Što su iracionalni brojevi? Zašto se tako zovu? Gdje se koriste i što su? Malo tko može bez oklijevanja odgovoriti na ova pitanja. Ali u stvari, odgovori na njih su prilično jednostavni, iako ih ne trebaju svi i to u vrlo rijetkim situacijama
Suština i oznaka
Iracionalni brojevi su beskonačni neperiodični decimalni razlomci. Potreba za uvođenjem ovog koncepta proizlazi iz činjenice da dotadašnji pojmovi realnih ili realnih, cijelih, prirodnih i racionalnih brojeva više nisu bili dovoljni za rješavanje novih problema koji se pojavljuju. Na primjer, da biste izračunali koliki je kvadrat od 2, trebate koristiti beskonačne decimale koje se ne ponavljaju. Osim toga, mnoge od najjednostavnijih jednadžbi također nemaju rješenja bez uvođenja koncepta iracionalnog broja.
Ovaj skup je označen kao I. I, kao što je već jasno, ove vrijednosti se ne mogu predstaviti kao jednostavan razlomak, u čijem će brojniku biti cijeli broj, a u nazivniku - prirodni broj.
Prvi put ikadinače, indijski matematičari susreli su se s ovim fenomenom u 7. stoljeću prije Krista, kada je otkriveno da se kvadratni korijeni nekih veličina ne mogu eksplicitno naznačiti. A prvi dokaz postojanja takvih brojeva pripisuje se pitagorejskom Hipasu, koji je to učinio u procesu proučavanja jednakokračnog pravokutnog trokuta. Ozbiljan doprinos proučavanju ovog skupa dali su i neki drugi znanstvenici koji su živjeli prije naše ere. Uvođenje koncepta iracionalnih brojeva podrazumijevalo je reviziju postojećeg matematičkog sustava, zbog čega su oni toliko važni.
Porijeklo imena
Ako omjer na latinskom znači "razlomak", "omjer", onda prefiks "ir"
daje ovoj riječi suprotno značenje. Dakle, naziv skupa ovih brojeva ukazuje da se oni ne mogu povezati s cijelim ili razlomkom, oni imaju zasebno mjesto. To proizlazi iz njihove suštine.
Mjesto u ukupnom plasmanu
Iracionalni brojevi, zajedno s racionalnim brojevima, pripadaju skupini realnih ili realnih brojeva, koji pak pripadaju kompleksnim brojevima. Međutim, nema podskupova, postoje algebarske i transcendentalne varijante, o čemu će biti riječi u nastavku.
Svojstva
Budući da su iracionalni brojevi dio skupa realnih brojeva, sva njihova svojstva koja se proučavaju u aritmetici (nazivaju se i osnovni algebarski zakoni) vrijede za njih.
a + b=b + a (komutativnost);
(a + b) + c=a + (b + c)(asocijativnost);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (postojanje suprotnog broja);
ab=ba (zakon pomaka);
(ab)c=a(bc) (distributivnost);
a(b+c)=ab + ac (distributivni zakon);
a x 1=a
a x 1/a=1 (postojanje inverznog broja);
Usporedba se također provodi u skladu s općim zakonima i načelima:
Ako je a > b i b > c, onda je > c (prolaznost omjera) i. itd.
Naravno, svi iracionalni brojevi mogu se pretvoriti pomoću osnovne aritmetike. Za to ne postoje posebna pravila.
Osim toga, Arhimedov aksiom se odnosi na iracionalne brojeve. Kaže da je za bilo koje dvije veličine a i b istinita tvrdnja da ako uzmete a kao pojam dovoljno puta, možete nadmašiti b.
Koristite
Unatoč činjenici da u običnom životu ne morate često imati posla s njima, iracionalni brojevi se ne mogu prebrojati. Ima ih puno, ali su gotovo nevidljivi. Posvuda smo okruženi iracionalnim brojevima. Svima poznati primjeri su broj pi, jednak 3, 1415926 …, ili e, koji je u biti baza prirodnog logaritma, 2, 718281828 … U algebri, trigonometriji i geometriji, moraju se stalno koristiti. Inače, poznata vrijednost "zlatnog presjeka", odnosno omjera većeg dijela prema manjem i obrnuto, također je
pripada ovom skupu. Manje poznato "srebro" - također.
Nalaze se vrlo gusto na brojevnoj liniji, tako da između bilo koje dvije vrijednosti koje se odnose na skup racionalnih, sigurno će se pojaviti iracionalna.
Još ima puno neriješenih problema vezanih uz ovaj set. Postoje kriteriji kao što su mjera iracionalnosti i normalnost broja. Matematičari nastavljaju ispitivati najznačajnije primjere njihove pripadnosti jednoj ili drugoj skupini. Na primjer, vjeruje se da je e normalan broj, odnosno da je vjerojatnost pojavljivanja različitih znamenki u njegovom zapisu ista. Što se tiče pi, istraživanja su još u tijeku. Mjera iracionalnosti također se naziva vrijednost koja pokazuje koliko dobro se ovaj ili onaj broj može aproksimirati racionalnim brojevima.
Algebarski i transcendentalni
Kao što je već spomenuto, iracionalni brojevi se uvjetno dijele na algebarske i transcendentalne. Uvjetno, budući da se, strogo govoreći, ova klasifikacija koristi za dijeljenje skupa C.
Ova oznaka skriva kompleksne brojeve, koji uključuju realne ili realne brojeve.
Dakle, algebarska vrijednost je vrijednost koja je korijen polinoma koji nije identično jednak nuli. Na primjer, kvadratni korijen od 2 bio bi u ovoj kategoriji jer je rješenje jednadžbe x2 - 2=0.
Svi ostali realni brojevi koji ne zadovoljavaju ovaj uvjet nazivaju se transcendentalnimi. Na ovu sortuuključuju najpoznatije i već spomenute primjere - broj pi i bazu prirodnog logaritma e.
Zanimljivo je da matematičari nisu izvorno zaključili ni jedno ni drugo u tom svojstvu, njihova iracionalnost i transcendentnost dokazani su mnogo godina nakon njihovog otkrića. Za pi je dokaz dat 1882., a pojednostavljen 1894., čime je stavljena točka na 2500-godišnju polemiku o problemu kvadrature kružnice. Još uvijek nije u potpunosti shvaćeno, pa moderni matematičari imaju na čemu raditi. Usput, prvi dovoljno točan izračun ove vrijednosti proveo je Arhimed. Prije njega svi su izračuni bili previše približni.
Za e (Euler ili Napier brojevi), dokaz njegove transcendentnosti pronađen je 1873. Koristi se u rješavanju logaritamskih jednadžbi.
Drugi primjeri uključuju sinusne, kosinusne i tangentne vrijednosti za sve algebarske vrijednosti različite od nule.
