Izvod kosinusa nalazi se po analogiji s derivacijom sinusa, osnova dokaza je definicija granice funkcije. Možete koristiti drugu metodu, koristeći formule trigonometrijske redukcije za kosinus i sinus kutova. Izrazite jednu funkciju u terminima druge - kosinus u terminima sinusa i diferencirajte sinus sa složenim argumentom.
Razmotrimo prvi primjer izvođenja formule (Cos(x))'
Dajte zanemarivo mali prirast Δx argumentu x funkcije y=Cos(x). S novom vrijednošću argumenta h+Δh dobivamo novu vrijednost funkcije Cos(h+Δh). Tada će prirast funkcije Δy biti jednak Cos(h+Δx)-Cos(x).
Omjer prirasta funkcije i Δh bit će: (Cos(h+Δx)-Cos(x)) /Δh. Izvršimo identične transformacije u brojniku dobivenog razlomka. Prisjetimo se formule za razliku u kosinusima kutova, rezultat će biti umnožak -2Sin (Δx / 2) puta Sin (x + Δx / 2). Nalazimo granicu kvocijenta lim ovog proizvoda na Δx jer Δx teži nuli. Poznato je da je prvi(zove se divno) granica lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) jednaka je 1, a granica -Sin(x+Δx/2) jednaka je -Sin(x) kao Δx teži nuli. Zapiši rezultat: derivacija od (Cos(x))' jednaka je - Sin(x).
Neki ljudi preferiraju drugi način izvođenja iste formule
Iz tečaja trigonometrije je poznato: Cos(x) je jednak Sin(0, 5 ∏-x), slično je Sin(x) jednak Cos(0, 5 ∏-x). Zatim razlikujemo složenu funkciju - sinus dodatnog kuta (umjesto kosinusa x).
Dobivamo umnožak Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)', jer derivacija sinusa x jednaka je kosinsu X. Okrećemo se drugoj formuli Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) zamjene kosinusa sinusom, uzimajući u obzir da je (0,5 ∏-x)'=-1. Sada dobivamo -Sin(x). Dakle, pronađena je derivacija kosinusa, y'=-Sin(x) za funkciju y=Cos(x).
Kvadratni kosinusni derivat
Često korišten primjer u kojem se koristi kosinusni derivat. Funkcija y=Cos2(x) je teška. Prvo nađemo diferencijal funkcije stepena s eksponentom 2, bit će 2·Cos(x), zatim ga pomnožimo s derivacijom (Cos(x))', koja je jednaka -Sin(x). Dobivamo y'=-2 Cos(x) Sin(x). Kada primijenimo formulu Sin(2x), sinus dvostrukog kuta, dobivamo konačni pojednostavljeniodgovor y'=-Sin(2x)
Hiperboličke funkcije
Koriste se u proučavanju mnogih tehničkih disciplina: u matematici, na primjer, olakšavaju izračunavanje integrala, rješenje diferencijalnih jednadžbi. Izražavaju se u terminima trigonometrijskih funkcija s imaginarnimargument, tako da je hiperbolički kosinus ch(x)=Cos(i x), gdje je i imaginarna jedinica, hiperbolički sinus sh(x)=Sin(i x).
Izvod hiperboličkog kosinusa izračunava se prilično jednostavno.
Razmotrimo funkciju y=(ex+e-x) /2, ovo i je hiperbolički kosinus ch(x). Koristimo pravilo za pronalaženje derivacije zbroja dvaju izraza, pravilo za uzimanje konstantnog faktora (Const) iz predznaka derivacije. Drugi član 0,5 e-x je složena funkcija (njegov izvod je -0,5 e-x), 0,5 eh ― prvi mandat. (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' može se napisati na drugi način: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, jer je izvedenica (e - x)' jednako -1 puta e-x. Rezultat je razlika, a ovo je hiperbolički sinus sh(x).Izlaz: (ch(x))'=sh(x).
Pogledajmo primjer kako se izračunaj derivaciju funkcije y=ch(x
3+1).Prema pravilu hiperboličkog kosinusa sa kompleksnim argumentom y'=sh(x
3+1) (x 3+1)', gdje je (x3+1)'=3 x 2+0. Odgovor: derivacija ove funkcije je 3 x
2sh(x3+1).
Tabularne derivacije razmatranih funkcija y=ch(x) i y=Cos(x)
Prilikom rješavanja primjera nema potrebe svaki put ih razlikovati prema predloženoj shemi, dovoljno je koristiti zaključak.
Primjer. Diferenciraj funkciju y=Cos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). Lako izračunati (koristite tablične podatke), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
