Svaki učenik na studiju stereometrije u srednjoj školi naišao je na konus. Dvije važne karakteristike ove prostorne figure su površina i volumen. U ovom članku ćemo pokazati kako pronaći volumen okruglog stošca.
Okrugli konus kao figura rotacije pravokutnog trokuta
Prije izravnog prelaska na temu članka, potrebno je opisati stožac s geometrijske točke gledišta.
Neka postoji neki pravokutni trokut. Ako ga rotirate oko bilo koje noge, rezultat ove radnje bit će željena figura, prikazana na donjoj slici.
Ovdje je krak AB dio osi stošca, a njegova duljina odgovara visini figure. Drugi krak (segment CA) bit će polumjer stošca. Tijekom rotacije, opisat će kružnicu koja omeđuje bazu figure. Hipotenuza BC naziva se generatrisa lika ili njena generatrisa. Točka B je jedini vrh stošca.
S obzirom na svojstva trokuta ABC, možemo napisati odnos između generatrike g, polumjera r i visine h na sljedeći načinjednakost:
g2=h2+ r2
Ova formula je korisna u rješavanju mnogih geometrijskih problema s dotičnim likom.
Formula volumena konusa
Volume bilo koje prostorne figure je površina prostora koja je ograničena površinama ove figure. Postoje dvije takve površine za stožac:
- Bočni ili konusni. Formiraju ga svi generatrisi.
- Zaklada. U ovom slučaju, to je krug.
Nabavite formulu za određivanje volumena stošca. Da bismo to učinili, mentalno ga izrežemo na mnogo slojeva paralelno s bazom. Svaki od slojeva ima debljinu dx, koja teži nuli. Površina Sx sloja na udaljenosti x od vrha slike jednaka je sljedećem izrazu:
Sx=pir2x2/h 2
Valjanost ovog izraza može se intuitivno provjeriti zamjenom vrijednosti x=0 i x=h. U prvom slučaju dobit ćemo površinu jednaku nuli, u drugom slučaju ona će biti jednaka površini okrugle baze.
Da biste odredili volumen stošca, trebate zbrojiti male "volumene" svakog sloja, odnosno trebate koristiti integralni račun:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Izračunavajući ovaj integral, dolazimo do konačne formule za okrugli stožac:
V=1/3pir2h
Zanimljivo je napomenuti da je ova formula potpuno slična onoj koja se koristi za izračunavanje volumena proizvoljne piramide. Ova koincidencija nije slučajna, jer svaka piramida postaje stožac kada se broj njezinih bridova poveća do beskonačnosti.
Problem s izračunom volumena
Korisno je dati primjer rješavanja problema koji će pokazati korištenje izvedene formule za volumen V.
Dat je okrugli stožac čija je površina baze 37 cm2, a generator figure je tri puta veći od polumjera. Koliki je volumen stošca?
Imamo pravo koristiti formulu volumena ako poznajemo dvije veličine: visinu h i polumjer r. Pronađimo formule koje ih određuju u skladu s uvjetom problema.
Radijus r se može izračunati znajući površinu kružnice So, imamo:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Upotrebom uvjeta zadatka zapisujemo jednakost za generator g:
g=3r=3√(So/pi)
Poznavajući formule za r i g, izračunajte visinu h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Pronašli smo sve potrebne parametre. Sada je vrijeme da ih uključite u formulu za V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Ostaje zamijenitiosnovna površina So i izračunajte vrijednost volumena: V=119,75 cm3.
