Učitelji matematike upoznaju svoje učenike s konceptom "kombinatornog problema" već u petom razredu. To je potrebno kako bi u budućnosti mogli raditi sa složenijim zadacima. Kombinatorna priroda problema može se shvatiti kao mogućnost njegovog rješavanja nabrajanjem elemenata konačnog skupa.
Glavni znak zadataka ovog reda im je pitanje koje zvuči kao "Koliko opcija?" ili "Na koliko načina?" Rješenje kombinatornih problema izravno ovisi o tome je li rješavatelj razumio značenje, je li uspio ispravno predstaviti radnju ili proces koji je opisan u zadatku.
Kako riješiti kombinatorni problem?
Važno je pravilno odrediti vrstu svih veza u problemu koji se razmatra, ali je potrebno provjeriti ima li u njemu ponavljanja elemenata, mijenjaju li se sami elementi, igra li veliku ulogu njihov redoslijed, a također i s obzirom na neke drugefaktori.
Kombinatorski problem može imati brojna ograničenja koja se mogu postaviti na veze. U tom slučaju morat ćete u potpunosti izračunati njegovo rješenje i provjeriti utječu li ta ograničenja na spajanje svih elemenata. Ako doista postoji utjecaj, potrebno je provjeriti koji.
Odakle početi?
Prvo morate naučiti kako riješiti najjednostavnije kombinatorne probleme. Svladavanje jednostavnog materijala omogućit će vam da naučite razumjeti složenije zadatke. Preporuča se da prvo počnete rješavati probleme s ograničenjima koja se ne uzimaju u obzir pri razmatranju jednostavnije opcije.
Također se preporučuje da prvo pokušate riješiti one probleme u kojima trebate uzeti u obzir manji broj zajedničkih elemenata. Na taj ćete način moći razumjeti princip izrade uzoraka i naučiti kako ih u budućnosti sami izraditi. Ako se problem za koji trebate koristiti kombinatoriku sastoji od kombinacije nekoliko jednostavnijih, preporuča se riješiti u dijelovima.
Rješavanje kombinatornih problema
Možda se čini da je ovakvi problemi lako riješiti, ali kombinatoriku je prilično teško svladati, neki od njih nisu riješeni posljednjih stotina godina. Jedan od najpoznatijih problema je odrediti broj čarobnih kvadrata posebnog reda kada je broj n veći od 4.
Kombinatorski problem usko je povezan s teorijom vjerojatnosti, koja se pojavila u srednjem vijeku. Vjerojatnostpodrijetlo događaja može se izračunati samo pomoću kombinatorike, u ovom slučaju bit će potrebno izmjenjivati sve čimbenike na mjestima kako bi se dobilo optimalno rješenje.
Rješavanje problema
Kombinatorni zadaci s rješenjem služe za podučavanje učenika i studenata radu s ovim materijalom. Općenito govoreći, trebali bi pobuditi interes i želju osobe za pronalaženjem zajedničkog rješenja. Osim matematičkih izračuna, potrebno je primijeniti mentalni stres i koristiti nagađanja.
U procesu rješavanja postavljenih zadataka dijete će moći razviti svoju matematičku maštu i kombinatorne sposobnosti, što mu može biti od velike koristi u budućnosti. Postupno se mora povećavati razina složenosti zadataka koji se rješavaju kako se ne bi zaboravila postojeća znanja i dodala im nova.
Metoda 1. Bust
Metode rješavanja kombinatornih problema međusobno se jako razlikuju, ali sve ih učenik može koristiti za dobivanje odgovora. Jedan od najjednostavnijih, ali u isto vrijeme i najdužih načina je gruba sila. Uz to, samo trebate proći kroz sva moguća rješenja bez sastavljanja ikakvih shema i tablica.
U pravilu se pitanje u takvom problemu odnosi na moguće varijante nastanka događaja, na primjer: koji se brojevi mogu napraviti pomoću brojeva 2, 4, 8, 9? Pretragom svih opcija sastavlja se odgovor koji se sastoji od mogućih kombinacija. Ova metoda je sjajna ako postoji broj mogućih opcijarelativno mali.
Metoda 2. Stablo opcija
Neki kombinatorni problemi mogu se riješiti samo izradom dijagrama s detaljima o svakom elementu. Sastavljanje stabla mogućih opcija još je jedan način da pronađete odgovor. Pogodan je za rješavanje problema koji nisu preteški, u kojima postoji dodatni uvjet.
Primjer takvog zadatka:
Koji se peteroznamenkasti brojevi mogu sastaviti od brojeva 0, 1, 7, 8? Da biste ga riješili, potrebno je sagraditi stablo od svih mogućih kombinacija, a postoji i dodatni uvjet - broj ne može početi od nule. Dakle, odgovor će se sastojati od svih brojeva koji počinju s 1, 7 ili 8
Metoda 3. Formiranje tablica
Kombinatorni problemi se također mogu riješiti pomoću tablica. Slične su stablu mogućih opcija, jer nude vizualno rješenje situacije. Da biste pronašli točan odgovor, trebate formirati tablicu i ona će biti zrcaljena: horizontalni i vertikalni uvjeti bit će isti.
Mogući odgovori će se dobiti na sjecištu stupaca i redaka. U tom slučaju se neće dobiti odgovori na sjecištu stupca i retka s istim podacima, ta sjecišta moraju biti posebno označena kako se ne bi zbunili pri sastavljanju konačnog odgovora. Ovu metodu studenti ne biraju često, mnogi preferiraju stablo s opcijama.
Metoda 4. Množenje
Postoji još jedan način rješavanja kombinatornih problema - pravilo množenja. On je dobroprikladan je u slučaju kada, prema uvjetu, nije potrebno navesti sva moguća rješenja, samo treba pronaći njihov maksimalan broj. Ova metoda je jedinstvena, koristi se vrlo često kada tek počinje rješavati kombinatorne probleme.
Primjer takvog zadatka mogao bi izgledati ovako:
6 ljudi čeka ispit u hodniku. Na koliko načina ih možete upotrijebiti da ih rasporedite u opći popis? Da biste dobili odgovor, morate razjasniti koliko ih može biti na prvom mjestu, koliko na drugom, na trećem itd. Odgovor će biti broj 720
Kombinatorika i njezine vrste
Kombinatorni zadatak nije samo školski materijal, proučavaju ga i studenti. U znanosti postoji nekoliko vrsta kombinatorike, a svaka od njih ima svoju misiju. Enumerativna kombinatorika treba uzeti u obzir nabrajanje i nabrajanje mogućih konfiguracija s dodatnim uvjetima.
Strukturna kombinatorika je sastavnica sveučilišnog programa, proučava teoriju matroida i grafova. Ekstremna kombinatorika također je povezana sa sveučilišnim gradivom, a tu postoje pojedinačna ograničenja. Drugi dio je Ramseyeva teorija, koja se bavi proučavanjem struktura u slučajnim varijacijama elemenata. Postoji i jezična kombinatorika, koja se bavi pitanjem kompatibilnosti pojedinih elemenata međusobno.
Metoda poučavanja kombinatornih zadataka
Prema vodičuplanova, dob učenika, koja je namijenjena za primarno upoznavanje s ovim materijalom i za rješavanje kombinatornih zadataka, je 5. razred. Tamo se studentima po prvi put nudi na razmatranje ova tema, upoznaju se s fenomenom kombinatornosti i pokušavaju riješiti zadatke koji su im zadani. Pritom je vrlo važno da se pri postavljanju kombinatornog problema koristi metoda kada djeca sama traže odgovore na pitanja.
Između ostalog, nakon proučavanja ove teme bit će puno lakše uvesti pojam faktorijala i koristiti ga pri rješavanju jednadžbi, zadataka itd. Dakle, kombinatornost igra važnu ulogu u daljnjem obrazovanju.
Kombinatorski problemi: zašto su potrebni?
Ako znate što su kombinatorni problemi, nećete imati nikakvih poteškoća s njihovim rješavanjem. Tehnika njihovog rješavanja može biti korisna kada trebate izraditi rasporede, rasporede rada, kao i složene matematičke izračune koji nisu prikladni za elektroničke uređaje.
U školama s dubljim proučavanjem matematike i informatike dodatno se izučavaju kombinatorni problemi, za to se sastavljaju posebni predmeti, nastavna sredstva i zadaci. U pravilu, nekoliko zadataka ove vrste može biti uključeno u Jedinstveni državni ispit iz matematike, obično su "skriveni" u dijelu C.
Kako brzo riješiti kombinatorni problem?
Vrlo je važno moći vidjeti kombinatorni problembrzo, budući da može imati prikrivenu formulaciju, to je posebno važno prilikom polaganja ispita, gdje je svaka minuta važna. Zapišite zasebno informacije koje vidite u tekstu problema na komad papira, a zatim ih pokušajte analizirati u smislu četiri načina koja poznajete.
Ako možete staviti informaciju u tablicu ili drugu formaciju, pokušajte je riješiti. Ako ga ne možete klasificirati, u ovom slučaju najbolje ga je ostaviti neko vrijeme i prijeći na drugi zadatak kako ne biste gubili dragocjeno vrijeme. Ova se situacija može izbjeći rješavanjem određenog broja zadataka ove vrste unaprijed.
Gdje mogu pronaći primjere?
Jedina stvar koja će vam pomoći da naučite kako riješiti kombinatorne probleme su primjeri. Možete ih pronaći u posebnim matematičkim zbirkama koje se prodaju u trgovinama obrazovne literature. Međutim, tamo možete pronaći informacije samo za studente, školarci će morati dodatno tražiti zadatke, u pravilu zadatke za njih izmišljaju drugi učitelji.
Visokoškolski profesori smatraju da se studenti trebaju usavršavati i stalno im nuditi dodatnu obrazovnu literaturu. Jedna od najboljih zbirki je "Metode diskretne analize u rješavanju kombinatornih problema", napisana 1977. godine i više puta objavljena od strane vodećih izdavačkih kuća u zemlji. Tamo možete pronaći zadatke koji su bili relevantni u to vrijeme i ostali relevantni i danas.
Što ako trebate napraviti kombinatorni problem?
Najčešće je potrebno sastaviti kombinatorne problemeučitelji koji su dužni učiti učenike da razmišljaju izvan okvira. Ovdje će sve ovisiti o kreativnom potencijalu prevoditelja. Preporuča se obratiti pozornost na postojeće zbirke i pokušati sastaviti problem tako da kombinira nekoliko načina za njegovo rješavanje odjednom i da ima različite podatke od knjige.
Sveučilišni nastavnici su u tom pogledu puno slobodniji od školskih nastavnika, često daju svojim učenicima zadatak da sami smisle kombinatorne probleme s detaljnim metodama rješenja i objašnjenjima. Ako niste ni jedno ni drugo, možete zatražiti pomoć od onih koji se stvarno razumiju u problem, kao i angažirati privatnog učitelja. Jedan akademski sat dovoljan je za nekoliko sličnih problema.
Kombinatorika - znanost budućnosti?
Mnogi stručnjaci iz područja matematike i fizike vjeruju da je kombinatorni problem taj koji može postati poticaj u razvoju svih tehničkih znanosti. Dovoljno je nestandardno pristupiti rješavanju određenih problema, a onda će se moći odgovoriti na pitanja koja muče znanstvenike već nekoliko stoljeća. Neki od njih ozbiljno tvrde da je kombinatorika pomoć za sve moderne znanosti, a posebno za astronautiku. Bit će puno lakše izračunati putanje leta brodova koristeći kombinatorne probleme, a također će vam omogućiti da odredite točan položaj određenih nebeskih tijela.
Provedba nestandardnog pristupa odavno je počela u azijskim zemljama, gdje studenti čakmnoženje, oduzimanje, zbrajanje i dijeljenje rješavaju se kombinatornim metodama. Na iznenađenje mnogih europskih znanstvenika, tehnika doista djeluje. Škole u Europi do sada su tek počele učiti iz iskustva svojih kolega. Kada će točno kombinatorika postati jedna od glavnih grana matematike, teško je pretpostaviti. Sada znanost proučavaju vodeći svjetski znanstvenici koji je žele popularizirati.
