likovima revolucije u geometriji pridaje se posebna pažnja prilikom proučavanja njihovih karakteristika i svojstava. Jedan od njih je skraćeni konus. Ovaj članak ima za cilj odgovoriti na pitanje koja se formula može koristiti za izračunavanje površine krnjeg stošca.
O kojoj cifri govorimo?
Prije opisa površine krnjeg stošca potrebno je dati točnu geometrijsku definiciju ove figure. Skraćen je takav stožac, koji se dobiva kao rezultat odsijecanja vrha običnog stošca ravninom. U ovoj definiciji treba naglasiti niz nijansi. Prvo, ravnina presjeka mora biti paralelna s ravninom baze stošca. Drugo, izvorna figura mora biti kružni konus. Naravno, to može biti eliptična, hiperbolična i druga vrsta figure, ali u ovom ćemo se članku ograničiti na razmatranje samo kružnog stošca. Potonje je prikazano na donjoj slici.
Lako je pogoditi da se može dobiti ne samo uz pomoć presjeka ravninom, već i uz pomoć operacije rotacije. ZaDa biste to učinili, trebate uzeti trapez koji ima dva prava kuta i zarotirati ga oko strane koja je uz ove prave kutove. Kao rezultat toga, baze trapeza će postati polumjeri baza krnjeg stošca, a bočna nagnuta strana trapeza opisivat će stožastu površinu.
Razvoj oblika
S obzirom na površinu krnjeg stošca, korisno je donijeti njegov razvoj, odnosno sliku površine trodimenzionalnog lika na ravnini. Ispod je skeniranje proučavane figure s proizvoljnim parametrima.
Može se vidjeti da područje figure čine tri komponente: dva kruga i jedan skraćeni kružni segment. Očito, da bi se odredila tražena površina, potrebno je zbrojiti površine svih imenovanih figura. Riješimo ovaj problem u sljedećem odlomku.
Oblast skraćenog stošca
Da bismo lakše razumjeli sljedeće obrazloženje, uvodimo sljedeću notaciju:
- r1, r2 - polumjeri velike i male baze;
- h - visina figure;
- g - generatrisa stošca (dužina kose strane trapeza).
Površinu baza krnjeg stošca lako je izračunati. Napišimo odgovarajuće izraze:
So1=pir12;
So2=pir22.
Površinu dijela kružnog segmenta je nešto teže odrediti. Ako zamislimo da središte ovog kružnog sektora nije izrezano, tada će njegov polumjer biti jednak vrijednosti G. Nije ga teško izračunati ako uzmemo u obzir odgovarajućislični pravokutni konusni trokuti. Jednako je:
G=r1g/(r1-r2).
Tada će površina cijelog kružnog sektora, koji je izgrađen na radijusu G i koji se oslanja na luk duljine 2pir1, biti jednak na:
S1=pir1G=pir1 2g/(r1-r2).
Sada odredimo površinu malog kružnog sektora S2, koji će se morati oduzeti od S1. Jednako je:
S2=pir2(G - g)=pir2 (r1g/(r1-r2) - g)=pir22g/(r1-r2 ).
Površina konusno skraćene površine Sb jednaka je razlici između S1 i S 2. Dobivamo:
Sb=S1- S2=pir 12g/(r1-r2) - pi r22g/(r1-r2)=pig(r1+r2).
Unatoč nekim glomaznim izračunima, dobili smo prilično jednostavan izraz za površinu bočne površine figure.
Zbrajanjem područja baza i Sb, dolazimo do formule za područje krnjeg stošca:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12 + pir22 + pig (r1+r2).
Dakle, da biste izračunali vrijednost S proučavane figure, trebate znati njena tri linearna parametra.
Primjer problema
Kružni ravni stožacpolumjera 10 cm i visine 15 cm odsječena je ravninom tako da se dobio pravilan krnji stožac. Znajući da je razmak između baza skraćenog lika 10 cm, potrebno je pronaći njegovu površinu.
Da biste koristili formulu za područje krnjeg stošca, morate pronaći tri njegova parametra. Jedan kojeg poznajemo:
r1=10 cm.
Druga dva je lako izračunati ako uzmemo u obzir slične pravokutne trokute, koji su dobiveni kao rezultat aksijalnog presjeka stošca. Uzimajući u obzir stanje problema, dobivamo:
r2=105/15=3,33 cm.
Konačno, vodilica krnjeg stošca g bit će:
g=√(102+ (r1-r2) 2)=12,02 cm.
Sada možete zamijeniti vrijednosti r1, r2 i g u formulu za S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+r2)=851,93 cm 2.
Željena površina figure je približno 852 cm2.
