Pri proučavanju mehaničkog gibanja u fizici, nakon upoznavanja s ujednačenim i jednoliko ubrzanim kretanjem objekata, pristupaju razmatranju gibanja tijela pod kutom prema horizontu. U ovom članku ćemo detaljnije proučiti ovo pitanje.
Koliko je gibanje tijela pod kutom prema horizontu?
Ova vrsta kretanja objekta događa se kada osoba baci kamen u zrak, top ispali topovsku loptu ili vratar izbaci nogometnu loptu iz gola. Sve takve slučajeve razmatra znanost balistike.
Zapažena vrsta kretanja objekata u zraku događa se duž paraboličke putanje. U općem slučaju, provođenje odgovarajućih proračuna nije lak zadatak, jer je potrebno uzeti u obzir otpor zraka, rotaciju tijela tijekom leta, rotaciju Zemlje oko svoje osi i neke druge čimbenike.
U ovom članku nećemo uzeti u obzir sve ove čimbenike, već ćemo to pitanje razmotriti s čisto teorijske točke gledišta. Međutim, dobivene formule su prilično dobreopišite putanje tijela koja se kreću na kratkim udaljenostima.
Dobivanje formula za razmatranu vrstu kretanja
Izvedimo formule za kretanje tijela prema horizontu pod kutom. U ovom slučaju ćemo uzeti u obzir samo jednu jedinu silu koja djeluje na leteći objekt – gravitaciju. Budući da djeluje okomito prema dolje (paralelno s y-osi i protiv nje), onda, s obzirom na horizontalnu i vertikalnu komponentu kretanja, možemo reći da će prva imati karakter jednoličnog pravocrtnog kretanja. A drugo - jednako sporo (jednako ubrzano) pravolinijsko kretanje s ubrzanjem g. Odnosno, komponente brzine kroz vrijednost v0 (početna brzina) i θ (kut smjera kretanja tijela) bit će zapisane na sljedeći način:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ)-gt
Prva formula (za vx) uvijek vrijedi. Što se tiče drugog, ovdje treba napomenuti jednu nijansu: znak minus ispred umnoška gt stavlja se samo ako je vertikalna komponenta v0sin(θ) usmjerena prema gore. U većini slučajeva to se događa, međutim, ako bacite tijelo s visine, usmjereno prema dolje, tada u izrazu za vy trebate staviti znak "+" ispred g t.
Integrirajući formule za komponente brzine tijekom vremena, i uzimajući u obzir početnu visinu h leta tijela, dobivamo jednadžbe za koordinate:
x=v0cos(θ)t
y=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Izračunajte domet leta
Kada se u fizici razmatra kretanje tijela prema horizontu pod kutom korisnim za praktičnu upotrebu, ispada da se izračuna domet leta. Hajdemo to definirati.
Budući da je ovo kretanje jednoliko kretanje bez ubrzanja, dovoljno je u njega zamijeniti vrijeme leta i dobiti željeni rezultat. Domet leta određen je isključivo kretanjem duž x-osi (paralelno s horizontom).
Vrijeme dok je tijelo u zraku može se izračunati izjednačavanjem y koordinate s nulom. Imamo:
0=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Ova kvadratna jednadžba je riješena preko diskriminanta, dobivamo:
D=b2- 4ac=v02sin 2(θ) - 4(-g/2)h=v02 sin2(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v0sin(θ)±√(v0 2sin2(θ) + 2gh))/(-2g/2)=
=(v0sin(θ)+√(v02 sin2(θ) + 2gh))/g.
U posljednjem izrazu, jedan korijen sa predznakom minus je odbačen, zbog njegove beznačajne fizičke vrijednosti. Zamjenom vremena leta t u izraz za x, dobivamo raspon leta l:
l=x=v0cos(θ)(v0sin(θ)+√(v 02sin2(θ) + 2gh))/g.
Najlakši način za analizu ovog izraza je ako je početna visinajednaka je nuli (h=0), tada dobivamo jednostavnu formulu:
l=v 02sin(2θ)/g
Ovaj izraz pokazuje da se maksimalni domet leta može postići ako se tijelo baci pod kutom od 45o(sin(245o )=m1).
Maksimalna tjelesna visina
Osim dometa leta, također je korisno pronaći visinu iznad tla na koju se tijelo može uzdići. Budući da je ova vrsta kretanja opisana parabolom, čije su grane usmjerene prema dolje, maksimalna visina dizanja je njezin ekstrem. Potonji se izračunava rješavanjem jednadžbe za derivaciju s obzirom na t za y:
dy/dt=d(h+v0sin(θ)t-gt2/2)/dt=v0sin(θ)-gt=0=>
=>t=v0sin(θ)/g.
Zamijeni ovaj put u jednadžbu za y, dobivamo:
y=h+v0sin(θ)v0sin(θ)/g-g(v 0sin(θ)/g)2/2=h + v0 2sin2(θ)/(2g).
Ovaj izraz označava da će se tijelo podići na maksimalnu visinu ako se baci okomito prema gore (sin2(90o)=1).
