U praksi se često javljaju zadaci koji zahtijevaju sposobnost građenja presjeka geometrijskih oblika različitih oblika i pronalaženja područja presjeka. U ovom članku ćemo pogledati koliko su važni dijelovi prizme, piramide, stošca i cilindra građeni i kako izračunati njihove površine.
3D figure
Iz stereometrije je poznato da je trodimenzionalni lik apsolutno bilo koje vrste ograničen brojnim površinama. Na primjer, za takve poliedre kao što su prizma i piramida, ove površine su poligonalne stranice. Za cilindar i stožac govorimo o površinama okretanja cilindričnih i konusnih figura.
Ako uzmemo ravninu i proizvoljno presiječemo površinu trodimenzionalnog lika, dobit ćemo presjek. Njegova površina jednaka je površini dijela ravnine koji će biti unutar volumena figure. Minimalna vrijednost ove površine je nula, što se ostvaruje kada ravnina dodirne lik. Na primjer, presjek koji tvori jedna točka dobiva se ako ravnina prolazi vrhom piramide ili stošca. Maksimalna vrijednost površine presjeka ovisi orelativni položaj lika i ravnine, kao i oblik i veličinu figure.
U nastavku ćemo razmotriti kako izračunati površinu formiranih presjeka za dvije figure okretanja (cilindar i stožac) i dva poliedra (piramida i prizma).
Cilindar
Kružni cilindar je figura rotacije pravokutnika oko bilo koje njegove strane. Cilindar karakteriziraju dva linearna parametra: polumjer baze r i visina h. Dijagram ispod pokazuje kako izgleda kružni ravni cilindar.
Postoje tri važne vrste odjeljka za ovu brojku:
- okrugla;
- pravokutni;
- eliptični.
Eliptični nastaje kao rezultat ravnine koja siječe bočnu površinu lika pod nekim kutom u odnosu na njegovu bazu. Okrugli je rezultat presjeka rezne ravnine bočne površine paralelne s bazom cilindra. Konačno, pravokutni se dobiva ako je rezna ravnina paralelna s osi cilindra.
Kružna površina izračunava se po formuli:
S1=pir2
Područje aksijalnog presjeka, tj. pravokutnog, koje prolazi kroz os cilindra, definirano je na sljedeći način:
S2=2rh
konusne sekcije
Konus je figura rotacije pravokutnog trokuta oko jedne od krakova. Konus ima jedan vrh i okruglu bazu. Njegovi parametri su također polumjer r i visina h. Primjer papirnatog konusa prikazan je ispod.
Postoji nekoliko vrsta konusnih presjeka. Nabrojimo ih:
- okrugla;
- eliptično;
- parabolični;
- hiperbolično;
- trokutasti.
Oni se međusobno zamjenjuju ako povećate kut nagiba sekantne ravnine u odnosu na okruglu bazu. Najlakši način je zapisati formule za površinu poprečnog presjeka kružnog i trokuta.
Kružni presjek nastaje kao rezultat presjeka stožaste plohe s ravninom koja je paralelna s bazom. Za njegovo područje vrijedi sljedeća formula:
S1=pir2z2/h 2
Ovdje z je udaljenost od vrha figure do formiranog dijela. Može se vidjeti da ako je z=0, tada ravnina prolazi samo kroz vrh, pa će površina S1 biti jednaka nuli. Od z < h, površina presjeka koji se proučava uvijek će biti manja od njegove vrijednosti za bazu.
Trokut se dobiva kada ravnina siječe lik duž njegove osi rotacije. Oblik rezultirajućeg presjeka bit će jednakokračni trokut, čije su stranice promjer baze i dva generatora stošca. Kako pronaći površinu poprečnog presjeka trokuta? Odgovor na ovo pitanje bit će sljedeća formula:
S2=rh
Ova se jednakost dobiva primjenom formule za površinu proizvoljnog trokuta kroz duljinu njegove baze i visine.
prizme
Prizma je velika klasa figura koje karakterizira prisutnost dvije identične poligonalne baze paralelne jedna s drugom,spojeni paralelogramima. Bilo koji dio prizme je poligon. S obzirom na raznolikost razmatranih figura (kose, ravne, n-kutne, pravilne, konkavne prizme), raznolikost njihovih presjeka je također velika. U nastavku razmatramo samo neke posebne slučajeve.
Ako je rezna ravnina paralelna s bazom, tada će površina poprečnog presjeka prizme biti jednaka površini ove baze.
Ako ravnina prolazi kroz geometrijska središta dviju baza, odnosno paralelna je sa bočnim rubovima lika, tada se u presjeku formira paralelogram. U slučaju ravnih i pravilnih prizmi, razmatrani presjek će biti pravokutnik.
Piramida
Piramida je još jedan poliedar koji se sastoji od n-kuta i n trokuta. Primjer trokutaste piramide prikazan je ispod.
Ako je presjek nacrtan ravninom paralelnom s n-kutnom bazom, tada će njegov oblik biti točno jednak obliku baze. Površina takvog odjeljka izračunava se po formuli:
S1=So(h-z)2/h 2
Gdje je z udaljenost od baze do ravnine presjeka, So je površina baze.
Ako rezna ravnina sadrži vrh piramide i siječe njezinu bazu, tada dobivamo trokutasti presjek. Da biste izračunali njegovu površinu, morate koristiti odgovarajuću formulu za trokut.
