U prostoru se ravnina može definirati na različite načine (jedna točka i vektor, dvije točke i vektor, tri točke, itd.). Imajući to na umu, jednadžba ravnine može imati različite oblike. Također, pod određenim uvjetima, ravnine mogu biti paralelne, okomite, siječne itd. O tome ćemo govoriti u ovom članku. Naučit ćemo napisati opću jednadžbu ravnine i ne samo.
Normalna jednadžba
Recimo da postoji prostor R3 koji ima pravokutni XYZ koordinatni sustav. Postavimo vektor α, koji će biti pušten iz početne točke O. Kroz kraj vektora α nacrtat ćemo ravninu P koja će biti okomita na nju.
S P označimo proizvoljnu točku Q=(x, y, z). Radijus vektor točke Q označit ćemo slovom p. U ovom slučaju, duljina vektora α je p=IαI i Ʋ=(cosα, cosβ, cosγ).
Ovo je jedinični vektor koji pokazuje bočno, baš kaovektor α. α, β i γ su kutovi koji se formiraju između vektora Ʋ i pozitivnih smjerova osi prostora x, y, z, redom. Projekcija neke točke QϵP na vektor Ʋ je konstantna vrijednost jednaka r: (r, Ʋ)=r(r≧0).
Navedena jednadžba ima smisla kada je p=0. Jedina stvar je da će ravnina P u ovom slučaju presjeći točku O (α=0), koja je ishodište, a jedinični vektor Ʋ, oslobođen iz točke O, bit će okomit na P, bez obzira na njegov smjer, što znači da je vektor Ʋ određen iz znak-točno. Prethodna jednadžba je jednadžba naše P ravnine, izražena u vektorskom obliku. Ali u koordinatama će izgledati ovako:
R ovdje je veće ili jednako 0. Pronašli smo jednadžbu ravnine u prostoru u normalnom obliku.
Opća jednadžba
Ako pomnožimo jednadžbu u koordinatama s bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, dobit ćemo jednadžbu ekvivalentnu zadanoj, koja definira istu ravninu. Izgledat će ovako:
Ovdje su A, B, C brojevi koji se u isto vrijeme razlikuju od nule. Ova se jednadžba naziva jednadžba opće ravnine.
Jednadžbe ravnina. Posebni slučajevi
Jednadžba u općem obliku može se modificirati u prisutnosti dodatnih uvjeta. Pogledajmo neke od njih.
Pretpostavimo da je koeficijent A jednak 0. To znači da je zadana ravnina paralelna s danom osi Ox. U ovom slučaju, oblik jednadžbe će se promijeniti: Vu+Cz+D=0.
Slično, oblik jednadžbe će se promijeniti pod sljedećim uvjetima:
- Prvo, ako je B=0, tada će se jednadžba promijeniti u Ax+Cz+D=0, što će ukazati na paralelizam s osi Oy.
- Drugo, ako je S=0, tada će se jednadžba transformirati u Ah+Vu+D=0, što će ukazati na paralelizam s danom osi Oz.
- Treće, ako je D=0, jednadžba će izgledati kao Ax+By+Cz=0, što znači da ravnina siječe O (početak).
- Četvrto, ako je A=B=0, tada će se jednadžba promijeniti u Cz+D=0, što će se pokazati paralelnim s Oxy.
- Peto, ako je B=C=0, tada jednadžba postaje Ax+D=0, što znači da je ravnina na Oyz paralelna.
- Šesto, ako je A=C=0, tada će jednadžba poprimiti oblik Vu+D=0, odnosno prijavit će paralelizam na Oxz.
Prikaz jednadžbe u segmentima
U slučaju kada su brojevi A, B, C, D različiti od nule, oblik jednadžbe (0) može biti sljedeći:
x/a + y/b + z/c=1, gdje je a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C.
Kao rezultat, dobivamo jednadžbu ravnine u segmentima. Vrijedi napomenuti da će ova ravnina presjeći os Ox u točki s koordinatama (a, 0, 0), Oy - (0, b, 0) i Oz - (0, 0, c).
Uzimajući u obzir jednadžbu x/a + y/b + z/c=1, lako je vizualizirati položaj ravnine u odnosu na zadani koordinatni sustav.
Koordinate normalnog vektora
Normalni vektor n na ravninu P ima koordinate koje su koeficijenti opće jednadžbe ove ravnine, odnosno n(A, B, C).
Da bismo odredili koordinate normale n, dovoljno je poznavati opću jednadžbu date ravnine.
Kada se koristi jednadžba u segmentima, koja ima oblik x/a + y/b + z/c=1, kao i kada se koristi opća jednadžba, možete napisati koordinate bilo kojeg normalnog vektora a zadana ravnina: (1/a + 1 /b + 1/c).
Vrijedi napomenuti da normalni vektor pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći su problemi koji se sastoje u dokazivanju okomitosti ili paralelnosti ravnina, problemi u pronalaženju kutova između ravnina ili kutova između ravnina i pravaca.
Prikaz jednadžbe ravnine prema koordinatama točke i vektora normale
Vektor različit od nule n okomit na danu ravninu naziva se normalnim (normalnim) za danu ravninu.
Pretpostavimo da su u koordinatnom prostoru (pravokutni koordinatni sustav) zadani Oxyz:
- točka Mₒ s koordinatama (xₒ, yₒ, zₒ);
- nulti vektor n=Ai+Bj+Ck.
Morate napraviti jednadžbu za ravninu koja će prolaziti točkom Mₒ okomito na normalu n.
U prostoru biramo bilo koju proizvoljnu točku i označavamo je s M (x y, z). Neka je vektor radijusa bilo koje točke M (x, y, z) r=xi+yj+zk, a vektor radijusa točke Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) rₒ=xₒ i+yₒ j+zₒk. Točka M pripadat će danoj ravnini ako je vektor MₒM okomit na vektor n. Uvjet ortogonalnosti zapisujemo pomoću skalarnog proizvoda:
[MₒM, n]=0.
Budući da je MₒM=r–rₒ, vektorska jednadžba ravnine će izgledati ovako:
[r – rₒ, n]=0.
Ova jednadžba može imati drugi oblik. Za to se koriste svojstva skalarnog proizvoda, a lijeva strana jednadžbe se transformira. [r - rₒ, n]=[r, n] - [rₒ, n]. Ako se [rₒ, n] označi kao c, tada će se dobiti sljedeća jednadžba: [r, n] - c=0 ili [r, n]=c, koja izražava konstantnost projekcija na normalni vektor radijus vektori zadanih točaka koje pripadaju ravnini.
Sada možemo dobiti koordinatni oblik vektorske jednadžbe naše ravnine [r – rₒ, n]=0. Budući da je r–rₒ=(x–xₒ)i + (y–yₒ)j + (z–zₒ)k, i n=Ai+Bj+Ck, imamo:
Ispada da imamo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz točku okomitu na normalu n:
A(x- xₒ)+B(y-yₒ)C(z-zₒ)=0.
Prikaz jednadžbe ravnine prema koordinatama dviju točaka i vektora kolinearnog ravnini
Postavimo dvije proizvoljne točke M' (x', y', z') i M″ (x″, y″, z″), kao i vektor a (a', a″, a ‴).
Sada možemo formulirati jednadžbu za danu ravninu koja će prolaziti kroz dostupne točke M' i M″, kao i bilo koju točku M s koordinatama (x, y, z) paralelnim danom vektoru a.
Vektori M'M={x-x';y-y';z-z'} i M″M={x″-x';y″-y';z″-z ' } mora biti komplanaran s vektorom a=(a', a″, a‴), što znači da (M'M, M″M, a)=0.
Dakle, naša jednadžba ravnine u prostoru će izgledati ovako:
Prikaz jednadžbe ravnine koja siječe tri točke
Pretpostavimo da imamo tri točke: (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴), koje ne pripadaju isto ravno. Potrebno je napisati jednadžbu ravnine koja prolazi kroz zadane tri točke. Teorija geometrije tvrdi da ovakva ravnina stvarno postoji, samo što je jedina i neponovljiva. Budući da ova ravnina siječe točku (x', y', z'), oblik njezine jednadžbe bit će sljedeći:
Ovdje se A, B, C u isto vrijeme razlikuju od nule. Također, zadana ravnina siječe još dvije točke: (x″, y″, z″) i (x‴, y‴, z‴). U tom smislu moraju biti ispunjeni sljedeći uvjeti:
Sada možemo sastaviti homogeni sustav jednadžbi (linearni) s nepoznanicama u, v, w:
U našem slučaju, x, y ili z je proizvoljna točka koja zadovoljava jednadžbu (1). Uzimajući u obzir jednadžbu (1) i sustav jednadžbi (2) i (3), sustav jednadžbi prikazan na gornjoj slici zadovoljava vektor N (A, B, C), koji nije trivijalan. Zato je determinanta ovog sustava jednaka nuli.
Jednadžba (1), koju smo dobili, ovo je jednadžba ravnine. Prolazi točno kroz 3 točke, a to je lako provjeriti. Za ovo vam je potrebnoproširimo našu determinantu preko elemenata u prvom redu. Iz postojećih svojstava determinante proizlazi da naša ravnina istovremeno siječe tri početno zadane točke (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴). Odnosno, riješili smo zadatak koji je pred nama.
Diedral kut između ravnina
Dihedralni kut je prostorna geometrijska figura koju čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne ravne linije. Drugim riječima, ovo je dio prostora koji je ograničen ovim poluravninama.
Recimo da imamo dvije ravnine sa sljedećim jednadžbama:
Znamo da su vektori N=(A, B, C) i N¹=(A¹, B¹, C¹) okomiti prema zadanim ravninama. U tom smislu, kut φ između vektora N i N¹ jednak je kutu (diedralu) koji se nalazi između ovih ravnina. Skalarni proizvod ima oblik:
NN¹=|N||N¹|cos φ, samo zato
cosφ=NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹))²))
Dovoljno je uzeti u obzir da je 0≦φ≦π.
Zapravo, dvije ravnine koje se sijeku tvore dva (diedralna) kuta: φ1 i φ2. Njihov je zbroj jednak π (φ1+ φ2=π). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove su apsolutne vrijednosti jednake, ali se razlikuju po predznacima, odnosno cosφ1=-cos φ2. Ako u jednadžbi (0) zamijenimo A, B i C brojevima -A, -B i -C, redom, tada će jednadžba koju dobijemo odrediti istu ravninu, jedini kut φ u jednadžbi cos φ=NN1/|N||N1| bit će zamijenjen s π-φ.
Jednadžba okomite ravnine
Okomice se nazivaju ravnine između kojih je kut od 90 stupnjeva. Koristeći gore opisani materijal, možemo pronaći jednadžbu ravnine okomite na drugu. Recimo da imamo dvije ravnine: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Možemo ustvrditi da će biti okomite ako je cosφ=0. To znači da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Jednadžba paralelne ravnine
Paralelne su dvije ravnine koje ne sadrže zajedničke točke.
Uvjet paralelizma ravnina (njihove su jednadžbe iste kao u prethodnom paragrafu) je da su vektori N i N¹, koji su okomiti na njih, kolinearni. To znači da su ispunjeni sljedeći uvjeti proporcionalnosti:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Ako su uvjeti proporcionalnosti prošireni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹, ovo označava da su ove ravnine iste. To znači da jednadžbe Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisuju jednu ravninu.
Udaljenost do ravnine od točke
Recimo da imamo ravninu P koja je dana jednadžbom (0). Moramo pronaći udaljenost do njega od točkes koordinatama (xₒ, yₒ, zₒ)=Qₒ. Da biste to učinili, trebate dovesti jednadžbu ravnine P u normalan oblik:
(ρ, v)=p (p≧0).
U ovom slučaju, ρ (x, y, z) je vektor radijusa naše točke Q, smještene na P, p je duljina okomice P koja je puštena iz nulte točke, v je jedinični vektor, koji se nalazi prema a.
Razlika ρ-ρº vektora radijusa neke točke Q=(x, y, z) koja pripada P, kao i vektor radijusa date točke Q0=(xₒ, yₒ, zₒ) je takav vektor čija je apsolutna vrijednost projekcije na v jednaka udaljenosti d, koja se mora naći iz Q0=(xₒ, yₒ, zₒ) u P:
D=|(ρ-ρ0, v)|, ali
(ρ-ρ0, v)=(ρ, v)–(ρ0, v)=r–(ρ0, v).
Tako ispada, d=|(ρ0, v)-p|.
Sada je jasno da za izračunavanje udaljenosti d od Q0 do ravnine P, trebate koristiti normalni oblik jednadžbe ravnine, dok pomicanje p na lijevu stranu, a na posljednju umjesto x, y, z zamjena (xₒ, yₒ, zₒ).
Tako ćemo pronaći apsolutnu vrijednost rezultirajućeg izraza, odnosno željeni d.
Upotrebom jezika parametara dobivamo očito:
d=|Axₒ+Byₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
Ako je data točka Q0 s druge strane P ravnine, kao i ishodište, tada između vektora ρ-ρ0 i v je tup kut, dakle:
d=-(ρ-ρ0, v)=(ρ0, v)-p>0.
U slučaju kada se točka Q0 zajedno s ishodištem nalazi na istoj strani od P, tada je stvoreni kut oštar, odnosno:
d=(ρ-ρ0, v)=r - (ρ0, v)>0.
Kao rezultat toga, ispada da je u prvom slučaju (ρ0, v)>r, u drugom slučaju (ρ0, v)<r.
Tangentna ravnina i njena jednadžba
Pravina tangente na površinu u točki tangente Mº je ravnina koja sadrži sve moguće tangente na krivulje povučene kroz ovu točku na površini.
S ovim oblikom jednadžbe površine F(x, y, z)=0, jednadžba tangentne ravnine u tangentnoj točki Mº(xº, yº, zº) izgledat će ovako:
Fx(xº, yº, zº)(x- xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y- yº) + Fh(hº, yº, zº)(z-zº)=0.
Ako eksplicitno specificirate površinu z=f (x, y), tada će tangentna ravnina biti opisana jednadžbom:
z-zº=f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Presjek dviju ravnina
U trodimenzionalnom prostoru nalazi se koordinatni sustav (pravokutni) Oxyz, zadane su dvije ravnine P' i P″ koje se sijeku i ne podudaraju. Budući da je svaka ravnina koja se nalazi u pravokutnom koordinatnom sustavu određena općom jednadžbom, pretpostavit ćemo da su P' i P″ dati jednadžbama A'x+B'y+C'z+D'=0 i A″x +B″y+ S″z+D″=0. U ovom slučaju imamo normalu n '(A', B', C') P' ravnine i normalu n ″ (A ″, B ″, C ″) ravnine P ″. Budući da naše ravnine nisu paralelne i ne podudaraju se, ovevektori nisu kolinearni. Koristeći se jezikom matematike, ovaj uvjet možemo zapisati na sljedeći način: n'≠ n″ ↔ (A', B', C') ≠ (λA″, λB″, λC″), λϵR. Neka pravac koji leži na sjecištu P' i P″ bude označen slovom a, u ovom slučaju a=P' ∩ P″.
a je ravna crta koja se sastoji od skupa svih točaka (zajedničkih) ravnina P' i P″. To znači da koordinate bilo koje točke koja pripada pravcu a moraju istovremeno zadovoljiti jednadžbe A'x+B'y+C'z+D'=0 i A″x+B″y+C″z+D″=0. To znači da će koordinate točke biti određeno rješenje sljedećeg sustava jednadžbi:
Kao rezultat toga, ispada da će (opće) rješenje ovog sustava jednadžbi odrediti koordinate svake od točaka ravne, koja će djelovati kao presjek P' i P″, i odredi ravnu liniju a u koordinatnom sustavu Oxyz (pravokutni) u prostoru.
