnije je da se sada postavlja pitanje "kako riješiti diferencijalnu jednadžbu prvog reda?" uvijek možete odgovoriti. Slažem se, uvijek je lijepokad shvatiš ono što se ljudi čak i boje razumjeti.
Glavni problemi u učenju
Glavni problem u razumijevanju ove teme je slaba vještina integracije i razlikovanja funkcija. Ako ste loši u uzimanju derivacija i integrala, onda biste vjerojatno trebali naučiti više, savladati različite metode integracije i diferencijacije i tek onda početi proučavati materijal opisan u članku.
Neki se iznenade kad saznaju da se dx može prenijeti, jer se ranije (u školi) govorilo da je razlomak dy/dx nedjeljiv. Ovdje morate pročitati literaturu o derivaciji i shvatiti da je to omjer beskonačno malih veličina kojima se može manipulirati prilikom rješavanja jednadžbi.
Mnogi ne shvaćaju odmah da je rješenje diferencijalnih jednadžbi prvog reda često funkcija ili integral koji se ne može uzeti, a ta im zabluda zadaje mnogo problema.
Što se još može proučavati radi boljeg razumijevanja?
Najbolje je započeti daljnje uranjanje u svijet diferencijalnog računa sa specijaliziranim udžbenicima, na primjer, u račun za studente nematematičkih specijalnosti. Zatim možete prijeći na specijaliziraniju literaturu.
Treba reći da, osim diferencijalnih jednadžbi, postoje i integralne jednadžbe, tako da ćete uvijek imati čemu težiti i čemu proučavati.
Zaključak
Nadamo se da nakon čitanjaOvaj vam je članak dao ideju o tome što su diferencijalne jednadžbe i kako ih ispravno riješiti.
U svakom slučaju, matematika će nam nekako biti od koristi u životu. Razvija logiku i pažnju, bez kojih je svaka osoba kao bez ruku.
