Često se u životu susrećemo s potrebom da procijenimo šanse da se neki događaj dogodi. Isplati li se kupiti srećku ili ne, kojeg će spola biti treće dijete u obitelji, hoće li sutra biti vedro ili će opet padati kiša – takvih je primjera bezbroj. U najjednostavnijem slučaju, trebate podijeliti broj povoljnih ishoda s ukupnim brojem događaja. Ako je u lutriji 10 dobitnih listića, a ukupno ih je 50, onda su šanse za dobivanje nagrade 10/50=0,2, odnosno 20 prema 100. Ali što ako postoji nekoliko događaja, a oni su tijesni povezani? U ovom slučaju nas više neće zanimati jednostavna, već uvjetna vjerojatnost. Koja je to vrijednost i kako se može izračunati - o tome će se raspravljati u našem članku.
koncept
Uvjetna vjerojatnost je šansa da se dogodi određeni događaj, s obzirom da se već dogodio drugi povezani događaj. Razmotrimo jednostavan primjer sbacanje novčića. Ako još nije bilo neriješenog rezultata, onda će šanse za dobivanje glave ili repa biti iste. Ali ako je pet puta zaredom novčić ležao s grbom prema gore, onda pristajete očekivati 6., 7., a još više 10. ponavljanje takvog ishoda bilo bi nelogično. Sa svakim ponovljenim naslovom rastu šanse da se repovi pojave i prije ili kasnije će ispasti.
Formula uvjetne vjerojatnosti
Shvatimo sada kako se izračunava ova vrijednost. Označimo prvi događaj kao B, a drugi kao A. Ako su šanse za pojavu B različite od nule, tada će vrijediti sljedeća jednakost:
P (A|B)=P (AB) / P (B), gdje je:
- P (A|B) – uvjetna vjerojatnost ishoda A;
- P (AB) - vjerojatnost zajedničke pojave događaja A i B;
- P (B) – vjerojatnost događaja B.
Lagano transformirajući ovaj omjer, dobivamo P (AB)=P (A|B)P (B). A ako primijenimo metodu indukcije, tada možemo izvesti formulu proizvoda i koristiti je za proizvoljan broj događaja:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Vježba
Da bismo lakše razumjeli kako se izračunava uvjetna vjerojatnost događaja, pogledajmo nekoliko primjera. Pretpostavimo da postoji vaza koja sadrži 8 čokolada i 7 menta. Iste su veličine i nasumični.izvlače se dva uzastopno. Kolike su šanse da oboje budu čokoladni? Uvedemo notaciju. Neka rezultat A znači da je prvi bombon čokolada, rezultat B je drugi čokoladni slatkiš. Tada dobivate sljedeće:
P (A)=P (B)=8/15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Razmotrimo još jedan slučaj. Pretpostavimo da postoji obitelj od dvoje djece i znamo da je barem jedno dijete djevojčica.
Kolika je uvjetna vjerojatnost da ti roditelji još nemaju dječake? Kao iu prethodnom slučaju, počinjemo s notacijom. Neka je P(B) vjerojatnost da u obitelji postoji barem jedna djevojčica, P(A|B) vjerojatnost da je i drugo dijete djevojčica, P(AB) vjerojatnost da su u obitelji dvije djevojčice. obitelj. Sada napravimo izračune. Ukupno mogu postojati 4 različite kombinacije spola djece, a u ovom slučaju samo u jednom slučaju (kada su u obitelji dva dječaka) među djecom neće biti djevojčice. Stoga je vjerojatnost P (B)=3/4, a P (AB)=1/4. Zatim, slijedeći našu formulu, dobivamo:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Rezultat se može protumačiti na sljedeći način: da ne znamo spol jednog od djece, tada bi šanse za dvije djevojčice bile 25 naspram 100. Ali budući da znamo da je jedno dijete djevojčica, vjerojatnost da obitelj dječaka nema, povećava se na jednu trećinu.
