Izvođenje formule za površinu stošca. Primjer rješenja problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-17 05:28

Proučavanje svojstava prostornih figura igra važnu ulogu u rješavanju praktičnih problema. Znanost koja se bavi likovima u prostoru naziva se stereometrija. U ovom članku, s gledišta čvrste geometrije, razmotrit ćemo konus i pokazati kako pronaći površinu stošca.

konus s okruglom bazom

U općem slučaju, konus je površina izgrađena na nekoj ravninskoj krivulji, čije su sve točke povezane segmentima s jednom točkom u prostoru. Potonji se naziva vrh stošca.

Iz gornje definicije jasno je da krivulja može imati proizvoljan oblik, kao što je parabolički, hiperbolični, eliptični i tako dalje. Ipak, u praksi i problemima iz geometrije često se susreće okrugli stožac. To je prikazano na slici ispod.

Ovdje simbol r označava polumjer kružnice koja se nalazi u podnožju figure, h je okomita na ravninu kružnice, koja je povučena s vrha figure. To se zove visina. Vrijednost s je generatriksa stošca ili njegova generatriksa.

Može se vidjeti da su segmenti r, h i sformiraju pravokutni trokut. Ako se okrene oko kraka h, tada će hipotenuza s opisivati stožastu plohu, a krak r čini okruglu bazu lika. Zbog toga se konus smatra likom revolucije. Tri imenovana linearna parametra međusobno su povezana jednakošću:

s²=r²+ h²

Napominjemo da data jednakost vrijedi samo za okrugli ravan stožac. Ravni lik je samo ako njegova visina pada točno u središte osnovnog kruga. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, tada se lik naziva koso. Razlika između ravnih i kosih čunjeva prikazana je na donjoj slici.

Razvoj oblika

Proučavanje površine stošca je zgodno za izvođenje, s obzirom na to da je u ravnini. Ovakav način predstavljanja površine figura u prostoru naziva se njihov razvoj. Za konus se ovaj razvoj može dobiti na sljedeći način: trebate uzeti lik napravljen, na primjer, od papira. Zatim škarama odrežite okruglu podlogu po obodu. Nakon toga, duž generatrikse, napravite rez na konusnoj površini i okrenite je u ravninu. Rezultat ovih jednostavnih operacija bit će razvoj stošca, prikazan na donjoj slici.

Kao što možete vidjeti, površina stošca se doista može prikazati na ravnini. Sastoji se od sljedeća dva dijela:

• krug s polumjerom r koji predstavlja bazu figure;
• kružni sektor polumjera g, koji je konusna površina.

Formula za površinu stošca uključuje pronalaženje područja obje nesavijene površine.

Izračunajte površinu figure

Podijelimo zadatak u dvije faze. Prvo nalazimo površinu baze stošca, zatim površinu stožaste površine.

Prvi dio problema je lako riješiti. Budući da je zadan polumjer r, dovoljno je prisjetiti se odgovarajućeg izraza za površinu kruga za izračunavanje površine baze. Zapišimo:

S_o=pi × r²

Ako polumjer nije poznat, prvo ga trebate pronaći koristeći formulu odnosa između njega, visine i generatora.

Drugi dio problema pronalaženja površine stošca je nešto složeniji. Imajte na umu da je kružni sektor izgrađen na polumjeru g generatrike i omeđen lukom čija je duljina jednaka opsegu kružnice. Ova činjenica vam omogućuje da zapišete udio i pronađete kut razmatranog sektora. Označimo ga grčkim slovom φ. Ovaj kut će biti jednak:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Poznavajući središnji kut φ kružnog sektora, možete koristiti odgovarajući omjer da biste pronašli njegovu površinu. Označimo ga simbolom S_b. Bit će jednako:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Odnosno, površina konične površine odgovara umnošku generatrike g, polumjera baze r i broja Pi.

Znati koja su područja obas obzirom na površine, možemo napisati konačnu formulu za površinu stošca:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Pisani izraz pretpostavlja poznavanje dva linearna parametra stošca za izračunavanje S. Ako je g ili r nepoznat, oni se mogu pronaći kroz visinu h.

Problem izračunavanja površine stošca

Poznato je da je visina okruglog ravnog stošca jednaka njegovom promjeru. Potrebno je izračunati površinu figure, znajući da je površina njene baze 50 cm².

Znajući površinu kruga, možete pronaći polumjer figure. Imamo:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Sada pronađimo generator g u terminima h i r. Prema uvjetu, visina h figure jednaka je dva radijusa r, tada je:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Pronađene formule za g i r treba zamijeniti u izraz za cijelo područje stošca. Dobivamo:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

U rezultirajući izraz zamjenjujemo površinu baze S_o i zapisujemo odgovor: S ≈ 161,8 cm².