U mnogim područjima svakodnevnog života, geometrija pomaže ljudima odgovoriti na važna pitanja i riješiti životne probleme. Prije najmanje 4 tisuće godina, ovo znanje je već korišteno, na primjer, u starom Egiptu za upravljanje zemljištem. A danas je mnogim profesijama, od modnih dizajnera do arhitekata, potrebno osnovno znanje geometrije da bi znali izračunati površinu.
Površina tijela i njegova površina
Ovo je mjera koliki je prostor unutar ravnog oblika. Općenito, površina je zbroj svih površina geometrijskih oblika koji pokrivaju površinu objekta. Izračunavanje površine tijela često je potrebno u svakodnevnom životu, na primjer, da biste saznali koliko boje trebate kupiti za prekrivanje zida ili škriljevca za popravak krova kuće.
Ljudi su odavno naučili odrediti površinu ravnih geometrijskih oblika pomoću metode mreže. Sastoji se u činjenici da je skalirana mreža najjednostavnijihkvadrata, na primjer, 1x1 cm. Nakon toga možete jednostavno izračunati površinu kvadrata prebrojavanjem broja kvadrata mreže unutar obrasca. U ovom slučaju, svaki kvadrat mreže je 1 cm širok i 1 cm visok, a površina ovog kvadrata mreže je jedan kvadratni centimetar.
Upotreba mreže za brojanje kvadrata u obliku vrlo je jednostavan način za određivanje površine, ali se ne može koristiti za određivanje površine složenih oblika. Područje tako složenih objekata može se izračunati pomoću jednostavnih matematičkih formula. Najjednostavniji i najčešće korišteni izračuni u životu su površine kvadrata i pravokutnika, a morate znati izračunati površinu u metrima.
Često stvarni izračuni mogu biti složeniji. Na primjer, tipičan tlocrt za sobu ne mora biti jednostavan pravokutnik ili kvadrat. U ovom slučaju, prije izračuna ukupne površine, morate izmjerenu složenu površinu podijeliti na nekoliko jednostavnih geometrijskih oblika.
Jednostavan izračun pravokutnika
Ako pažljivo pogledate oko sebe, možete vidjeti mnogo primjera pravokutnika. Po definiciji, pravokutnik je četverostrani poligon čiji su kutovi pod pravim kutom od 90 stupnjeva. Izračunavanje površine tijela pravokutnika jednostavna je matematička operacija koju osoba najčešće koristi u svakodnevnom životu. Zašto je važno znati formulu površine? Mnogi objekti i okruženja koji okružuju osobu imajupravokutnog oblika: kuća, zidovi, pod, krov. I vrlo često morate znati njihovo područje za gradnju ili popravak.
Ako pravokutnik ima duljinu b i širinu h, možemo pronaći područje S množenjem širine s njegovom duljinom. Stoga: S=bxh.
Primjer. Kako izračunati površinu pravokutnika ako su poznate strana i širina, na primjer, dužina je 4 cm, a širina 3 cm, tada: S=4x3=12.
Odgovor: 12 cm2.
Kvadrat je vrsta pravokutnika s jednakim kutovima i stranicama.
S=bxb=b2.
Primjer. Ako kvadrat ima stranice 3 cm, možemo pronaći S kvadriranjem vrijednosti stranice. Dakle, imamo: S=3h3=9.
Odgovor: 9 cm2.
formule paralelograma
Paralelogram je četverostrani poligon s dva para paralelnih stranica iste duljine. Po definiciji, pravokutnik je također vrsta paralelograma, ali s jednakim kutovima. Površina paralelograma se izračunava na isti način kao i za pravokutnik (visina × širina), ali je važno razumjeti da visina ne znači duljinu okomitih stranica, već udaljenost između stranica.
Iz slike se vidi da je visina udaljenost između dviju paralelnih stranica paralelograma, smještenih pod pravim kutom između njih. S=ADxh. S=bxh, gdje je AD=b - baza, h - visina.
Primjer. Ako paralelogram ima bazu 3 cm i visinu 2 cm, tada je površina S jednaka umnošku baze i visine. Dakle, imamo: S=3h2=6.
Odgovor: 6 cm2.
baza trapeza
Razmotrimo kako pravilno izračunati površinu trapeza. Trapez je četverostrani mnogokut s jednim parom paralelnih stranica. Ako su dvije neparalelne stranice iste duljine, oblik se naziva jednakokraki ili pravilan trapez. Ako neparalelne stranice imaju različite duljine, to se naziva nejednakokračnim. Međutim, unatoč ovoj dodatnoj složenosti u definiciji, površina nepravilnog trapeza može se izračunati pomoću jednostavne formule.
Mjerenja za izračunavanje površine trapeza:
- Poravnajte ravni rub kutomjera duž kraće od dvije paralelne stranice.
- Upotrebom kutomjera nacrtajte okomitu liniju od baze trapeza sve do suprotne paralelne strane.
- Izmjerite visinsku udaljenost pomoću ravnala.
- Izmjerite duljinu kraće paralelne stranice.
- Izmjerite duljinu duže paralelne stranice.
- Da biste pronašli površinu trapeza, prvo morate izračunati prosječnu vrijednost njegove dvije paralelne stranice: (a+b)/2.
- Površina jednakokračnog (ili bilo kojeg) trapeza jednaka je umnošku prosječne duljine baze i vrha po visini.
- Trapezoidna površina: S=1/2×h×(a + b).
Napominjemo da je visina trapeza uvijek okomita na bazu, baš kao i visina paralelograma. Primjer: a=3cm, b=5cm, h=4cm. S=4x(3+5)/2=16.
Odgovor: 16 cm2.
Vrste trokuta
Trokut je poligon koji ima tri strane i može se klasificirati u sljedeće vrste:
- Jednakostranični trokut ima jednake stranice i jednake kutove.
- Jednakokračni trokut ima dvije jednake stranice i dva jednaka kuta.
- Skalirani trokut ima tri nejednake stranice i tri nejednaka kuta.
- Pravokutni trokut ima jedan pravi kut od 90 stupnjeva.
- Oštri trokut ima sve kutove manje od 90 stupnjeva.
- Tupokutni trokut ima jedan kut veći od 90 stupnjeva.
Površina bilo kojeg trokuta određena je formulama.
1. Kako izračunati površinu trokuta ako znate visinu i bazu trokuta:
- S=1⁄2×a×h, gdje je: h visina, a baza.
- S=1⁄2xa×b×sinα, gdje su: a, b bilo koje dvije strane, α je kut između njih.
- S=p×r, gdje je: p=(a+b+c) / 2 - poluperimetar, a, b, c - tri strane, r - polumjer kružnice.
Površina jednakostraničnog trokuta:
S=a2h√3 ⁄4, gdje je a=b=c.
Površina jednakokračnog trokuta:
S=1⁄4xbx√(4a2-b2).
2. Kako izračunati površinu trokuta s dvjema stranicama i kutom između njih:
S=1⁄2xaxbxsinC=1⁄2xbxcxsinA=1⁄2xaxcxsinB
Primjer 1: Pronađite S trokuta čija je stranica 14 cm, a visina 10 cm.
Rješenje: b=14 cm, h=10 cm,A=1⁄2h14h10=70
Odgovor: 70 cm2.
Primjer 2. Pronađite površinu trokuta čije su stranice i kut između njih dani na sljedeći način: a=5 cm i b=7 cm, C=45 stupnjeva.
Rješenje: Površina trokuta=1⁄2xaxbxsin 45.
Površina=1⁄2×5×7×0,707 (budući da sin45=0,707)
Površina=1⁄2×24, 745=12, 3725
Odgovor: 12, 3725 cm2.
Primjer 3. Pronađite površinu (u m2) jednakokračnog trokuta čije su stranice 10 m, a baza 12 m.
Rješenje: Površina jednakokračnog trokuta određena je:
A=1⁄4xbx√(4a2-b2)A=1⁄4x12x√(4x(10) 2-(12)2)A=48
Odgovor: 48 m2.
Primjer 4. Pronađite površinu trokuta čije su stranice 8, 9 i 11. Sve jedinice su u metrima (m).
Rješenje: Strane a=8, b=9 i c=11. Prema Heronovoj formuli, površina trokuta može se odrediti sljedećom formulom: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). Prije svega, moramo definirati s, što je poluopseg trokuta: s=1⁄2x(a+b+c)=1⁄2x(8+9+11)=14.
Sada, umetanjem vrijednosti poluperimetra u Heronovu formulu, možemo odrediti površinu trokuta: A=√(sx(sa)x(sb)x(sc)). A=√(14x(14-8)x(14-9)x(14-11)). A=√(1260)=35, 50
Odgovor: 35, 50 m2.
Mjerenje površine romba
Rhombus je posebna vrsta paralelograma s jednakim stranicama i jednakimsuprotnim kutovima. Područje romba može se odrediti pomoću tri metode.
1. Metoda visine baze. Najprije odaberite bilo koju stranu kao bazu, jer su iste duljine. Zatim odredite visinu - okomitu udaljenost od odabrane baze do suprotne strane.
Površina je proizvod ove dvije veličine i određena je formulom: S=a×h, gdje je: S površina romba, h visina romba, AB=BC=AD=DC=a je stranica romba
2. dijagonalna metoda. Još jedna jednostavna formula za područje romba kada su poznate duljine dijagonala. Površina je polovica umnožaka dijagonala.
Kao formula: S=1/2xACxBD, gdje je: S površina romba, AC je veća dijagonala, BD je manja dijagonala
3. Upotreba trigonometrije. U trigonometriji postoji zgodna formula kada su poznata duljina stranice i bilo koji kut:
S=a2×sin α, gdje je: S površina romba, B=BC=AD=DC=a je stranica romba, α je oštar kut, β je tup kut
Kružna površina
Krug je oblik koji se sastoji od zatvorene zakrivljene linije. Svaki dio linije nalazi se na istoj udaljenosti od središta područja, što se naziva radijus. Od davnina je poznato kako se izračunava površina kruga zadanog radijusa. Površina kruga izračunava se po formuli S=πxr2, gdje je: S površina kruga, π - pi (3,1415), r - polumjer kružnice.
Da biste pronašli područje kruga, učinite sljedeće. Napišite zadani polumjer ili veličinu promjera kao r ili dodnosno. Kako izračunati površinu kruga s obzirom na promjer? Uopće nije teško, trebate izračunati polumjer dijeljenjem promjera s 2, a podatke pomnožiti pomoću kalkulatora ili ručno. Vaš će odgovor biti u kvadratnim jedinicama.
Problem: Pronađite područje kruga polumjera 10 cm.
Rješenje: Imamo polumjer kružnice=10 cm. Površina kružnice=3, 1416×10×10=314, 16.
Odgovor: 314, 16 cm2.
Pronađi površinu kruga promjera 15 cm.
Rješenje: Imamo promjer kruga=15 cm. Radijus=15/2=7,5 cm. Površina kruga=3, 14x7, 5x7, 5=176, 625=176, 63 (zaokružite na 2 znaka nakon zarez).
Odgovor: 176,63 cm2.
Jednostavni geometrijski oblici krovova
Prije nego počnete pokrivati krovove, morate znati izračunati površinu krova kako biste odredili koliko je materijala potrebno. Njegovu količinu uvijek treba uzeti s marginom i dodati najmanje 10 posto ukupne površine krova kako bi se uračunao građevinski otpad.
Prije izračuna, krovna shema je podijeljena na jednostavne geometrijske oblike, u našem primjeru to su dva trapeza i dva trokuta. Kako izračunati površinu krova za trapezoidne elemente? Površina se izračunava prema sljedećoj formuli: S=(a+b)xh/2, gdje je: a - širina donjeg prevjesa - 10 m, b - širina po grebenu - 7 m, h - visina - 5 m.
Za trokutaste elemente primjenjuje se formula: S=axh/2, gdje je: a - širina nagiba duž donjeg prevjesa - 7 m, h - visina nagiba - 3 m.
Narudžba mjerenja:
- Izmjerite duljinu, širinu ivisina svakog geometrijskog oblika krova, uključujući vjetrobranske prozore. Ove informacije mogu biti dostupne u izvornom planu izgradnje kuće, ili ako je površina krova relativno niska i ravna, možete je sami izmjeriti. Ako se vlasnik kuće ne može sigurno popeti na krov, izračun se može izvršiti prema vanjskim mjerama zgrade.
- Pomnožite duljinu i širinu svake trokutaste ili trapezoidne ravnine zasebno.
- Izračunajte površinu za simetrične trokutaste ravnine množenjem duljine baze trokuta (najduže strane) s njegovom visinom (udaljenošću od sredine najduže strane do suprotnog kuta).
- Zatim podijelite s 2 da dobijete rezultat u kvadratnim metrima. S=axh/2=7h3/2=10,5 m2.
- Izračunajte površinu za trapez tako da pomnožite širinu donjeg prevjesa plus širinu na grebenu s njegovom visinom (udaljenost od sredine najduže strane do suprotnog kuta).
- Zatim podijelite zbroj s 2 da dobijete rezultat u kvadratnim metrima.
- Pomnožite površinu s 0,1 da biste dobili 10 posto dodatka za zalihu krovnog materijala S=(a+b)xh/2=(10+7)5/2=42,5m2.
- Dodaj područja svih oblika zajedno. S=10, 5+10, 5+42, 5+42, 5=106m2.
- Rezultat je ukupna površina krova od 106 m2, s marginom od 116 m2.
Instrumentalna mjerenja kod kuće
Da biste izmjerili površinu kuće, trebat će vam alati za vrlo točne izračune koji mogu biti temeljizvršiti popravke, kupoprodaju ili osiguranje kuće. Prije nego što izračunate površinu, morate uzeti mjernu traku, olovku i bilježnicu na kojoj ćete nacrtati najjednostavniji dijagram plana kuće. Može se uzeti iz putovnice programera ili drugih projektnih dokumenata. S potonjim izvorom morate biti oprezni, naznačene brojke možda nisu uvijek točne, na primjer, neki popravci možda neće biti uzeti u obzir u njima. Stoga bi bilo ispravnije da sami izmjerite površinu.
Kako izračunati površinu kuće ručno? Ako trebate ručno izmjeriti podnu površinu, najbolje je izmjeriti vanjske zidove, ne zaboravljajući na razne građevinske udubine, pomoćne prostorije, gornje etaže, pojedinačne zgrade ili garaže. Kada se izvrše jednostavna osnovna mjerenja, površina se izračunava množenjem duljine kuće sa širinom.
Ovisno o obliku plana izgradnje, možda će biti potrebno rastaviti ga na jednostavne geometrijske oblike. U ovom primjeru, kuća je 9 metara sa 12 metara, što nam daje 108 četvornih metara. Garaža je 6 metara sa 3 metra, što je 18 kvadratnih metara, ukupna površina je 126 kvadratnih metara.
Mjere poda prije popravka
Kako izračunati površinu poda prije izvođenja popravaka, kao što je zamjena linoleuma ili farbanje? Za kvadratnu ili pravokutnu sobu, prvo ćete morati izmjeriti duljinu i širinu sobe. Zatim pomnožite duljinu i širinu, dobivamo duljinu x širinu=površina. Dakle, ako je soba široka 3 metra i duga 5 metara, ukupna površinabit će 15 četvornih metara.
Ovo mjerenje se može koristiti za izračunavanje potrebne količine morta za pločice, brtvila, linoleuma koje vlasnik planira koristiti za svoj projekt. Da biste izračunali površinu za odabir materijala, obično trebate dodati faktor sigurnosti od 10%: samo pomnožite površinu s 1, 1, a zatim zaokružite na cijeli broj.
U primjeru gdje je ukupna površina 15m2, morat ćete naručiti dodatne pločice i mort za 16,5 četvornih metara. Ako soba nije pravokutna, morate je podijeliti na dva ili više elementarnih geometrijskih oblika da biste izračunali ukupnu površinu.
kalkulator nepravilnog oblika
Vrlo često mjeren prostor ima vrlo složen oblik, koji se ne može uvijek rastaviti na jednostavne elemente.
Da biste jednostavno odredili takvo područje, trebali biste koristiti internetsku aplikaciju SketchAndCalc. To je kalkulator površine za nepravilne oblike za bilo koji oblik slike. Ovo je jedini kalkulator površine koji može izračunati iz učitanih slika, ima jedinstvenu značajku koja omogućuje korisniku postavljanje mjerila za crtanje bilo koje slike prije crtanja perimetra. Stoga se kutovi ili krivulje nepravilne figure lako izračunavaju.
Jednostavno rečeno, ako postoji slika za učitavanje ili adresa karte za pretraživanje, možete izračunati površinu nepravilnog oblika, bez obzira koliko je složen, samo crtanjemperimetar područja. Kalkulator može čak i zbrojiti izračune više površina crtanjem slojeva. Nakon izračuna prvog područja, možete dodati novi sloj za crtanje, koji vam omogućuje izvođenje neograničenog broja izračuna površine.
Rezultati kalkulatora površine prikazani su u inčima i metrima, povećavajući njegovu korisnost i eliminirajući potrebu za pretvorbom. To, zajedno s preciznim alatima za crtanje i zumiranje, osigurava da se površine svakog nepravilnog oblika točno izračunaju. Također može postaviti pravilne poligone s fiksnim kutovima i preciznim linijama.
Ograničeni alat za uzorke hvata se za uobičajene kutove, a dužina se može ručno uređivati pomoću tipkovnice. Aplikacija je korisna ako područje koje se mjeri ima ravnu stranu ili duljinu. Još jedna jedinstvena značajka SketchAndCalc TM-a je da ima napredni alat za crtanje krivulja za nepravilne oblike. Neke aplikacije za kalkulator područja omogućuju pretraživanje po karti.
SketchAndCalc to čini vrlo precizno koristeći traženje zemljopisne dužine i širine. Bez obzira na to je li površina koja se mjeri na poljoprivrednom zemljištu ili na moru, korisnik će potrošiti manje vremena na traženje, a više na izračun površine. Ovo je univerzalni alat koji se koristi u mnogim industrijama, u građevinarstvu, vrtlarstvu. Koriste ga i entuzijasti za poboljšanje svog doma i lokalnog područja. Pronađen je i kalkulator krajolika ili kalkulator površine zemljištanjegovi korisnici među zemljomjerima. Sada znaju kako brzo i jednostavno izračunati površinu parcele.
Međutim, pored ovih uobičajenih primjena, mnogi ljudi koji rade u obrazovanju, medicini, znanosti i istraživanju moraju izračunati površinu nepravilnih oblika, kao što su stanične membrane ili drugi objekti koji se nalaze u biologiji, i uživaju u korištenju ovu aplikaciju.
Za primjenu matematike u svakodnevnom životu nije dovoljno znati izbrojati jedan plus jedan. Bitan aspekt okoliša su geometrijske strukture, odnosno prikaz svakodnevnih predmeta u pravokutnom, kvadratnom, okruglom ili trokutastom obliku. I morate znati izračunati potrebnu površinu.
Osim toga, geometrijski oblici se također koriste u konstrukciji dijagrama, dijagrama, prezentacija. Zato je toliko važno znati napraviti razne izračune, uključujući izračun površine.
