U ovom se članku metoda razmatra kao način rješavanja sustava linearnih jednadžbi (SLAE). Metoda je analitička, odnosno omogućuje vam da napišete opći algoritam rješenja, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom možete raditi i s onima koje imaju beskonačno mnogo rješenja. Ili ga uopće nemate.
Što znači riješiti Gaussovom metodom?
Prvo, moramo zapisati naš sustav jednadžbi kao matricu. To izgleda ovako. Sustav se uzima:
Koeficijenti su upisani u obliku tablice, a desno u posebnom stupcu - slobodni članovi. Stupac sa slobodnim članovima odvojen je radi praktičnosti okomitom trakom. Matrica koja uključuje ovaj stupac naziva se proširena.
Dalje, glavna matrica s koeficijentima se mora svesti na gornji trokutasti oblik. To je glavna točka rješavanja sustava Gaussovom metodom. Jednostavno, nakon određenih manipulacija, matrica bi trebala izgledati ovako, tako da u njenom donjem lijevom dijelu postoje samo nule:
Zatim, ako novu matricu ponovno napišete kao sustav jednadžbi, primijetit ćete da zadnji redak već sadrži vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje u gornju jednadžbu, pronađen je drugi korijen, i tako dalje.
Ovo je opis Gaussovog rješenja u najopćenitijim uvjetima. A što se događa ako odjednom sustav nema rješenje? Ili ih ima beskonačan broj? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je zasebno razmotriti sve elemente korištene u rješenju Gaussovom metodom.
Matrice, njihova svojstva
Nema skrivenog značenja u matrici. To je samo prikladan način za snimanje podataka za kasnije operacije. Čak ih se i školarci ne bi trebali bojati.
Matrica je uvijek pravokutna jer je prikladnija. Čak i kod Gaussove metode, gdje se sve svodi na građenje trokutaste matrice, u unosu se pojavljuje pravokutnik, samo s nulama na mjestu gdje nema brojeva. Nule se mogu izostaviti, ali se podrazumijevaju.
Matrix ima veličinu. Njegova "širina" je broj redaka (m), njegova "duljina" je broj stupaca (n). Tada će se veličina matrice A (za njihovo označavanje obično koriste velika latinična slova) biti označena kao Am×n. Ako je m=n, tada je ova matrica kvadratna im=n - njegov redoslijed. Prema tome, bilo koji element matrice A može se označiti brojem njegovog retka i stupca: axy; x - broj retka, promjena [1, m], y - broj stupca, promjena [1, n].
U Gaussovoj metodi, matrice nisu glavna točka rješenja. U principu, sve se operacije mogu izvesti izravno sa samim jednadžbama, međutim, notacija će biti mnogo glomaznija i bit će puno lakše zabuniti se u njoj.
Kvalifikacije
Matrica također ima determinantu. Ovo je vrlo važna značajka. Sada se ne isplati saznati njegovo značenje, možete jednostavno pokazati kako se izračunava, a zatim reći koja svojstva matrice određuje. Najlakši način za pronalaženje determinante je dijagonalama. U matrici su nacrtane imaginarne dijagonale; elementi koji se nalaze na svakom od njih se množe, a zatim se dodaju rezultirajući proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - sa znakom "plus", s nagibom ulijevo - sa znakom "minus".
Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravokutnu matricu možete učiniti sljedeće: odabrati najmanji od broja redaka i broja stupaca (neka bude k), a zatim nasumično označiti k stupaca i k redaka u matrici. Elementi koji se nalaze na sjecištu odabranih stupaca i redaka formirat će novu kvadratnu matricu. Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, tada će se zvati osnovnim minorom izvorne pravokutne matrice.
Prijekako početi rješavati sustav jednadžbi Gaussovom metodom, ne škodi izračunati determinantu. Ako se pokaže da je nula, tada možemo odmah reći da matrica ima ili beskonačan broj rješenja, ili ih uopće nema. U tako tužnom slučaju, morate ići dalje i saznati o rangu matrice.
Klasifikacija sustava
Postoji takva stvar kao što je rang matrice. Ovo je maksimalni red njezine determinante koja nije nula (sjetimo se baznog minora, možemo reći da je rang matrice red baznog minora).
Kako stvari stoje s rangom, SLOW se može podijeliti na:
- Joint. Za zajedničke sustave, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) podudara se s rangom proširene (sa stupcem slobodnih pojmova). Takvi sustavi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, stoga se zglobni sustavi dodatno dijele na:
- - definitivno - ima jedinstveno rješenje. U određenim sustavima, rang matrice i broj nepoznanica su jednaki (ili broj stupaca, što je ista stvar);
- - neodređeno - s beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica u takvim sustavima manji je od broja nepoznanica.
- Nekompatibilno. Za takve sustave, rangovi glavne i proširene matrice se ne podudaraju. Nekompatibilni sustavi nemaju rješenja.
Gaussova metoda je dobra jer vam omogućuje da dobijete ili nedvosmislen dokaz nekonzistentnosti sustava (bez izračunavanja determinanti velikih matrica) ili opće rješenje za sustav s beskonačnim brojem rješenja.
Elementarne transformacije
Prijekako nastaviti izravno do rješenja sustava, možete ga učiniti manje glomaznim i prikladnijim za izračune. To se postiže elementarnim transformacijama - tako da njihova provedba ni na koji način ne mijenja konačni odgovor. Treba napomenuti da neke od navedenih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice, čiji je izvor bio upravo SLAE. Ovdje je popis ovih transformacija:
- Promjena nizova. Očito je da ako promijenimo redoslijed jednadžbi u zapisu sustava, onda to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Stoga je također moguće zamijeniti redove u matrici ovog sustava, ne zaboravljajući, naravno, na stupac slobodnih članova.
- Množenje svih elemenata niza nekim faktorom. Jako korisno! Pomoću njega možete smanjiti velike brojeve u matrici ili ukloniti nule. Skup rješenja, kao i obično, neće se promijeniti, a postat će prikladnije obavljati daljnje operacije. Glavna stvar je da koeficijent ne smije biti jednak nuli.
- Brisanje redaka s proporcionalnim koeficijentima. To dijelom proizlazi iz prethodnog stavka. Ako dva ili više redaka u matrici imaju proporcionalne koeficijente, tada se pri množenju / dijeljenju jednog od redaka s koeficijentom proporcionalnosti dobivaju dva (ili, opet, više) apsolutno identična reda, a možete ukloniti dodatne, ostavljajući samo jedan.
- Izbrišite nulti redak. Ako se tijekom transformacije negdje dobije niz u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni član, jednaki nuli, tada se takav niz može nazvati nula i izbaciti iz matrice.
- Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (premaodgovarajući stupci) pomnoženo s nekim koeficijentom. Najnejasnija i najvažnija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadržati na tome.
Dodavanje niza pomnoženog s faktorom
Za lakše razumijevanje, vrijedi rastaviti ovaj proces korak po korak. Dva retka su uzeta iz matrice:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Recimo da drugom trebate dodati prvi pomnožen s koeficijentom "-2".
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Tada se drugi red u matrici zamjenjuje novim, dok prvi ostaje nepromijenjen.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Treba napomenuti da se faktor množenja može odabrati na način da, kao rezultat zbrajanja dva niza, jedan od elemenata novog niza bude jednak nuli. Stoga je moguće dobiti jednadžbu u sustavu, gdje će biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednadžbe, tada se operacija može ponoviti i dobiti jednadžbu koja će već sadržavati dvije manje nepoznanice. A ako svaki put okrenemo na nulu jedan koeficijent za sve retke koji su niži od izvornog, onda se možemo, poput koraka, spustiti do samog dna matrice i dobiti jednadžbu s jednom nepoznanicom. Ovo se zoveriješiti sustav pomoću Gaussove metode.
Općenito
Neka postoji sustav. Ima m jednadžbi i n nepoznatih korijena. Možete to napisati ovako:
Glavna matrica je sastavljena od koeficijenata sustava. Stupac slobodnih članova dodan je proširenoj matrici i odvojen trakom radi praktičnosti.
Sljedeće:
- prvi red matrice se množi s koeficijentom k=(-a21/a11);
- dodaju se prvi modificirani redak i drugi redak matrice;
- umjesto drugog retka, rezultat dodavanja iz prethodnog odlomka se umeće u matricu;
- sad je prvi koeficijent u novom drugom retku a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Sada se izvodi isti niz transformacija, samo prvi i treći redak su uključeni. Prema tome, u svakom koraku algoritma, element a21 zamjenjuje se s a31. Zatim se sve ponavlja za a41, … am1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u recima [2, m] jednak nuli. Sada morate zaboraviti na red broj jedan i izvesti isti algoritam počevši od drugog retka:
- k koeficijent=(-a32/a22);
- drugi izmijenjeni redak dodaje se u "trenutni" redak;
- rezultat zbrajanja zamjenjuje se u treći, četvrti i tako dalje redak, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
- u recima [3, m] matrice prva dva elementa su već jednaka nuli.
Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k=(-am, m-1/amm). To znači da je algoritam zadnji put pokrenut samo za nižu jednadžbu. Sada matrica izgleda kao trokut, ili ima stepenasti oblik. Donji redak sadrži jednadžbu amn × x =bm. Koeficijent i slobodni termin su poznati, a korijen se izražava kroz njih: x =bm/amn. Dobiveni korijen zamjenjuje se u gornji red kako bi se pronašlo xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. I tako dalje po analogiji: u svakom sljedećem retku nalazi se novi korijen, a kada se dosegne "vrh" sustava, može se pronaći skup rješenja [x1, … x ]. Bit će jedini.
Kada nema rješenja
Ako su u jednom od redaka matrice svi elementi, osim slobodnog člana, jednaki nuli, tada jednadžba koja odgovara ovom redu izgleda kao 0=b. Nema rješenja. A budući da je takva jednadžba uključena u sustav, tada je skup rješenja cijelog sustava prazan, odnosno degeneriran.
Kada postoji beskonačan broj rješenja
Može se pokazati da u reduciranoj trokutastoj matrici nema redaka s jednim elementom - koeficijentom jednadžbe, i jednim - slobodnim članom. Postoje samo nizovi koji bi, kada se ponovno napišu, izgledali kao jednadžba s dvije ili više varijabli. To znači da sustav ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, odgovor se može dati u obliku općeg rješenja. Kako to učiniti?
Svevarijable u matrici se dijele na osnovne i slobodne. Osnovni - to su oni koji stoje "na rubu" redaka u stepenastoj matrici. Ostali su besplatni. U općem rješenju osnovne varijable su zapisane u terminima slobodnih.
Radi praktičnosti, matrica se prvo prepisuje natrag u sustav jednadžbi. Zatim u posljednjoj od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. To se radi za svaku jednadžbu s jednom osnovnom varijablom. Zatim se u ostalim jednadžbama, gdje je to moguće, umjesto osnovne varijable, zamjenjuje za nju dobiveni izraz. Ako je rezultat opet izraz koji sadrži samo jednu osnovnu varijablu, odatle se ponovno izražava, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne zapiše kao izraz sa slobodnim varijablama. Ovo je opće rješenje za SLAE.
Možete pronaći i osnovno rješenje sustava - dajte slobodnim varijablama bilo koje vrijednosti, a zatim izračunajte vrijednosti osnovnih varijabli za ovaj konkretni slučaj. Postoji beskonačno mnogo konkretnih rješenja.
Rješenje s konkretnim primjerima
Ovdje je sustav jednadžbi.
Za praktičnost, bolje je odmah napraviti njegovu matricu
Poznato je da će pri rješavanju Gaussovom metodom jednadžba koja odgovara prvom redu ostati nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga će biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada prvi elementiostali redovi nakon operacija će se pretvoriti u nulu. To znači da će u sastavljenoj matrici biti korisno staviti drugi red na mjesto prvog.
Dalje, trebate promijeniti drugi i treći redak tako da prvi elementi postanu nula. Da biste to učinili, dodajte ih prvom, pomnoženo s koeficijentom:
drugi redak: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
treći red: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Sada, da se ne biste zbunili, trebate napisati matricu s međurezultatima transformacija.
Očito je da se ovakva matrica može učiniti čitljivijom uz pomoć nekih operacija. Na primjer, možete ukloniti sve "minuse" iz drugog retka tako da svaki element pomnožite s "-1".
Također je vrijedno napomenuti da su u trećem retku svi elementi višestruki od tri. Onda možešizrežite niz ovim brojem, množeći svaki element s "-1/3" (minus - u isto vrijeme za uklanjanje negativnih vrijednosti).
Izgleda puno ljepše. Sada moramo ostaviti na miru prvu liniju i raditi s drugom i trećom. Zadatak je dodati drugi red trećem redu, pomnožen s takvim faktorom da element a32 postane nula.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (ako tijekom nekih transformacija u odgovoru se pokazalo da nije cijeli broj, preporuča se ostaviti ga "kao što jest", u obliku običnog razlomka, a tek onda, kada se dobiju odgovori, odlučiti hoćete li zaokružiti i pretvoriti u drugi oblik notacija)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matrica se ponovno ispisuje s novim vrijednostima.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kao što možete vidjeti, rezultirajuća matrica već ima stepenasti oblik. Stoga nisu potrebne daljnje transformacije sustava Gaussovom metodom. Ono što se ovdje može učiniti je ukloniti ukupni koeficijent "-1/7" iz trećeg retka.
Sada sviLijepo. Stvar je mala - ponovno napišite matricu u obliku sustava jednadžbi i izračunajte korijene
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritam po kojem će se korijeni sada pronaći zove se obrnuti potez u Gaussovoj metodi. Jednadžba (3) sadrži vrijednost z:
z=61/9
Dalje, vratite se na drugu jednadžbu:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
A prva jednadžba vam omogućuje da pronađete x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Takav sustav imamo pravo nazvati zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno jedinstvenim rješenjem. Odgovor je napisan u sljedećem obliku:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Primjer neodređenog sustava
Analizirana je varijanta rješavanja određenog sustava Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slučaj ako je sustav neodređen, odnosno za njega se može naći beskonačno mnogo rješenja.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Sam oblik sustava već je alarmantan, jer je broj nepoznanica n=5, a rang matrice sustava je već točno manji od ovog broja, jer je broj redaka m=4, odnosno najveći red kvadratne determinante je 4. Dakle,Postoji beskonačan broj rješenja i moramo tražiti njegov opći oblik. Gaussova metoda za linearne jednadžbe omogućuje vam da to učinite.
Prvo, kao i obično, sastavlja se proširena matrica.
Drugi redak: koeficijent k=(-a21/a11)=-3. U trećem redu, prvi element je prije transformacija, tako da ne trebate ništa dirati, morate ostaviti kako jest. Četvrti redak: k=(-a41/a11)=-5
Množenjem elemenata prvog retka svakim od njihovih koeficijenata naizmjence i dodavanjem u tražene redove, dobivamo matricu sljedećeg oblika:
Kao što možete vidjeti, drugi, treći i četvrti red sastoje se od elemenata proporcionalnih jedan drugome. Drugi i četvrti su općenito isti, tako da se jedan od njih može odmah ukloniti, a ostatak pomnožiti s koeficijentom "-1" i dobiti redak broj 3. I opet, ostavite jedan od dva identična retka.
Rezultat je takva matrica. Sustav još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - stoje na koeficijentima a11=1 i a22=1, i besplatno - sve ostalo.
Postoji samo jedna osnovna varijabla u drugoj jednadžbi - x2. Stoga se odatle može izraziti pisanjem kroz varijable x3, x4, x5, što besplatni su.
Zamijenite rezultirajući izraz u prvu jednadžbu.
Ispostavila se jednadžba u kojojjedina osnovna varijabla je x1. Učinimo s njim isto kao s x2.
Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izražene su u terminima tri slobodne varijable, sada možete napisati odgovor u općem obliku.
Možete odrediti i jedno od posebnih rješenja sustava. U takvim slučajevima, u pravilu, nule se biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada će odgovor biti:
-16, 23, 0, 0, 0.
Primjer nekonzistentnog sustava
Rješenje nekonzistentnih sustava jednadžbi Gaussovom metodom je najbrže. Završava čim se u jednoj od faza dobije jednadžba koja nema rješenja. Odnosno, faza s izračunom korijena, koja je prilično duga i turobna, nestaje. Razmatra se sljedeći sustav:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Kao i obično, matrica je sastavljena:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
I svedeno na stepenasti oblik:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Nakon prve transformacije, treći redak sadrži jednadžbu oblika
0=7, nema rješenja. Dakle, sustavje nedosljedan, a odgovor je prazan skup.
Prednosti i nedostaci metode
Ako odaberete metodu rješavanja SLAE-a na papiru olovkom, tada će metoda koja je razmatrana u ovom članku izgledati najatraktivnije. U elementarnim transformacijama puno se teže zbuniti nego što se to događa ako morate ručno tražiti determinantu ili neku zeznutu inverznu matricu. Međutim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, na primjer, proračunske tablice, onda se ispostavi da takvi programi već sadrže algoritme za izračunavanje glavnih parametara matrica - determinante, minore, inverzne i transponirane matrice i tako dalje.. A ako ste sigurni da će stroj sam izračunati te vrijednosti i da neće pogriješiti, svrsishodnije je koristiti matričnu metodu ili Cramerove formule, jer njihova primjena počinje i završava izračunavanjem determinanti i inverznih matrica.
Prijava
Budući da je Gaussovo rješenje algoritam, a matrica je, zapravo, dvodimenzionalni niz, može se koristiti u programiranju. No budući da se članak pozicionira kao vodič "za lutke", treba reći da je najlakše mjesto za postavljanje metode proračunske tablice, na primjer, Excel. Opet, bilo koji SLAE uneseni u tablicu u obliku matrice Excel će smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za operacije s njima postoji mnogo lijepih naredbi: zbrajanje (možete dodati samo matrice iste veličine!), množenje brojem, množenje matrice (također sodređena ograničenja), pronalaženje inverzne i transponirane matrice i, što je najvažnije, izračunavanje determinante. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, puno je brže odrediti rang matrice i stoga utvrditi njezinu kompatibilnost ili nedosljednost.
