Može biti mnogo odgovora na pitanje što je kvadrat. Sve ovisi o tome kome postavljate ovo pitanje. Glazbenik će reći da je trg 4, 8, 16, 32 takta ili jazz improvizacija. Dijete - što je igra s loptom ili dječji časopis. Pisač će vas poslati da proučite veličine tipa, a tehničar će vam poslati vrste metalno valjanih profila.
Postoji mnogo drugih značenja ove riječi, ali danas ćemo postaviti pitanje matematičaru. Dakle…
Ovom figurom ćemo se postupno baviti, od jednostavnog do složenog, i početi s poviješću trga. Kako se pojavio, kako su ga percipirali ljudi, znanstvenici iz različitih zemalja i civilizacija?
Povijest proučavanja kvadrata
Drevni svijet percipira kvadrat, uglavnom kao četiri kardinalne točke. Općenito, unatoč brojnim četverokutima, kvadrat ima glavni broj - četiri. za Asirce iPeruanski trg - cijeli svijet, odnosno predstavlja četiri glavna pravca, kardinalne točke.
Čak je i Svemir predstavljen kao kvadrat, također podijeljen na četiri dijela - to je vizija stanovnika Sjeverne Amerike. Za Kelte je svemir čak tri kvadrata ugniježđena jedan u drugi, a četiri (!) rijeke teku iz središta. A Egipćani su općenito oboženjavali ovu cifru!
Po prvi put, Grci su opisali kvadrat koristeći matematičke formule. Ali za njih je ovaj poligon imao samo negativne karakteristike. Pitagora uopće nije volio parne brojeve, videći u njima slabost i ženstvenost.
Čak i religije imaju kvadrat. U islamu, Kaaba - pupak Zemlje - nema neki sferni, već kubični oblik.
U Indiji, glavni grafem koji prikazuje Zemlju, ili simbol zemlje, bio je prekriženi kvadrat. I opet, govorimo o četiri kardinalne točke, četiri regije Zemlje.
U Kini je trg mir, sklad i red. Kaos je poražen izgradnjom trga Vara. Kvadrat upisan u krug je osnova vizije svijeta, simbolizirajući jedinstvo i povezanost Kosmosa i Zemlje.
Paganska Rusija - Svarog trg. Ovaj simbol se također naziva Svarogova zvijezda ili zvijezda Rusije. Prilično je složen, jer se sastoji od presijecajućih i zatvorenih linija. Svarog je bog-kovač, najvažniji tvorac, tvorac i samo nebo u pogledu Rusa. U ovom simbolu nalazi se romb, koji opet govori o Zemlji i njezina četiri smjera. I zvijezda s četiri zrake - 4 kardinalne točke, 4 lica Svaroga - njegovo sveznanje. A sjecište zraka je ognjište.
Zanimljivo o kvadratu
Najpopularnija fraza koja nam pada na pamet o našem glavnom liku je "Crni kvadrat".
Malevičeva slika je još uvijek vrlo popularna. Samoga autora, nakon njegovog nastanka, dugo je mučilo pitanje što je to i zašto jednostavan crni kvadrat na bijeloj pozadini toliko privlači pažnju na sebe.
Ali ako bolje pogledate, primijetit ćete da ravnina kvadrata nije glatka, a u pukotinama crne boje ima mnogo višebojnih nijansi. Očigledno je u početku postojala određena kompozicija koja se autoru nije svidjela, a on ju je ovom figurom zatvorio od naših očiju. Crni kvadrat je kao ništa - crna rupa, samo čarobnog kvadratnog oblika. A poznato je da praznina privlači…
"Čarobni kvadrati" su također vrlo popularni. Zapravo, ovo je tablica, naravno, kvadrat, ispunjen brojevima u svakom stupcu. Zbroj tih brojeva jednak je u svim recima, stupcima i dijagonalama (pojedinačno). Ako su dijagonale isključene iz jednakosti, kvadrat je polumagičan.
Albrecht Durer je 1514. godine stvorio sliku "Melankolija I", koja prikazuje čarobni kvadrat 4x4. U njemu je zbroj brojeva svih stupaca, redaka, dijagonala pa čak i unutarnjih kvadrata trideset četiri.
Na temelju ovih tablica pojavile su se vrlo zanimljive i popularne zagonetke - "Sudoku".
Egipćani su prvi povukli linije međusobne povezanosti između brojeva (datum rođenja) i kvaliteta karaktera, sposobnosti i talenata osobe. Pitagora je preuzeo ovo znanje, donekle ga preradio ipostavljena u kvadrat. Rezultat je Pitagorin kvadrat.
Ovo je već zaseban smjer u numerologiji. Od datuma rođenja osobe, zbrajanjem se izračunavaju četiri glavna broja koja se stavljaju u psihomatricu (kvadrat). Tako na police izlažu sve tajne podatke o vašoj energiji, zdravlju, talentu, sreći, temperamentu i ostalim stvarima. U prosjeku, prema anketama, pouzdanost je 60% -80%.
Što je kvadrat?
Kvadrat je geometrijski lik. Oblik kvadrata je četverokut koji ima jednake stranice i kutove. Još preciznije, ovaj četverokut se zove regularan.
Kvadrat ima svoje znakove. Ovo je:
- strane jednake po dužini;
- jednaki kutovi - ravno (90 stupnjeva).
Zbog ovih znakova i značajki, krug se može upisati u kvadrat i opisati oko njega. Opisani krug će dodirivati sve svoje vrhove, upisani krug će dodirivati sredine svih svojih stranica. Njihovo središte će se podudarati sa središtem kvadrata i podijelit će sve njegove dijagonale na pola. Potonji su, pak, međusobno jednaki i dijele kutove kvadrata na jednake dijelove.
Jedna dijagonala dijeli kvadrat na dva jednakokračna trokuta, oba na četiri.
Dakle, ako je duljina stranice kvadrata t, duljina polumjera opisane kružnice je R, a upisane kružnice r, tada
površina baze kvadrata, ili površina kvadrata (S) bit će jednaka S=t2=2R 2=4r 2;
opseg kvadrata P treba izračunati pomoću formule P=4t=4√2R=8r;
duljina radijusa opisane kružnice R=(√2/2)t;
upisano - r=t/2
Površinu osnove kvadrata također se može izračunati poznavajući njegovu stranu (a) ili duljinu njegove dijagonale (c), tada će formule izgledati u skladu s tim: S=a 2 iS=1/2c2.
Što je kvadrat, saznali smo. Pogledajmo pobliže detalje, jer je kvadratni lik najsimetričniji četverokut. Ima pet osi simetrije, od kojih jedna (četvrtog reda) prolazi središtem i okomita je na ravninu samog kvadrata, a ostale četiri su osi simetrije drugog reda, od kojih su dvije paralelne s stranice, a još dvije prolaze kroz dijagonale kvadrata.
Metode za izgradnju kvadrata
Na temelju definicija, čini se da nema ničeg lakšeg od izgradnje običnog kvadrata. To je točno, ali pod uvjetom da imate sav mjerni alat. Što ako nešto nema na skladištu?
Pogledajmo postojeće načine koji će nam pomoći da izgradimo ovaj oblik.
Mjerno ravnalo i kvadrat glavni su alati pomoću kojih možete najlakše nacrtati kvadrat.
Prvo označite točku, recimo A, od nje ćemo izgraditi bazu kvadrata.
Upotrebom ravnala postavite udaljenost od njega udesno jednaku duljini stranice, recimo 30 mm, i stavite točku B.
Sada iz obje točke, koristeći kvadrat, nacrtajte okomice od 30 mm svaka. Na krajeve okomica stavljamo točke C i D koje međusobno povezujemoravnalo - to je to, kvadrat ABCD sa stranom od 30 mm je spreman!
Prilično je lako napraviti kvadrat s ravnalom i kutomjerom. Počnite, kao u prethodnom slučaju, od točke, recimo H, odvojite od nje horizontalni segment, na primjer 50 mm. Točka O.
Sada spojite središte kutomjera s točkom H, stavite oznaku na vrijednost kuta 900, napravite okomiti segment od 50 mm kroz njega i točku H, stavite točku P na njegov kraj. Zatim na sličan način konstruirajte treći segment od točke O pod kutom od 900 jednakim 50 mm, neka završava točkom P. Spojite točke P i P. Imate kvadrat od NORP-a s duljinom stranice od 50 mm.
Možete izgraditi kvadrat koristeći samo šestar i ravnalo. Ako vam je važna veličina kvadrata i poznata je duljina stranice, trebat će vam i kalkulator.
Dakle, stavite prvu točku E - ona će biti iz vrhova kvadrata. Zatim označite mjesto gdje će se nalaziti suprotni vrh W, odnosno stajati dijagonalu HJ vaše figure. Ako gradite kvadrat veličine, a zatim imate duljinu stranice, izračunajte duljinu dijagonale koristeći formulu:
d=√2a, gdje je a duljina stranice.
Nakon što znate duljinu dijagonale, konstruirajte segment EŽ ove vrijednosti. Iz točke E, koristeći šestar u smjeru točke F, nacrtajte polukrug polumjera EJ. I obrnuto, od točke F - polukrug prema točki E, polumjera ISTOG. Kroz točke sjecišta ovih polukrugova, pomoću ravnala, izgradite segment ZI. Jež i ZI sijeku se pod pravim kutom i dijagonale su budućeg kvadrata. Spajanjem točaka EI, IZH, ZHZ i ZEpomoću ravnala dobit ćete upisani kvadrat EIHZ-a.
Još uvijek je moguće izgraditi kvadrat s jednim ravnalom. Što je kvadrat? Ovo je presjek ravnine omeđen segmentima koji se sijeku (pravci, zrake). Stoga možemo konstruirati kvadrat iz koordinata njegovih vrhova. Prvo nacrtajte koordinatne osi. Stranice kvadrata mogu ležati na njima, ili će se središte sjecišta dijagonala poklopiti s točkom podrijetla - ovisi o vašoj želji ili uvjetima problema. Možda će vaša figura biti udaljena od osi. U svakom slučaju, prvo označite dvije točke brojčanim vrijednostima (proizvoljno ili uvjetno), tada ćete znati duljinu stranice kvadrata. Sada možete izračunati koordinate preostala dva vrha, ne zaboravite da su stranice kvadrata jednake i međusobno paralelne u paru. Posljednji korak je povezivanje svih točkica u nizu jedne s drugima pomoću ravnala.
Što su kvadrati?
Kvadrat je lik koji je jasno definiran i strogo ograničen svojim definicijama, tako da se vrste kvadrata ne razlikuju po raznolikosti.
U neeuklidskoj geometriji kvadrat se percipira šire - to je četverokut s jednakim stranicama i kutovima, ali stupanj kutova nije postavljen. To znači da kutovi mogu biti 120 stupnjeva ("konveksni" kvadrat) i, na primjer, 72 stupnja ("konkavni" kvadrat).
Ako geometar ili informatičar pitate što je kvadrat, oni će vam odgovoriti da je to potpun ili planarni graf (grafovi od K1 do K4). I toapsolutno pošteno. Graf ima vrhove i bridove. Kada formiraju uređeni par, formira se graf. Broj vrhova je redoslijed grafa, broj bridova je njegova veličina. Dakle, kvadrat je planarni graf s četiri vrha i šest bridova, ili K4:6.
Kvadratna strana
Jedan od glavnih uvjeta za postojanje kvadrata - prisutnost jednakih stranica po duljini - čini stranicu vrlo važnom za razne izračune. Ali u isto vrijeme, daje mnogo načina za izračunavanje duljine stranice kvadrata u prisutnosti raznih ulaznih podataka.
Pa kako pronaći stranu kvadrata?
- Ako znate samo duljinu dijagonale kvadrata d, tada možete izračunati stranu koristeći sljedeću formulu: a=d/√2.
- Promjer upisane kružnice jednak je strani kvadrata i, prema tome, dva radijusa, odnosno: a=D=2R.
- Polumjer opisane kružnice također vam može pomoći da izračunate koja je stranica kvadrata. Promjer D možemo saznati iz polumjera R, koji je, pak, jednak dijagonali kvadrata d, a već znamo formulu za stranu kvadrata kroz dijagonalu: a=D/√2=d/√2=2R/√2.
- Iz jednakosti strana slijedi da možete pronaći stranu kvadrata (a) koristeći njegov opseg P ili područje S: a=√S=P/4.
- Ako znamo duljinu linije koja izlazi iz kuta kvadrata i prelazi sredinu njegove susjedne stranice C, tada ćemo također moći saznati koja je duljina stranice kvadrata kvadrat: a=2C/√5.
Postoji toliko načina da saznate tako važan parametar kao što je duljina stranice kvadrata.
Kvadratni volumen
Sam izraz je apsurdan. Što je kvadrat? Ovo je ravna figura koja ima samo dva parametra - duljinu i širinu. A glasnoća? Ovo je kvantitativna karakteristika prostora koji predmet zauzima, odnosno može se izračunati samo za volumetrijska tijela.
3D tijelo, čija su sva lica kvadrati - kocka. Unatoč kolosalnoj i temeljnoj razlici, školarci često pokušavaju izračunati volumen kvadrata. Ako netko uspije, Nobelova nagrada je zajamčena.
A da biste saznali volumen kocke V, dovoljno je pomnožiti sva tri njezina ruba - a, b, c: V=abc. A budući da su jednaki po definiciji, formula može izgledati drugačije: V=a3.
Količine, dijelovi i specifikacije
Kvadrat, kao i svaki poligon, ima vrhove - to su točke u kojima se njegove stranice sijeku. Vrhovi kvadrata leže na kružnici koja je opisana oko njega. Dijagonala prolazi kroz vrh do središta kvadrata, koji je također simetrala i polumjer opisane kružnice.
Budući da je kvadrat ravna figura, nemoguće je secirati i konstruirati presjek kvadrata. Ali to može biti rezultat presjeka mnogih trodimenzionalnih tijela ravninom. Na primjer, cilindar. Aksijalni presjek cilindra je pravokutnik ili kvadrat. Čak i kada se tijelo siječe s ravninom pod proizvoljnim kutom, može ispasti kvadrat!
Ali kvadrat ima drugu vezu s dijelom, ali ne s bilo kojim, već sa zlatnim rezom.
Svi znamo da je zlatni omjer omjer u kojem je jedna vrijednost povezana s drugom na isti način kaonjihov zbroj na veću vrijednost. U generaliziranim postotcima, to izgleda ovako: izvorna vrijednost (iznos) podijeljena je sa 62 i 38 posto.
Zlatni omjer je vrlo popularan. Koristi se u dizajnu, arhitekturi, bilo gdje, čak i u gospodarstvu. Ali ovo je daleko od jedinog omjera koji je izveo Pitagora. Postoji, na primjer, još jedan izraz "√2". Na njegovoj osnovi grade se dinamički pravokutnici, koji su zauzvrat osnivači formata A grupe (A6, A5, A4 itd.). Zašto govorimo o dinamičkim pravokutnicima? Jer njihova konstrukcija počinje kvadratom.
Da, prvo morate izgraditi kvadrat. Njegova će strana biti jednaka manjoj strani budućeg pravokutnika. Zatim je potrebno nacrtati dijagonalu ovog kvadrata i pomoću šestara odvojiti duljinu ove dijagonale na nastavku stranice kvadrata. Od točke dobivene na raskrižju gradimo pravokutnik, za koji opet gradimo dijagonalu i odvajamo njezinu duljinu na nastavku stranice. Ako nastavite raditi prema ovoj shemi, dobit ćete iste dinamičke pravokutnike.
Omjer duge stranice prvog pravokutnika i kratke stranice bit će 0,7. To je gotovo 0,68 u zlatnom omjeru.
Kvadratni kutovi
Zapravo, već je teško reći nešto svježe o uglovima. Sva svojstva, oni su znakovi kvadrata, naveli smo. Što se tiče kutova, ima ih četiri (kao u svakom četverokutu), svaki kut u kvadratu je pravi, odnosno ima veličinu od devedeset stupnjeva. A-priorat,postoji samo pravokutni kvadrat. Ako su uglovi veći ili manji, ovo je drugi oblik.
Diagonale kvadrata dijele njegove kutove na pola, odnosno simetrale su.
Kvadratna jednadžba
Ako je potrebno izračunati vrijednost različitih veličina kvadrata (površine, opsega, duljine stranica ili dijagonala), koristite različite jednadžbe koje su izvedene iz svojstava kvadrata, osnovnih zakona i pravila geometrije.
1. Jednadžba kvadratne površine
Iz jednadžbi za izračunavanje površine četverokuta znamo da je ona (površina) jednaka umnošku duljine i širine. A budući da su stranice kvadrata iste duljine, tada će njegova površina biti jednaka duljini bilo koje stranice podignute na drugi stepen
S=a2.
Upotrebom Pitagorinog teorema možemo izračunati površinu kvadrata s obzirom na duljinu njegove dijagonale.
S=d2/2.
2. Jednadžba kvadratnog perimetra
Obim kvadrata, kao i svih četverokuta, jednak je zbroju duljina njegovih stranica, a budući da su sve iste, možemo reći da je opseg kvadrata jednak duljini strana pomnožena s četiri
P=a+a+a+a=4a.
Opet, Pitagorin teorem će nam pomoći pronaći perimetar kroz dijagonalu. Trebate pomnožiti vrijednost duljine dijagonale s dva korijena od dva
P=2√2d
3. Jednadžba kvadratne dijagonale
Diagonale kvadrata su jednake, sijeku se pod pravim kutom i prepolovi točku presjeka.
Možete ih pronaći na temelju gornjih jednadžbi za područje i opseg kvadrata
d=√2a, d=√2S,d=P/2√2
Postoje i drugi načini da saznate koja je duljina dijagonale kvadrata. Polumjer kružnice upisane u kvadrat jednak je polovici njegove dijagonale, dakle
d=√2D=2√2R, gdje je D promjer, a R polumjer upisane kružnice.
Poznavajući polumjer opisane kružnice, još je lakše izračunati dijagonalu, jer je to promjer, odnosno d=D=2R.
Također je moguće izračunati duljinu dijagonale, znajući duljinu linije koja se proteže od ugla do središta stranice kvadrata C: d=√8/5C.
Ali ne zaboravite da je kvadrat presjek ravnine omeđen s četiri linije koje se sijeku.
Postoji dovoljno jednadžbi za linije (i figure koje se njima formiraju) kojima nije potreban dodatni opis, ali je linija beskonačna. A poligoni su ograničeni presjekom linija. Za njih možete koristiti linearne jednadžbe kombinirane u sustav koji definira ravne linije. Ali potrebno je navesti dodatne parametre, uvjete.
Za definiranje poligona potrebno je sastaviti jednadžbu koja ne bi opisala liniju, već zaseban proizvoljni segment bez intervencije dodatnih uvjeta i opisa.
[x/xi][xi/x]yi - ovdje je posebna jednadžba za poligone.
Uglate zagrade u njemu označavaju uvjet za izuzimanje razlomka broja, odnosno moramo ostaviti samo cijeli broj. yi - funkcija koja će se izvršiti u rasponu parametara od x do xi.
Upotrebom ove jednadžbe možemo izvesti novujednadžbe za izračunavanje odsječaka i linija koje se sastoje od više segmenata. Osnovni je, univerzalan za poligone.
Zapamtite da je kvadrat dio ravnine, pa se njegov opis poput y=f(x) može predstaviti, najčešće, samo kao viševrijedna funkcija, koja se pak može izraziti u termini jednovrijednih funkcija ako su predstavljeni parametarski, tj. ovisno o nekom parametru t:
x=f(t), y=f(t).
Dakle, ako zajedno koristite univerzalnu jednadžbu i parametarski prikaz, zapravo možete izvesti jednadžbu za izražavanje poligona:
x=((A2+A3)A5+A4P)Cos(L)
y=((A1+A4)A5+A3P)Sin(L), gdje
A1=[1/[T/P][T/P]; A2=[2/[T/P][T/P]/2]; A3=[3/[T/P][T/P]/3]; A4=[4/[T/P][T/P]/4]; A5=T-P[T/P], gdje je P dijagonala pravokutnika, L je kut nagiba prema horizontali dijagonale P, T je parametar u rasponu od P do 5P.
Ako je L=3, 14/4, tada će jednadžba opisivati kvadrate različitih veličina, ovisno o veličini dijagonale P.
Primjena kvadrata
U suvremenom svijetu tehnologija omogućuje različitim materijalima davanje kvadratnog oblika, točnije kvadratnog presjeka.
Na mnogo načina je isplativije, jeftinije, izdržljivije i sigurnije. Dakle, sada izrađuju četvrtaste cijevi, pilote, žice (žice) pa čak i četvrtaste niti.
Glavne prednosti su očite, dolaze iz elementarne geometrije. Uz istu veličinu, površina upisane kružnice manja je od površine kvadrata u koji je upisana, dakle,propusnost četvrtaste cijevi ili energetski sadržaj četvrtaste žice bit će veći nego kod okruglih cijevi.
Potrošni materijali kvadratnog presjeka često su estetski ugodniji i praktičniji za korištenje, montiranje, montiranje.
Prilikom odabira ovih materijala važno je pravilno izračunati poprečni presjek kvadrata kako bi žica ili cijev mogla izdržati potrebno opterećenje. U svakom pojedinom slučaju, naravno, bit će potrebni parametri kao što su jačina struje ili tlak, ali ne može se bez osnovnih geometrijskih pravila kvadrata. Iako se dimenzije kvadratnih presjeka više ne izračunavaju toliko, koliko se biraju prema zadanim parametrima iz tablica utvrđenih GOST-ovima za različite industrije.
