Za početak, vrijedi se prisjetiti što je diferencijal i koje matematičko značenje nosi.
Diferencijal funkcije je proizvod derivacije funkcije iz argumenta i diferencijala samog argumenta. Matematički, ovaj koncept se može napisati kao izraz: dy=y'dx.
Zauzvrat, prema definiciji derivacije funkcije, jednakost y'=lim dx-0(dy/dx) je istinita, a prema definiciji granice, izraz dy/dx=x'+α, gdje je parametar α beskonačno mala matematička vrijednost.
Stoga, oba dijela izraza treba pomnožiti s dx, što u konačnici daje dy=y'dx+αdx, gdje je dx beskonačno mala promjena u argumentu, (αdx) je vrijednost koji se može zanemariti, tada je dy prirast funkcije, a (ydx) je glavni dio prirasta ili diferencijala.
Diferencijal funkcije je proizvod derivacije funkcije i diferencijala argumenta.
Sada vrijedi razmotriti osnovna pravila diferencijacije, koja se vrlo često koriste u matematičkoj analizi.
Teorem. Derivat zbroja jednak je zbroju izvedenica dobivenih iz pojmova: (a+c)'=a'+c'.
Sličnoovo će se pravilo primjenjivati i na pronalaženje derivacije razlike.
Posljedica ovog pravila diferencijacije je izjava da je derivacija određenog broja pojmova jednaka zbroju izvedenica dobivenih iz ovih pojmova.
Na primjer, ako trebate pronaći derivaciju izraza (a+c-k)', tada će rezultat biti izraz a'+c'-k'.
Teorem. Derivat umnoška matematičkih funkcija koje su diferencibilne u točki jednak je zbroju koji se sastoji od umnoška prvog faktora i derivacije drugog i umnoška drugog faktora i derivacije prvog.
Matematički, teorem će biti napisan na sljedeći način: (ac)'=ac'+a'c. Posljedica teorema je zaključak da se konstantni faktor u derivaciji proizvoda može izvaditi iz derivacije funkcije.
U obliku algebarskog izraza, ovo pravilo će biti zapisano na sljedeći način: (ac)'=ac', gdje je a=konst.
Na primjer, ako trebate pronaći derivaciju izraza (2a3)', tada će rezultat biti odgovor: 2(a3)'=23a2=6a2.
Teorem. Derivat omjera funkcija jednak je omjeru između razlike između derivacije brojnika pomnoženog nazivnikom i brojnika pomnoženog s derivacijom nazivnika i kvadrata nazivnika.
Matematički, teorem će biti napisan na sljedeći način: (a/c)'=(a'c-ac')/c2.
Zaključno, potrebno je razmotriti pravila za razlikovanje složenih funkcija.
Teorem. Neka funkcija y=f (x), gdje je x=c (t), zatim funkcija y, s obzirom nana varijablu m, naziva se složenim.
Dakle, u matematičkoj analizi, derivacija složene funkcije se tumači kao derivacija same funkcije, pomnožena s derivacijom njezine podfunkcije. Radi praktičnosti, pravila za razlikovanje složenih funkcija predstavljena su u obliku tablice.
f(x) |
f'(x) |
| (1/s)' | -(1/s2)s' |
| (as)' | ac(ln a)c' |
| (es)' | ecc' |
| (ln s)' | (1/s)s' |
| (log ac)' | 1/(slg a)c' |
| (grijeh c)' | cos ss' |
| (cos c)' | -sin ss' |
Uz redovitu upotrebu ove tablice, izvedenice se lako pamte. Preostale derivacije složenih funkcija mogu se pronaći primjenom pravila za diferenciranje funkcija koja su navedena u teoremima i posljedicama za njih.
