Prilikom pripreme za ispit iz matematike studenti moraju sistematizirati svoje znanje iz algebre i geometrije. Želio bih kombinirati sve poznate informacije, na primjer, kako izračunati površinu piramide. Štoviše, počevši od baze i bočnih strana do cijele površine. Ako je situacija jasna sa bočnim stranama, budući da su trokuti, onda je baza uvijek drugačija.
Kako pronaći površinu baze piramide?
Može biti apsolutno bilo kojeg oblika: od proizvoljnog trokuta do n-kuta. A ta baza, osim razlike u broju kutova, može biti pravilna ili netočna figura. U zadacima USE od interesa za školarce postoje samo zadaci s točnim brojkama u osnovi. Stoga ćemo govoriti samo o njima.
pravilni trokut
To je jednakostranično. Onaj u kojem su sve strane jednake i označene slovom "a". U ovom slučaju, površina baze piramide izračunava se po formuli:
S=(a2√3) / 4.
kvadrat
Formula za izračun njegove površine je najjednostavnija,ovdje je "a" opet strana:
S=a2.
Proizvoljni regularni n-kut
Strana poligona ima istu oznaku. Za broj uglova koristi se latinično slovo n.
S=(na2) / (4tg (180º/n)).
Kako izračunati bočnu i ukupnu površinu?
Budući da je baza pravilan lik, sve strane piramide su jednake. Štoviše, svaki od njih je jednakokračan trokut, budući da su bočni bridovi jednaki. Zatim, da biste izračunali bočnu površinu piramide, potrebna vam je formula koja se sastoji od zbroja identičnih monoma. Broj pojmova određen je brojem stranica baze.
Površina jednakokračnog trokuta izračunava se po formuli u kojoj se polovica umnožaka baze pomnoži s visinom. Ova visina u piramidi naziva se apotema. Njegova oznaka je "A". Opća formula za bočnu površinu je:
S=½ PA, gdje je P opseg baze piramide.
Postoje situacije kada stranice baze nisu poznate, ali su zadani bočni bridovi (c) i ravni kut u njegovom vrhu (α). Zatim bi trebalo koristiti ovu formulu za izračunavanje bočne površine piramide:
S=n/2u2 sin α.
Problem 1
Stanje. Nađite ukupnu površinu piramide ako je njena osnova jednakostraničan trokut sa stranicom od 4 cm, a apotem je √3 cm.
Odluka. NjegovoMorate početi s izračunom perimetra baze. Budući da je ovo pravilan trokut, onda je P \u003d 34 \u003d 12 cm. Budući da je apotema poznata, možete odmah izračunati površinu cijele bočne površine: ½12√3=6 √3 cm 2.
Za trokut na bazi, dobivate sljedeću vrijednost površine: (42√3) / 4=4√3 cm2.
Da biste odredili ukupnu površinu, trebate zbrojiti dvije rezultirajuće vrijednosti: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.
Odgovor. 10√3cm2.
Problem 2
Stanje. Postoji pravilna četverokutna piramida. Duljina stranice baze je 7 mm, bočni rub je 16 mm. Morate znati njegovu površinu.
Odluka. Budući da je poliedar četverokut i pravilan, onda je njegova baza kvadrat. Nakon što smo naučili područja baze i bočnih strana, bit će moguće izračunati površinu piramide. Formula za kvadrat je data gore. A na bočnim stranama poznate su sve strane trokuta. Stoga možete koristiti Heronovu formulu za izračunavanje njihovih površina.
Prvi izračuni su jednostavni i vode do ovog broja: 49 mm2. Za drugu vrijednost, morat ćete izračunati poluperimetar: (7 + 162): 2=19,5 mm. Sada možete izračunati površinu jednakokračnog trokuta: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)2)=√2985.9375=54.644 mm 2. Postoje samo četiri takva trokuta, pa ćete ga prilikom izračunavanja konačnog broja morati pomnožiti s 4.
Ispada: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.
Odgovor. Željena vrijednost 267, 576mm2.
Problem 3
Stanje. Za pravilnu četverokutnu piramidu morate izračunati površinu. Poznaje stranu kvadrata - 6 cm i visinu - 4 cm.
Odluka. Najlakši način je upotrijebiti formulu s umnoškom perimetra i apoteme. Prvu vrijednost je lako pronaći. Drugi je malo teži.
Morat ćemo se sjetiti Pitagorinog teorema i razmotriti pravokutni trokut. Nastaje visinom piramide i apoteme, koja je hipotenuza. Drugi krak jednak je polovici stranice kvadrata, budući da visina poliedra pada u njegovu sredinu.
Željena apotema (hipotenuza pravokutnog trokuta) je √(32 + 42)=5 (cm).
Sada možete izračunati potrebnu vrijednost: ½(46)5+62=96 (pogledajte2).
Odgovor. 96 cm2.
Problem 4
Stanje. Zadana je pravilna šesterokutna piramida. Stranice njegove baze su 22 mm, bočna rebra su 61 mm. Kolika je bočna površina ovog poliedra?
Odluka. Obrazloženje u njemu je isto kao što je opisano u problemu br. 2. Samo je tamo data piramida s kvadratom u bazi, a sada je šesterokut.
Prije svega, površina baze se izračunava pomoću gornje formule: (6222) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm2.
Sada trebate saznati poluopseg jednakokračnog trokuta, što je bočna strana. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Ostaje izračunati površinu svake takvetrokut, a zatim ga pomnožite sa šest i dodajte onom koji je ispao za bazu.
Izračun po Heronovoj formuli: √(72(72-22)(72-61)2)=√435600=660 cm2 . Izračuni koji će dati površinu bočne površine: 6606=3960 cm2. Ostaje ih zbrojiti kako bismo saznali cijelu površinu: 5217, 47≈5217 cm2.
Odgovor. Baza - 726√3cm2, bočna površina - 3960cm2, ukupna površina - 5217cm2.
