Kada se proučava stereometrija, jedna od glavnih tema je "Cilindar". Bočna površina smatra se, ako ne glavnom, onda važnom formulom u rješavanju geometrijskih problema. Međutim, važno je zapamtiti definicije koje će vam pomoći u navigaciji kroz primjere i prilikom dokazivanja različitih teorema.
Koncept cilindra
Prvo moramo razmotriti nekoliko definicija. Tek nakon njihovog proučavanja može se početi razmatrati pitanje formule za površinu bočne površine cilindra. Na temelju ovog unosa mogu se izračunati drugi izrazi.
- Cilindrična površina podrazumijeva se kao ravnina opisana generatricom, koja se kreće i ostaje paralelna s danim smjerom, klizi duž postojeće krivulje.
- Postoji i druga definicija: cilindrična površina formirana je skupom paralelnih linija koje sijeku danu krivulju.
- Generativna se konvencionalno naziva visinom cilindra. Kada se kreće oko osi koja prolazi kroz središte baze,dobiva se naznačeno geometrijsko tijelo.
- Pod osi je ravna linija koja prolazi kroz obje baze figure.
- Cilindar je stereometrično tijelo omeđeno bočnom površinom koja se siječe i 2 paralelne ravnine.
Postoje varijante ove trodimenzionalne figure:
- Kružnica je cilindar čija je vodilica kružnica. Njegove glavne komponente su polumjer baze i generatriksa. Potonji je jednak visini figure.
- Postoji ravan cilindar. Ime je dobila zbog okomitosti generatrikse na osnovice figure.
- Treća vrsta je zakošeni cilindar. U udžbenicima možete pronaći i drugi naziv za to - "kružni cilindar sa zakošenom bazom". Ova brojka definira polumjer baze, minimalnu i maksimalnu visinu.
- Jednakostranični cilindar razumijeva se kao tijelo koje ima jednaku visinu i promjer kružne ravnine.
Simboli
Tradicionalno, glavne "komponente" cilindra nazivaju se kako slijedi:
- Polumjer baze je R (također zamjenjuje istu vrijednost stereometričke figure).
- generativno – L.
- Visina – H.
- područje baze - Sbaza(drugim riječima, morate pronaći navedeni parametar kruga).
- Visine cilindra s kosom – h1, h2(minimalna i maksimalna).
- bočna površina - Sstrana (ako ga proširite, dobit ćetevrsta pravokutnika).
- Obim stereometričke figure - V.
- Ukupna površina – S.
"Komponente" stereometričke figure
Prilikom proučavanja cilindra, bočna površina igra važnu ulogu. To je zbog činjenice da je ova formula uključena u nekoliko drugih, složenijih. Stoga je potrebno biti dobro upućen u teoriju.
Glavne komponente figure su:
- Bočna površina. Kao što znate, dobiva se pomicanjem generatrike duž zadane krivulje.
- Puna površina uključuje postojeće baze i bočnu ravninu.
- Presjek cilindra, u pravilu, je pravokutnik koji se nalazi paralelno s osi figure. Inače se zove avion. Ispada da su duljina i širina povremene komponente drugih figura. Dakle, uvjetno, duljine sekcije su generatori. Širina - paralelni akordi stereometričke figure.
- Aksijalni presjek znači položaj ravnine kroz središte tijela.
- I konačno, konačna definicija. Tangenta je ravnina koja prolazi kroz generatricu cilindra i pod pravim kutom na aksijalni presjek. U tom slučaju mora biti ispunjen jedan uvjet. Navedena generatrisa mora biti uključena u ravninu aksijalnog presjeka.
Osnovne formule za rad s cilindrom
Da bismo odgovorili na pitanje kako pronaći površinu cilindra, potrebno je proučiti glavne "komponente" stereometrijske figure i formule za njihovo pronalaženje.
Ove se formule razlikuju po tome što su najprije dati izrazi za zakošeni cilindar, a zatim za ravan.
Dekonstruirani primjeri
Zadatak 1.
Potrebno je znati površinu bočne površine cilindra. Zadana je dijagonala presjeka AC=8 cm (štoviše, aksijalna je). Kada je u kontaktu s generatricom, ispada <ACD=30°
Odluka. Budući da su vrijednosti dijagonale i kuta poznate, u ovom slučaju:
CD=ACcos 30°
Komentar. Trokut ACD, u ovom konkretnom primjeru, je pravokutni trokut. To znači da je kvocijent dijeljenja CD i AC=kosinus zadanog kuta. Vrijednost trigonometrijskih funkcija može se pronaći u posebnoj tablici.
Slično, možete pronaći vrijednost AD:
AD=ACsin 30°
Sada trebate izračunati željeni rezultat koristeći sljedeću formulaciju: površina bočne površine cilindra jednaka je dvostrukom rezultatu množenja "pi", polumjera figure i njegove visine. Također treba koristiti drugu formulu: površina baze cilindra. Jednako je rezultatu množenja "pi" s kvadratom polumjera. I na kraju, posljednja formula: ukupna površina. Jednako je zbroju prethodna dva područja.
Zadatak 2.
Cilindri su dati. Njihov volumen=128n cm³. Koji cilindar ima najmanjipuna površina?
Odluka. Prvo morate koristiti formule za pronalaženje volumena figure i njezine visine.
Budući da je ukupna površina cilindra poznata iz teorije, mora se primijeniti njegova formula.
Ako dobijenu formulu uzmemo u obzir kao funkciju površine cilindra, tada će se minimalni "indikator" postići u točki ekstrema. Da biste dobili posljednju vrijednost, trebate koristiti diferencijaciju.
Formule se mogu vidjeti u posebnoj tablici za pronalaženje izvedenica. U budućnosti, pronađeni rezultat je izjednačen s nulom i rješenje jednadžbe je pronađeno.
Odgovor: Smin bit će postignut na h=1/32 cm, R=64 cm.
Problem 3.
S obzirom na stereometrijski lik - cilindar i presjek. Potonji se provodi na takav način da se nalazi paralelno s osi stereometrijskog tijela. Cilindar ima sljedeće parametre: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. Potrebno je pronaći razmak između presjeka i osi.
Odluka.
Budući da je poprečni presjek cilindra VSCM, tj. pravokutnik, njegova stranica VM=h. WMC treba uzeti u obzir. Trokut je pravokutnog oblika. Na temelju ove tvrdnje možemo zaključiti točnu pretpostavku da je MK=BC.
VK²=VM² + MK²
MK²=VK² - VM²
MK²=17² - 15²
MK²=64
MK=8
Odavde možemo zaključiti da je MK=BC=8 cm.
Sljedeći korak je crtanje presjeka kroz bazu figure. Potrebno je uzeti u obzir rezultirajuću ravninu.
AD – promjer stereometrijske figure. Paralelno je s odjeljkom spomenutim u opisu problema.
BC je ravna linija koja se nalazi na ravnini postojećeg pravokutnika.
ABCD je trapez. U određenom slučaju, smatra se jednakokračnim, jer je oko njega opisan krug.
Ako pronađete visinu rezultirajućeg trapeza, možete dobiti odgovor dat na početku zadatka. Naime: pronalaženje udaljenosti između osi i nacrtanog presjeka.
Da biste to učinili, morate pronaći vrijednosti AD i OS.
Odgovor: presjek se nalazi 3 cm od osi.
Problemi s konsolidacijom materijala
Primjer 1.
Cilindar dat. Bočna površina se koristi u daljnjem rješenju. Druge opcije su poznate. Površina baze je Q, površina aksijalnog presjeka je M. Potrebno je pronaći S. Drugim riječima, ukupna površina cilindra.
Primjer 2.
Cilindar dat. Bočna površina mora se pronaći u jednom od koraka rješavanja problema. Poznato je da je visina=4 cm, polumjer=2 cm. Potrebno je pronaći ukupnu površinu stereometričke figure.
