Matematički problemi se koriste u mnogim znanostima. To ne uključuje samo fiziku, kemiju, inženjerstvo i ekonomiju, već i medicinu, ekologiju i druge discipline. Jedan važan koncept koji treba svladati kako biste pronašli rješenja za važne dileme je derivacija funkcije. Njegovo fizičko značenje uopće nije tako teško objasniti kao što se neupućenima može činiti u suštini problema. Dovoljno je samo pronaći odgovarajuće primjere za to u stvarnom životu i običnim svakodnevnim situacijama. Zapravo, svaki vozač se nosi sa sličnim zadatkom svaki dan kada pogleda brzinomjer, određujući brzinu svog automobila u određenom trenutku određenog vremena. Uostalom, upravo u ovom parametru leži bit fizičkog značenja izvedenice.
Kako pronaći brzinu
Odredite brzinu osobe na cesti, znajući prijeđenu udaljenost i vrijeme putovanja, svaki učenik petog razreda može lako. Da biste to učinili, prva od zadanih vrijednosti podijeljena je s drugom. Aline zna svaki mladi matematičar da trenutno pronalazi omjer prirasta funkcije i argumenta. Doista, ako zamislimo kretanje u obliku grafa, iscrtavajući putanju duž y-osi i vrijeme duž apscise, to će biti upravo ovako.
Međutim, brzina pješaka ili bilo kojeg drugog objekta koju odredimo na velikom dijelu puta, smatrajući da je kretanje ujednačeno, može se promijeniti. U fizici postoje mnogi oblici kretanja. Može se izvoditi ne samo uz konstantno ubrzanje, već usporiti i povećati na proizvoljan način. Treba napomenuti da u ovom slučaju crta koja opisuje kretanje više neće biti ravna crta. Grafički, može poprimiti najsloženije konfiguracije. Ali za bilo koju točku na grafu uvijek možemo nacrtati tangentu predstavljenu linearnom funkcijom.
Za pojašnjenje parametra promjene pomaka ovisno o vremenu, potrebno je skratiti mjerene segmente. Kada postanu beskonačno male, izračunata brzina bit će trenutna. Ovo iskustvo nam pomaže da definiramo izvedenicu. Njegovo fizičko značenje također logično slijedi iz takvog razmišljanja.
U smislu geometrije
Poznato je da što je veća brzina tijela, to je graf ovisnosti pomaka o vremenu strmiji, a time i kut nagiba tangente na graf u određenoj točki. Pokazatelj takvih promjena može biti tangenta kuta između osi x i tangente. On samo određuje vrijednost derivacije i izračunava se omjerom duljinasuprotno od susjedne noge u pravokutnom trokutu koji je formirana okomom spuštenom iz neke točke na os x.
Ovo je geometrijsko značenje prve izvedenice. Fizički se otkriva u činjenici da je vrijednost suprotne noge u našem slučaju prijeđena udaljenost, a susjedne vrijeme. Njihov omjer je brzina. I opet dolazimo do zaključka da je trenutna brzina, određena kada oba jaza teže beskonačno malim, bit koncepta derivacije, ukazujući na njegovo fizičko značenje. Druga izvodnica u ovom primjeru bit će ubrzanje tijela, što zauzvrat pokazuje brzinu promjene brzine.
Primjeri pronalaženja izvedenica u fizici
Izvod je pokazatelj brzine promjene bilo koje funkcije, čak i kada ne govorimo o kretanju u doslovnom smislu riječi. Da bismo to jasno pokazali, uzmimo nekoliko konkretnih primjera. Pretpostavimo da se jačina struje, ovisno o vremenu, mijenja prema sljedećem zakonu: I=0, 4t2. Potrebno je pronaći vrijednost brzine kojom se ovaj parametar mijenja na kraju 8. sekunde procesa. Imajte na umu da se sama željena vrijednost, kao što se može suditi iz jednadžbe, stalno povećava.
Da biste to riješili, morate pronaći prvu izvedenicu, čije je fizičko značenje razmatrano ranije. Ovdje je dI / dt=0,8t. Zatim ga nalazimo na t \u003d 8, dobivamo da je brzina promjene jačine struje 6,4 A / c. Ovdje se smatra dastruja se mjeri u amperima, a vrijeme u sekundama.
Sve se mijenja
Vidljivi okolni svijet, koji se sastoji od materije, neprestano prolazi kroz promjene, u pokretu je raznih procesa koji se u njemu odvijaju. Za njihovo opisivanje mogu se koristiti različiti parametri. Ako su objedinjeni ovisnošću, onda su matematički zapisani kao funkcija koja jasno pokazuje njihove promjene. A gdje postoji kretanje (u kojem god obliku da se izrazi), postoji i izvedenica, čije fizičko značenje trenutno razmatramo.
Ovom prilikom, sljedeći primjer. Pretpostavimo da se tjelesna temperatura mijenja prema zakonu T=0, 2 t 2. Trebali biste pronaći brzinu njegovog zagrijavanja na kraju 10. sekunde. Problem se rješava na način sličan onome opisanom u prethodnom slučaju. Odnosno, nalazimo derivaciju i u nju zamjenjujemo vrijednost za t=10, dobivamo T=0, 4 t=4. To znači da je konačni odgovor 4 stupnja u sekundi, odnosno proces zagrijavanja a promjena temperature, mjerena u stupnjevima, događa se upravo takvom brzinom.
Rješavanje praktičnih problema
Naravno, u stvarnom životu sve je puno kompliciranije nego u teorijskim problemima. U praksi se vrijednost količina obično utvrđuje tijekom pokusa. U ovom slučaju se koriste instrumenti koji daju očitanja tijekom mjerenja s određenom pogreškom. Stoga se u izračunima treba baviti približnim vrijednostima parametara i pribjegavati zaokruživanju nezgodnih brojeva,kao i druga pojednostavljenja. Uzimajući to u obzir, ponovno ćemo prijeći na probleme o fizičkom značenju derivacije, s obzirom da su oni samo svojevrsni matematički model najsloženijih procesa koji se događaju u prirodi.
Erupcija vulkana
Zamislimo da eruptira vulkan. Koliko on može biti opasan? Da biste odgovorili na ovo pitanje, potrebno je uzeti u obzir mnoge čimbenike. Pokušat ćemo ugoditi jednom od njih.
Iz usta "vatrenog čudovišta" kamenje se baca okomito prema gore, imajući početnu brzinu od trenutka izlaska do vanjske strane od 120 m/s. Potrebno je izračunati koliko mogu dostići maksimalnu visinu.
Da bismo pronašli željenu vrijednost, sastavit ćemo jednadžbu za ovisnost visine H, mjerene u metrima, o drugim vrijednostima. To uključuje početnu brzinu i vrijeme. Vrijednost ubrzanja smatra se poznatom i približno jednakom 10 m/s2.
Djelomični derivat
Sada razmotrimo fizičko značenje derivacije funkcije iz malo drugačijeg kuta, jer sama jednadžba može sadržavati ne jednu, već nekoliko varijabli. Na primjer, u prethodnom problemu, ovisnost visine kamenja izbačenog iz otvora vulkana bila je određena ne samo promjenom vremenskih karakteristika, već i vrijednošću početne brzine. Potonje se smatralo konstantnom, fiksnom vrijednošću. Ali u drugim zadacima s potpuno drugačijim uvjetima sve bi moglo biti drugačije. Ako količine na kojima je kompleksfunkcija, nekoliko, izračuni su napravljeni prema formulama ispod.
Fizičko značenje frekventne izvedenice treba odrediti kao u uobičajenom slučaju. Ovo je brzina kojom se funkcija mijenja u određenoj točki kako se parametar varijable povećava. Izračunava se na način da se sve ostale komponente uzimaju kao konstante, a samo jedna se smatra varijablom. Tada se sve događa po uobičajenim pravilima.
Neizostavan savjetnik za mnoga pitanja
Razumijući fizičko značenje izvedenice, nije teško dati primjere rješavanja zamršenih i složenih problema u kojima se s takvim znanjem može pronaći odgovor. Ako imamo funkciju koja opisuje potrošnju goriva ovisno o brzini automobila, možemo izračunati pri kojim će parametrima potonjeg potrošnja benzina biti najmanja.
U medicini možete predvidjeti kako će ljudsko tijelo reagirati na lijek koji vam je propisao liječnik. Uzimanje lijeka utječe na razne fiziološke parametre. To uključuje promjene krvnog tlaka, otkucaja srca, tjelesne temperature i još mnogo toga. Svi oni ovise o dozi uzetog lijeka. Ovi izračuni pomažu u predviđanju tijeka liječenja, kako kod povoljnih manifestacija tako i kod neželjenih nesreća koje mogu kobno utjecati na promjene u tijelu pacijenta.
Nesumnjivo je važno razumjeti fizičko značenje izvedenice u tehničkompitanja, posebice u elektrotehnici, elektronici, dizajnu i konstrukciji.
Kočni put
Razmotrimo sljedeći problem. Krećući se stalnom brzinom, automobil je, približavajući se mostu, morao usporiti 10 sekundi prije ulaska, budući da je vozač uočio prometni znak koji zabranjuje kretanje brzinom većom od 36 km/h. Je li vozač prekršio pravila ako se put kočenja može opisati formulom S=26t - t2?
Računajući prvi izvod, nalazimo formulu za brzinu, dobivamo v=28 – 2t. Zatim zamijenite vrijednost t=10 u navedeni izraz.
Budući da je ova vrijednost izražena u sekundama, brzina je 8 m/s, što znači 28,8 km/h. Time je moguće razumjeti da je vozač na vrijeme počeo usporavati i nije prekršio prometna pravila, a time i ograničenje naznačeno na znaku brzine.
Ovo dokazuje važnost fizičkog značenja izvedenice. Primjer rješavanja ovog problema pokazuje širinu korištenja ovog koncepta u različitim sferama života. Uključujući u svakodnevnim situacijama.
Derivat u ekonomiji
Do 19. stoljeća, ekonomisti su uglavnom radili na prosjeku, bilo da se radi o produktivnosti rada ili cijeni proizvodnje. Ali od nekog trenutka, granične vrijednosti postale su potrebnije za izradu učinkovitih prognoza u ovom području. To uključuje graničnu korisnost, prihod ili trošak. Razumijevanje toga dalo je poticaj stvaranju potpuno novog alata u ekonomskom istraživanju,koji postoji i razvija se više od stotinu godina.
Za takve izračune, gdje prevladavaju pojmovi kao što su minimum i maksimum, jednostavno je potrebno razumjeti geometrijsko i fizičko značenje izvedenice. Među tvorcima teorijske osnove ovih disciplina mogu se imenovati istaknuti engleski i austrijski ekonomisti kao što su US Jevons, K. Menger i drugi. Naravno, granične vrijednosti u ekonomskim izračunima nisu uvijek prikladne za korištenje. I, na primjer, tromjesečna izvješća ne uklapaju se nužno u postojeću shemu, ali ipak je primjena takve teorije u mnogim slučajevima korisna i učinkovita.
