Kompleksni brojevi: definicija i osnovni pojmovi

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Prilikom proučavanja svojstava kvadratne jednadžbe postavljeno je ograničenje - za diskriminant manji od nule, nema rješenja. Odmah je propisano da je riječ o skupu realnih brojeva. Znatiželjni um matematičara će se zanimati - koja je tajna sadržana u klauzuli o stvarnim vrijednostima?

S vremenom su matematičari uveli koncept kompleksnih brojeva, gdje se uvjetna vrijednost drugog korijena od minus jedan uzima kao jedinica.

Povijesna pozadina

Matematička teorija se razvija uzastopno, od jednostavnog do složenog. Hajdemo shvatiti kako je nastao koncept nazvan "kompleksni broj" i zašto je potreban.

Od pamtivijeka, osnova matematike bila je uobičajena računica. Istraživači su poznavali samo prirodni skup vrijednosti. Zbrajanje i oduzimanje bili su jednostavni. Kako su ekonomski odnosi postali složeniji, umjesto zbrajanja istih vrijednosti počelo se koristiti množenje. Postoji obrnuta operacija zamnoženje - dijeljenje.

Koncept prirodnog broja ograničio je upotrebu aritmetičkih operacija. Nemoguće je riješiti sve probleme dijeljenja na skupu cjelobrojnih vrijednosti. Rad s razlomcima doveo je prvo do koncepta racionalnih vrijednosti, a potom i do iracionalnih vrijednosti. Ako je za racionalno moguće naznačiti točan položaj točke na liniji, onda je za iracionalno nemoguće naznačiti takvu točku. Možete samo aproksimirati interval. Unija racionalnih i iracionalnih brojeva tvorila je pravi skup, koji se može predstaviti kao određena crta s zadanim mjerilom. Svaki korak duž linije je prirodan broj, a između njih su racionalne i iracionalne vrijednosti.

Počelo je doba teorijske matematike. Razvoj astronomije, mehanike, fizike zahtijevao je rješavanje sve složenijih jednadžbi. Općenito, pronađeni su korijeni kvadratne jednadžbe. Prilikom rješavanja složenijeg kubnog polinoma znanstvenici su naišli na proturječnost. Koncept kubnog korijena iz negativa ima smisla, ali za kvadratni korijen se dobiva nesigurnost. Štoviše, kvadratna je jednadžba samo poseban slučaj kubične.

Godine 1545. Talijan J. Cardano predložio je uvođenje koncepta imaginarnog broja.

Ovaj broj je drugi korijen od minus jedan. Pojam kompleksni broj konačno je formiran tek tristo godina kasnije, u djelima poznatog matematičara Gaussa. Predložio je formalno proširenje svih zakona algebre na imaginarni broj. Prava linija je proširena naavioni. Svijet je veći.

Osnovni koncepti

Prisjetite se brojnih funkcija koje imaju ograničenja na pravi skup:

• y=arcsin(x), definirano između negativnog i pozitivnog 1.
• y=ln(x), decimalni logaritam ima smisla s pozitivnim argumentima.
• kvadratni korijen y=√x, izračunato samo za x ≧ 0.

Označavajući i=√(-1), uvodimo takav koncept kao imaginarni broj, što će ukloniti sva ograničenja iz domene definicije gornjih funkcija. Izrazi poput y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) imaju smisla u nekom prostoru kompleksnih brojeva.

Algebarski oblik se može napisati kao izraz z=x + i×y na skupu realnih x i y vrijednosti, i i² =-1.

Novi koncept uklanja sva ograničenja u korištenju bilo koje algebarske funkcije i nalikuje grafu ravne linije u koordinatama stvarnih i imaginarnih vrijednosti.

Složena ravnina

Geometrijski oblik kompleksnih brojeva vizualno nam omogućuje da predstavimo mnoga njihova svojstva. Na osi Re(z) označavamo realne x vrijednosti, na Im(z) - imaginarne vrijednosti y, tada će točka z na ravnini prikazati traženu kompleksnu vrijednost.

Definicije:

• Re(z) - realna os.
• Im(z) - znači imaginarnu os.
• z - uvjetna točka kompleksnog broja.
• Poziva se brojčana vrijednost duljine vektora od nule do zmodul.
• Realne i imaginarne osi dijele ravninu na četvrtine. Uz pozitivnu vrijednost koordinata - I četvrtina. Kada je argument realne osi manji od 0, a imaginarne osi veći od 0 - II kvart. Kada su koordinate negativne - III kvart. Posljednje, četvrto tromjesečje sadrži mnogo pozitivnih stvarnih vrijednosti i negativnih imaginarnih vrijednosti.

Dakle, na ravnini s vrijednostima koordinata x i y, uvijek se može vizualizirati točka kompleksnog broja. Znak i se uvodi kako bi se odvojio pravi dio od imaginarnog.

Svojstva

1. Kada je vrijednost imaginarnog argumenta nula, dobivamo samo broj (z=x), koji se nalazi na realnoj osi i pripada stvarnom skupu.
2. Poseban slučaj kada vrijednost stvarnog argumenta postane nula, izraz z=i×y odgovara položaju točke na imaginarnoj osi.
3. Opći oblik z=x + i×y bit će za vrijednosti argumenata koji nisu nula. Označava mjesto točke koja karakterizira kompleksni broj u jednoj od četvrtina.

trigonometrijska notacija

Prisjetite se polarnog koordinatnog sustava i definicije trigonometrijskih funkcija sin i cos. Očito je da je uz pomoć ovih funkcija moguće opisati položaj bilo koje točke na ravnini. Da biste to učinili, dovoljno je znati duljinu polarnog snopa i kut nagiba prema realnoj osi.

Definicija. Unos oblika ∣z ∣ pomnožen zbrojem trigonometrijskih funkcija cos(ϴ) i imaginarnog dijela i ×sin(ϴ) naziva se trigonometrijski kompleksni broj. Ovdje je oznaka kut nagiba prema realnoj osi

ϴ=arg(z) i r=∣z∣, duljina snopa.

Iz definicije i svojstava trigonometrijskih funkcija, slijedi vrlo važna Moivreova formula:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Upotrebom ove formule prikladno je riješiti mnoge sustave jednadžbi koje sadrže trigonometrijske funkcije. Pogotovo kada se pojavi problem uzdizanja na potenciju.

Modul i faza

Da bismo dovršili opis složenog skupa, predlažemo dvije važne definicije.

Poznavajući Pitagorin teorem, lako je izračunati duljinu snopa u polarnom koordinatnom sustavu.

r=∣z∣=√(x² + y²), takav zapis na kompleksnom prostoru naziva se " modul" i karakterizira udaljenost od 0 do točke na ravnini.

Ugao nagiba kompleksne zrake prema realnoj liniji ϴ se obično naziva faza.

Definicija pokazuje da su stvarni i imaginarni dijelovi opisani pomoću cikličkih funkcija. Naime:

• x=r × cos(ϴ);
• y=r × sin(ϴ);

Obrnuto, faza je povezana s algebarskim vrijednostima putem formule:

ϴ=arktan(x / y) + µ, korekcija µ se uvodi kako bi se uzela u obzir periodičnost geometrijskih funkcija.

Eulerova formula

Matematičari često koriste eksponencijalni oblik. Kompleksni brojevi ravnina zapisuju se kao izrazi

z=r × e^i×ϴ , što slijedi iz Eulerove formule.

Ovaj zapis se široko koristi za praktično izračunavanje fizičkih veličina. Oblik prezentacije u oblikuEksponencijalni kompleksni brojevi posebno su prikladni za inženjerske proračune, gdje je potrebno izračunati strujne krugove sa sinusoidnim strujama te je potrebno znati vrijednost integrala funkcija s zadanim periodom. Sami proračuni služe kao alat u dizajnu raznih strojeva i mehanizama.

Definiraj operacije

Kao što je već napomenuto, svi algebarski zakoni rada s osnovnim matematičkim funkcijama primjenjuju se na kompleksne brojeve.

Operacija zbroja

Prilikom dodavanja složenih vrijednosti, dodaju se i njihovi stvarni i imaginarni dijelovi.

z=z₁ + z₂ gdje je z₁ i z2 _{- opći kompleksni brojevi. Transformacijom izraza, nakon otvaranja zagrada i pojednostavljenja zapisa, dobivamo pravi argument x=(x}1 _{+ x}2_{), imaginarni argument y=(y 1} + y₂).

Na grafu izgleda kao zbrajanje dva vektora, prema dobro poznatom pravilu paralelograma.

Operacija oduzimanja

Smatra se posebnim slučajem zbrajanja, kada je jedan broj pozitivan, drugi negativan, odnosno nalazi se u zrcalnoj četvrtini. Algebarski zapis izgleda kao razlika između stvarnih i imaginarnih dijelova.

z=z₁ - z₂, ili, uzimajući u obzir vrijednosti argumenata, slično kao sabiranje operaciju, dobivamo za realne vrijednosti x=(x₁ - x₂) i imaginarne y=(y₁- y₂).

Množenje na kompleksnoj ravni

Upotrebom pravila za rad s polinomima izvodimo formuluriješiti kompleksne brojeve.

Slijedeći opća algebarska pravila z=z₁×z₂, opišite svaki argument i navedite slične. Stvarni i imaginarni dijelovi mogu se napisati ovako:

• x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
• y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

Izgleda ljepše ako koristimo eksponencijalne kompleksne brojeve.

Izraz izgleda ovako: z=z₁ × z₂ =r₁ × e^iϴ1 × r₂ × eiϴ2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ1+ϴ2).

Dalje jednostavno, moduli se množe i faze se dodaju.

Divizija

Kada se operacija dijeljenja smatra inverznom od množenja, dobivamo jednostavan izraz u eksponencijalnom zapisu. Dijeljenje vrijednosti z₁ sa z₂ rezultat je dijeljenja njihovih modula i fazne razlike. Formalno, kada se koristi eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva, to izgleda ovako:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ^iϴ1 / r₂ × e^{i ϴ2}=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

U obliku algebarske notacije, operacija dijeljenja brojeva kompleksne ravnine napisana je malo kompliciranije:

z=z₁ / z_2.

Opisujući argumente i izvodeći polinomske transformacije, lako je dobiti vrijednostix=x₁ × x₂ + y₁ × y₂, odnosno y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ , međutim, unutar opisanog prostora, ovaj izraz ima smisla ako z₂ ≠ 0.

Izvucite korijen

Sve gore navedeno može se primijeniti kod definiranja složenijih algebarskih funkcija - podizanje na bilo koji stepen i obrnuto od njega - izdvajanje korijena.

Koristeći opći koncept dizanja na stepen n, dobivamo definiciju:

zⁿ =(r × e^iϴ).

Koristeći uobičajena svojstva, prepišite kao:

zⁿ =rⁿ × e^iϴ.

Dobili smo jednostavnu formulu za podizanje složenog broja na stepen.

Iz definicije stupnja dobivamo vrlo važnu posljedicu. Parna snaga imaginarne jedinice je uvijek 1. Bilo koja neparna snaga imaginarne jedinice je uvijek -1.

Sada proučimo inverznu funkciju - vađenje korijena.

Radi lakšeg označavanja, uzmimo n=2. Kvadratni korijen w kompleksne vrijednosti z na kompleksnoj ravnini C smatra se izrazom z=±, koji vrijedi za svaki stvarni argument veći ili jednak nula. Za w ≦ 0, ne postoji rješenje.

Pogledajmo najjednostavniju kvadratnu jednadžbu z² =1. Koristeći složene brojeve brojeva, prepišite r² × e^i2ϴ =r² × e^i2ϴ=ei0^{. Iz zapisa se može vidjeti da je r}2 ^{=1 i ϴ=0, dakle, imamo jedinstveno rješenje jednako 1. Ali to je u suprotnosti s pojmom da z=-1 također odgovara definiciji kvadratnog korijena.}

Shvatimo što ne uzimamo u obzir. Ako se prisjetimo trigonometrijskog zapisa, tada vraćamo tvrdnju - s periodičnom promjenom faze ϴ, kompleksni broj se ne mijenja. Neka p označava vrijednost razdoblja, tada imamo r² × e^i2ϴ =ei(0+p)^{, odakle je 2ϴ=0 + p, ili ϴ=p / 2. Stoga, e}i0 ^{=1 i e}i^p/2 =-1. Dobili smo drugo rješenje, koje odgovara općem shvaćanju kvadratnog korijena.

Dakle, da bismo pronašli proizvoljan korijen kompleksnog broja, slijedit ćemo postupak.

• Napišite eksponencijalni oblik w=∣w∣ × e^i(arg (w) + pk), k je proizvoljan cijeli broj.
• Željeni broj je također predstavljen u Eulerovom obliku z=r × e^iϴ.
• Koristite opću definiciju funkcije vađenja korijena r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i(arg(w) + pk).
• Iz općih svojstava jednakosti modula i argumenata, pišemo rⁿ =∣w∣ i nϴ=arg (w) + p×k.
• Konačni zapis korijena kompleksnog broja opisan je formulom z=√∣w∣ × e^{i ( arg} (w) + pk ^{) /} .
• Napomena. Vrijednost ∣w∣, po definiciji,je pozitivan realan broj, tako da korijen svakog stupnja ima smisla.

Polje i konjugacija

Zaključno, dajemo dvije važne definicije koje su od male važnosti za rješavanje primijenjenih problema s kompleksnim brojevima, ali su bitne za daljnji razvoj matematičke teorije.

Rečeno je da izrazi za zbrajanje i množenje tvore polje ako zadovoljavaju aksiome za bilo koji element kompleksne ravni z:

1. Složeni zbroj se ne mijenja zbog promjene mjesta složenih pojmova.
2. Izjava je istinita - u složenom izrazu bilo koji zbroj dvaju brojeva može se zamijeniti njihovom vrijednošću.
3. Postoji neutralna vrijednost 0 za koju je z + 0=0 + z=z istina.
4. Za bilo koji z postoji suprotnost - z, čiji dodatak daje nulu.
5. Kada se mijenjaju mjesta složenih čimbenika, složeni proizvod se ne mijenja.
6. Množenje bilo koja dva broja može se zamijeniti njihovom vrijednošću.
7. Postoji neutralna vrijednost 1, množenje s kojom se ne mijenja kompleksni broj.
8. Za svaki z ≠ 0, postoji inverz od z^-1, koji se množi s 1.
9. Množenje zbroja dva broja s trećinom jednako je operaciji množenja svakog od njih ovim brojem i zbrajanja rezultata.
10. 0 ≠ 1.

Brojevi z₁ =x + i×y i z₂ =x - i×y nazivaju se konjugati.

Teorem. Za konjugaciju, tvrdnja je istinita:

• Konjugacija zbroja jednaka je zbroju konjugiranih elemenata.
• Konjugat proizvoda jeproizvod konjugacija.
• Konjugacija konjugacije jednaka je samom broju.

U općoj algebri, takva svojstva nazivaju se automorfizmi polja.

Primjeri

Slijedeći zadana pravila i formule kompleksnih brojeva, lako možete raditi s njima.

Razmotrimo najjednostavnije primjere.

Zadatak 1. Koristeći jednadžbu 3y +5 x i=15 - 7i, odredite x i y.

Odluka. Prisjetimo se definicije kompleksnih jednakosti, tada je 3y=15, 5x=-7. Dakle, x=-7 / 5, y=5.

Zadatak 2. Izračunajte vrijednosti 2 + i²⁸ i 1 + i¹³⁵.

Odluka. Očito je da je 28 paran broj, iz posljedica definicije kompleksnog broja po stepenu imamo i²⁸ =1, što znači da je izraz 2 + i ²⁸ =3. Druga vrijednost, i¹³⁵ =-1, zatim 1 + i¹³⁵ =0.

Zadatak 3. Izračunajte umnožak vrijednosti 2 + 5i i 4 + 3i.

Odluka. Iz općih svojstava množenja kompleksnih brojeva dobivamo (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Nova vrijednost bit će -7 + 26i.

Zadatak 4. Izračunajte korijene jednadžbe z³ =-i.

Odluka. Postoji nekoliko načina za pronalaženje kompleksnog broja. Razmotrimo jedan od mogućih. Po definiciji, ∣ - i∣=1, faza za -i je -p / 4. Izvorna jednadžba se može prepisati kao r³eⁱ3ϴ ^=e-p/4+pk^{, odakle je z=e}-p / 12 + pk/3^{, za bilo koji cijeli broj k.}

Skup rješenja ima oblik (e^-ip/12,e^ip/4, e^{i2 p/3}).

Zašto su nam potrebni kompleksni brojevi

Povijest poznaje mnoge primjere kada znanstvenici, radeći na teoriji, niti ne razmišljaju o praktičnoj primjeni svojih rezultata. Matematika je, prije svega, igra uma, strogo pridržavanje uzročno-posljedičnih veza. Gotovo sve matematičke konstrukcije svode se na rješavanje integralnih i diferencijalnih jednadžbi, a one se, pak, uz određenu aproksimaciju, rješavaju pronalaženjem korijena polinoma. Ovdje se prvi put susrećemo s paradoksom imaginarnih brojeva.

Znanstvenici prirodoslovci, rješavajući potpuno praktične probleme, pribjegavajući rješenjima raznih jednadžbi, otkrivaju matematičke paradokse. Tumačenje ovih paradoksa vodi do apsolutno nevjerojatnih otkrića. Dvostruka priroda elektromagnetskih valova jedan je od takvih primjera. Kompleksni brojevi igraju ključnu ulogu u razumijevanju njihovih svojstava.

Ovo je zauzvrat našlo praktičnu primjenu u optici, radioelektronici, energetici i mnogim drugim tehnološkim poljima. Još jedan primjer, puno teže razumljivi fizički fenomen. Antimaterija je bila predviđena na vrhu olovke. I tek mnogo godina kasnije počinju pokušaji fizičke sintetizacije.

Nemojte misliti da samo u fizici postoje takve situacije. Ništa manje zanimljiva otkrića dolaze u divljini, u sintezi makromolekula, tijekom proučavanja umjetne inteligencije. I sve je to zahvaljujućiproširenje naše svijesti, udaljavanje od jednostavnog zbrajanja i oduzimanja prirodnih vrijednosti.