Kada se razmatraju figure u prostoru, često se javljaju problemi u određivanju njihove površine. Jedna takva figura je konus. Razmotrite u članku što je bočna površina stošca s okruglom bazom, kao i krnjeg stošca.
konus s okruglom bazom
Prije nego što pređemo na razmatranje bočne površine stošca, pokazat ćemo o kakvoj se figuri radi i kako je dobiti geometrijskim metodama.
Uzmite pravokutni trokut ABC, gdje su AB i AC noge. Stavimo ovaj trokut na krak AC i zarotirajmo ga oko kraka AB. Kao rezultat toga, strane AC i BC opisuju dvije površine dolje prikazane figure.
Broj dobiven rotacijom naziva se okrugli ravni stožac. Okrugla je jer mu je osnova kružnica, a ravna jer okomita povučena s vrha lika (točka B) siječe kružnicu u njegovom središtu. Duljina ove okomice naziva se visina. Očito, jednak je kraku AB. Visina se obično označava slovom h.
Osim visine, razmatrani stožac je opisan s još dvije linearne karakteristike:
- generiranje ili generatriksa (hipotenuza BC);
- osnovni polumjer (noga AC).
Polumjer će biti označen slovom r, a generatoratriksa g. Zatim, uzimajući u obzir Pitagorin teorem, možemo zapisati jednakost važnu za figuru koja se razmatra:
g2=h2+ r2
konusna površina
Ukupnost svih generatricija tvori stožastu ili bočnu površinu stošca. Po izgledu je teško reći kojoj ravnoj figuri odgovara. Potonje je važno znati pri određivanju površine stožaste površine. Za rješavanje ovog problema koristi se metoda sweep. Sastoji se u sljedećem: ploha se mentalno reže duž proizvoljne generatrikse, a zatim se odvija na ravnini. Ovom metodom dobivanja zamaha formira se sljedeća ravna figura.
Kao što možete pretpostaviti, krug odgovara bazi, ali kružni sektor je konusna površina, čija površina nas zanima. Sektor je omeđen dvjema generatrima i lukom. Duljina potonjeg točno je jednaka perimetru (duljini) opsega baze. Ove karakteristike jedinstveno određuju sva svojstva kružnog sektora. Nećemo davati srednje matematičke izračune, ali odmah zapišite konačnu formulu, pomoću koje možete izračunati površinu bočne površine stošca. Formula je:
Sb=pigr
Površina konične površine Sb jednaka je umnošku dva parametra i Pi.
Skrnji konus i njegova površina
Ako uzmemo običan stožac i odrežemo njegov vrh paralelnom ravninom, preostali lik će biti skraćeni stožac. Njegova bočna površina ograničena je s dvije okrugle baze. Označimo njihove polumjere kao R i r. Visinu figure označavamo sa h, a generatricu sa g. Ispod je izrez na papiru za ovu figuru.
Vidi se da bočna ploha više nije kružni sektor, već je manje površine, budući da je središnji dio od nje odsječen. Razvoj je ograničen na četiri linije, dva od njih su pravi segmenti-generatori, druga dva su lukovi s duljinama odgovarajućih kružnica baza krnjeg stošca.
Bočna površina Sbizračunato na sljedeći način:
Sb=pig(r + R)
Generatrisa, polumjeri i visina povezani su sljedećom jednakošću:
g2=h2+ (R - r)2
Problem s jednakošću površina brojki
Zadan je stožac visine 20 cm i polumjera baze 8 cm. Potrebno je pronaći visinu krnjeg stošca čija će bočna površina imati istu površinu kao i ovaj stožac. Krnji lik je izgrađen na istoj osnovi, a polumjer gornje baze je 3 cm.
Prije svega, zapišimo uvjet jednakosti površina stošca i skraćenog lika. Imamo:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Sada napišimo izraze za generatrice svakog oblika:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Zamijenite g1 i g2 u formulu za jednake površine i kvadrirajte lijevu i desnu stranu, dobivamo:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Odakle dobivamo izraz za h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Nećemo pojednostaviti ovu jednakost, već ćemo jednostavno zamijeniti podatke poznate iz uvjeta:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Dakle, da bi se izjednačile površine bočnih površina figura, skraćeni konus mora imati parametre: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
