Vjerojatno je pojam izvedenice svakome od nas poznat još od škole. Studenti obično imaju poteškoća s razumijevanjem ove, bez sumnje, vrlo važne stvari. Aktivno se koristi u raznim područjima života ljudi, a mnoga inženjerska razvoja temeljila su se upravo na matematičkim izračunima dobivenim pomoću izvedenice. No prije nego što pređemo na analizu što su derivacije brojeva, kako ih izračunati i gdje su nam korisne, zaronimo u povijest.
Povijest
Koncept derivacije, koji je temelj matematičke analize, otkrio je (bolje bi bilo reći "izumio", jer u prirodi kao takav nije postojao) od strane Isaaca Newtona kojeg svi poznajemo od otkrića zakona univerzalne gravitacije. On je prvi primijenio ovaj koncept u fizici kako bi povezao prirodu brzine i ubrzanja tijela. I mnogi znanstvenici još uvijek hvale Newtona za ovaj veličanstveni izum, jer je on zapravo izumio osnovu diferencijalnog i integralnog računa, zapravo, osnovu cijelog područja matematike zvanog "račun". Da je u to vrijeme Nobelovu nagradu, Newton bi je s velikom vjerojatnošću dobio nekoliko puta.
Ne bez drugih velikih umova. Osim Newtonatakvi eminentni matematički geniji kao što su Leonhard Euler, Louis Lagrange i Gottfried Leibniz radili su na razvoju derivacije i integrala. Zahvaljujući njima dobili smo teoriju diferencijalnog računa u obliku u kojem postoji do danas. Usput, Leibniz je bio taj koji je otkrio geometrijsko značenje derivacije, za koje se pokazalo da nije ništa drugo do tangenta nagiba tangente na graf funkcije.
Što su derivacije brojeva? Ponovimo malo što smo prošli u školi.
Što je izvedenica?
Ovaj koncept se može definirati na nekoliko različitih načina. Najjednostavnije objašnjenje je da je derivacija brzina promjene funkcije. Zamislite graf neke funkcije y od x. Ako nije ravno, onda ima neke krivulje na grafikonu, razdoblja porasta i pada. Ako uzmemo neki beskonačno mali interval ovog grafa, bit će to ravni segment. Dakle, omjer veličine ovog beskonačno malog segmenta duž y koordinate prema veličini duž koordinate x bit će derivacija ove funkcije u danoj točki. Ako promatramo funkciju kao cjelinu, a ne u određenoj točki, tada ćemo dobiti deriviranu funkciju, odnosno određenu ovisnost y o x.
Osim toga, osim fizičkog značenja derivacije kao brzine promjene funkcije, postoji i geometrijsko značenje. Sada ćemo razgovarati o njemu.
geometrijski smisao
Derivati brojeva sami po sebi predstavljaju određeni broj, koji, bez pravilnog razumijevanja, ne nosinema smisla. Ispada da derivacija ne pokazuje samo brzinu rasta ili smanjenja funkcije, već i tangentu nagiba tangente na graf funkcije u danoj točki. Ne baš jasna definicija. Analizirajmo ga detaljnije. Recimo da imamo graf funkcije (zbog interesa, uzmimo krivulju). Ima beskonačan broj točaka, ali postoje područja u kojima samo jedna točka ima maksimum ili minimum. Kroz svaku takvu točku moguće je povući pravac koji bi bio okomit na graf funkcije u toj točki. Takav pravac će se zvati tangenta. Recimo da smo ga potrošili do sjecišta s osi OX. Dakle, kut dobiven između tangente i osi OX bit će određen derivacijom. Točnije, tangenta ovog kuta bit će jednaka njemu.
Popričajmo malo o posebnim slučajevima i analizirajmo izvedenice brojeva.
Posebni slučajevi
Kao što smo već rekli, derivacije brojeva su vrijednosti derivacije u određenoj točki. Na primjer, uzmimo funkciju y=x2. Izvod x je broj, au općem slučaju funkcija jednaka 2x. Ako trebamo izračunati derivaciju, recimo, u točki x0=1, tada ćemo dobiti y'(1)=21=2. Sve je vrlo jednostavno. Zanimljiv slučaj je derivacija kompleksnog broja. Nećemo ulaziti u detaljno objašnjenje što je složeni broj. Recimo samo da se radi o broju koji sadrži takozvanu imaginarnu jedinicu – broj čiji je kvadrat -1. Izračun takve derivacije moguć je samo ako je sljedećeuvjeti:
1) Moraju postojati parcijalne derivacije prvog reda realnih i imaginarnih dijelova u odnosu na Y i X.
2) Zadovoljeni su Cauchy-Riemannovi uvjeti povezani s jednakošću parcijalnih derivacija opisanih u prvom paragrafu.
Još jedan zanimljiv slučaj, iako nije tako kompliciran kao prethodni, je derivacija negativnog broja. Zapravo, svaki negativan broj može se predstaviti kao pozitivan broj pomnožen s -1. Pa, derivacija konstante i funkcije jednaka je konstanti pomnoženoj s derivacijom funkcije.
Bit će zanimljivo naučiti o ulozi izvedenice u svakodnevnom životu, a o tome ćemo sada razgovarati.
Prijava
Vjerojatno se svatko od nas barem jednom u životu uhvati kako misli da mu matematika vjerojatno neće biti od koristi. A tako komplicirana stvar kao što je derivat, vjerojatno uopće nema primjenu. Zapravo, matematika je temeljna znanost, a sve njezine plodove razvijaju uglavnom fizika, kemija, astronomija, pa čak i ekonomija. Derivat je bio početak matematičke analize, koja nam je dala mogućnost izvlačenja zaključaka iz grafova funkcija, a mi smo naučili tumačiti zakone prirode i zahvaljujući tome ih pretvoriti u svoju korist.
Zaključak
Naravno, ne mora svatko trebati derivat u stvarnom životu. Ali matematika razvija logiku, koja će svakako biti potrebna. Matematiku ne uzalud nazivaju kraljicom znanosti: ona čini osnovu za razumijevanje drugih područja znanja.
