Tijelo bačeno pod kutom prema horizontu: vrste putanja, formule

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Svatko od nas je bacao kamenje u nebo i promatrao putanju njihovog pada. Ovo je najčešći primjer gibanja krutog tijela u polju gravitacijskih sila našeg planeta. U ovom članku razmotrit ćemo formule koje mogu biti korisne za rješavanje problema o slobodnom kretanju tijela bačenog na horizont pod kutom.

Koncept kretanja prema horizontu pod kutom

Kada se nekom čvrstom objektu zada početna brzina i počne dobivati visinu, a zatim opet padati na tlo, općenito je prihvaćeno da se tijelo kreće paraboličnom putanjom. Zapravo, rješenje jednadžbi za ovu vrstu gibanja pokazuje da je pravac koju opisuje tijelo u zraku dio elipse. Međutim, za praktičnu upotrebu, parabolička aproksimacija se pokazala prilično zgodnom i dovodi do točnih rezultata.

Primjeri kretanja tijela bačenog pod kutom prema horizontu su ispaljivanje projektila iz topovske otvore, udaranje lopte, pa čak i skakanje kamenčića po površini vode ("žabe"), koji su održanogmeđunarodna natjecanja.

Vrstu kretanja pod kutom proučava balistika.

Svojstva razmatrane vrste kretanja

Kada se razmatra putanja tijela u polju Zemljinih gravitacijskih sila, istinite su sljedeće tvrdnje:

• znajući početnu visinu, brzinu i kut prema horizontu, možete izračunati cijelu putanju;
• kut odlaska jednak je kutu upada tijela, pod uvjetom da je početna visina nula;
• okomito kretanje se može smatrati neovisno o horizontalnom kretanju;

Imajte na umu da ova svojstva vrijede ako je sila trenja tijekom leta tijela zanemariva. U balistici, kada se proučava let projektila, uzimaju se u obzir mnogi različiti čimbenici, uključujući trenje.

Vrste paraboličkog kretanja

Ovisno o visini s koje pokret počinje, na kojoj visini završava i kako je usmjerena početna brzina, razlikuju se sljedeće vrste paraboličkog kretanja:

• Potpuna parabola. U ovom slučaju, tijelo je izbačeno s površine zemlje i ono pada na tu površinu, opisujući potpunu parabolu.
• Pola parabole. Takav graf gibanja tijela promatra se ako je bačeno s određene visine h, usmjeravajući brzinu v paralelno s horizontom, odnosno pod kutom θ=0^o.
• Dio parabole. Takve putanje nastaju kada je tijelo bačeno pod nekim kutom θ≠0^o, a razlikapočetna i završna visina također nisu nula (h-h₀≠0). Većina putanja kretanja objekata je ovog tipa. Na primjer, udarac iz topa koji stoji na brdu, ili košarkaš koji baca loptu u koš.

Grafikon kretanja tijela koji odgovara punoj paraboli prikazan je iznad.

Obvezne formule za izračun

Dajmo formule za opisivanje gibanja tijela bačenog pod kutom prema horizontu. Zanemarujući silu trenja, a uzimajući u obzir samo silu gravitacije, možemo napisati dvije jednadžbe za brzinu objekta:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Budući da je gravitacija usmjerena okomito prema dolje, ona ne mijenja horizontalnu komponentu brzine v_x, tako da u prvoj jednakosti nema ovisnosti o vremenu. Na komponentu v_y, pak, utječe gravitacija, što daje g ubrzanje tijelu usmjerenom prema tlu (otuda znak minus u formuli).

Sada napišimo formule za promjenu koordinata tijela bačenog pod kutom prema horizontu:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Početna koordinata x₀često se pretpostavlja da je nula. Koordinata y₀ nije ništa drugo nego visina h s koje je tijelo bačeno (y₀=h).

Sada izrazimo vrijeme t iz prvog izraza i zamijenimo ga drugim, dobivamo:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

Ovaj izraz u geometriji odgovara paraboli čije su grane usmjerene prema dolje.

Gore su jednadžbe dovoljne za određivanje bilo koje karakteristike ove vrste kretanja. Dakle, njihovo rješenje dovodi do činjenice da se maksimalni domet leta postiže ako je θ=45^o, dok se maksimalna visina na koju se izbačeno tijelo diže postiže kada je θ=90o.