Čak i u školi, svatko od nas je proučavao jednadžbe i, zasigurno, sustave jednadžbi. Ali malo ljudi zna da postoji nekoliko načina za njihovo rješavanje. Danas ćemo detaljno analizirati sve metode za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi, koje se sastoje od više od dvije jednakosti.
Povijest
Danas je poznato da umijeće rješavanja jednadžbi i njihovih sustava potječe iz starog Babilona i Egipta. Međutim, jednakosti u svom uobičajenom obliku pojavile su se nakon pojave znaka jednakosti "=", koji je 1556. uveo engleski matematičar Record. Usput, ovaj znak je izabran s razlogom: znači dva paralelna jednaka segmenta. Doista, nema boljeg primjera jednakosti.
Utemeljitelj modernih slovnih oznaka nepoznanica i znakova stupnjeva je francuski matematičar Francois Viet. No, njegove su se oznake bitno razlikovale od današnjih. Primjerice, kvadrat nepoznatog broja označio je slovom Q (lat. "quadratus"), a kocku slovom C (lat. "cubus"). Ove oznake sada izgledaju nezgodno, ali tadato je bio najrazumljiviji način za pisanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.
Međutim, nedostatak tadašnjih metoda rješenja bio je u tome što su matematičari smatrali samo pozitivne korijene. Možda je to zbog činjenice da negativne vrijednosti nisu imale praktičnu upotrebu. Na ovaj ili onaj način, talijanski matematičari Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano i Rafael Bombelli prvi su razmotrili negativne korijene u 16. stoljeću. A moderni izgled, glavna metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi (kroz diskriminant), nastala je tek u 17. stoljeću zahvaljujući djelu Descartesa i Newtona.
Sredinom 18. stoljeća, švicarski matematičar Gabriel Cramer pronašao je novi način da olakša rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ova metoda je naknadno dobila ime po njemu i do danas je koristimo. Ali o Cramerovoj metodi ćemo govoriti malo kasnije, ali za sada ćemo raspravljati o linearnim jednadžbama i metodama za njihovo rješavanje odvojeno od sustava.
Linearne jednadžbe
Linearne jednadžbe su najjednostavnije jednakosti s varijablama. Klasificirani su kao algebarski. Linearne jednadžbe se pišu u općem obliku na sljedeći način: 2+…a x =b. Njihovo predstavljanje u ovom obliku trebat će nam prilikom daljnjeg sastavljanja sustava i matrica.
Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi
Definicija ovog pojma je sljedeća: to je skup jednadžbi koje imaju zajedničke nepoznanice i zajedničko rješenje. U pravilu su u školi sve odlučivali sustavis dvije ili čak tri jednadžbe. Ali postoje sustavi s četiri ili više komponenti. Prvo shvatimo kako ih zapisati tako da ih kasnije bude zgodno riješiti. Prvo, sustavi linearnih algebarskih jednadžbi izgledat će bolje ako su sve varijable zapisane kao x s odgovarajućim indeksom: 1, 2, 3 itd. Drugo, sve jednadžbe treba svesti na kanonski oblik: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Nakon svih ovih koraka, možemo početi razgovarati o tome kako pronaći rješenje za sustave linearnih jednadžbi. Matrice će biti vrlo korisne za ovo.
Matrice
Matrica je tablica koja se sastoji od redaka i stupaca, a njeni elementi se nalaze na njihovom sjecištu. To mogu biti određene vrijednosti ili varijable. Najčešće, za označavanje elemenata, ispod njih se stavljaju indeksi (na primjer, a11 ili a23). Prvi indeks označava broj retka, a drugi broj stupca. Na matricama, kao i na bilo kojem drugom matematičkom elementu, možete izvoditi razne operacije. Dakle, možete:
1) Oduzmite i dodajte tablice iste veličine.
2) Pomnožite matricu nekim brojem ili vektorom.
3) Transponiranje: pretvorite retke matrice u stupce i stupce u retke.
4) Pomnožite matrice ako je broj redaka jedne od njih jednak broju stupaca druge.
O svim ovim tehnikama ćemo detaljnije razgovarati jer će nam biti od koristi u budućnosti. Oduzimanje i zbrajanje matrica je vrlo jednostavno. Takokako uzimamo matrice iste veličine, tada svaki element jedne tablice odgovara svakom elementu druge. Dakle, zbrajamo (oduzimamo) ova dva elementa (važno je da se nalaze na istim mjestima u svojim matricama). Kada množite matricu brojem ili vektorom, jednostavno trebate svaki element matrice pomnožiti s tim brojem (ili vektorom). Transpozicija je vrlo zanimljiv proces. Vrlo je zanimljivo ponekad to vidjeti u stvarnom životu, na primjer, kada promijenite orijentaciju tableta ili telefona. Ikone na radnoj površini su matrica, a kada promijenite poziciju, ona se transponira i postaje šira, ali se smanjuje u visini.
Pogledajmo još jednom takav proces kao što je množenje matrice. Iako nam neće biti od koristi, ipak će biti korisno to znati. Dvije matrice možete množiti samo ako je broj stupaca u jednoj tablici jednak broju redaka u drugoj. Uzmimo sada elemente retka jedne matrice i elemente odgovarajućeg stupca druge. Množimo ih međusobno, a zatim ih zbrajamo (to je, na primjer, umnožak elemenata a11 i a12 po b 12i b22 bit će jednako: a11b12 + a 12 b22). Tako se dobiva jedan element tablice, koji se dalje popunjava na sličan način.
Sada možemo početi gledati kako se rješava sustav linearnih jednadžbi.
Gaussova metoda
Ova tema počinje prolaziti još u školi. Dobro poznajemo pojam "sustava dviju linearnih jednadžbi" i znamo ih riješiti. Ali što ako je broj jednadžbi veći od dvije? U tome će nam pomoći Gaussova metoda.
Naravno, ova metoda je prikladna za korištenje ako od sustava napravite matricu. Ali ne možete ga transformirati i riješiti u njegovom najčišćem obliku.
Pa kako ova metoda rješava sustav linearnih Gaussovih jednadžbi? Inače, iako je ova metoda nazvana po njemu, otkrivena je u davna vremena. Gauss predlaže sljedeće: izvršiti operacije s jednadžbama kako bi se na kraju cijeli skup sveo na stepenasti oblik. Odnosno, potrebno je da se od vrha do dna (ako je pravilno postavljena) od prve jednadžbe do posljednje jedna nepoznanica smanjuje. Drugim riječima, trebamo se pobrinuti da dobijemo, recimo, tri jednadžbe: u prvoj - tri nepoznanice, u drugoj - dvije, u trećoj - jednu. Zatim iz posljednje jednadžbe nalazimo prvu nepoznanicu, zamjenjujemo njezinu vrijednost u drugu ili prvu jednadžbu, a zatim pronalazimo preostale dvije varijable.
Cramerova metoda
Da biste svladali ovu metodu, bitno je ovladati vještinama zbrajanja, oduzimanja matrica, a također morate znati pronaći determinante. Stoga, ako sve ovo radite loše ili uopće ne znate kako, morat ćete učiti i vježbati.
Koja je bit ove metode i kako je napraviti tako da se dobije sustav linearnih Cramerovih jednadžbi? Sve je vrlo jednostavno. Moramo konstruirati matricu iz brojčanih (gotovo uvijek) koeficijenata sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Da biste to učinili, jednostavno uzmite brojeve ispred nepoznanica i rasporedite ihtablicu redoslijedom kojim su zabilježeni u sustavu. Ako ispred broja stoji znak "-", tada zapisujemo negativan koeficijent. Dakle, sastavili smo prvu matricu od koeficijenata nepoznanica, ne uključujući brojeve iza predznaka jednakosti (naravno, jednadžbu treba svesti na kanonski oblik, kada je samo broj na desnoj strani, a sve nepoznanice sa koeficijenti s lijeve strane). Zatim morate stvoriti još nekoliko matrica - po jednu za svaku varijablu. Da bismo to učinili, svaki stupac s koeficijentima u prvoj matrici zamjenjujemo redom stupcem brojeva iza znaka jednakosti. Tako dobivamo nekoliko matrica i zatim pronalazimo njihove determinante.
Nakon što smo pronašli odrednice, stvar je mala. Imamo početnu matricu, a postoji nekoliko rezultirajućih matrica koje odgovaraju različitim varijablama. Da bismo dobili rješenja sustava, determinantu rezultirajuće tablice podijelimo s determinantom početne tablice. Rezultirajući broj je vrijednost jedne od varijabli. Slično, nalazimo sve nepoznanice.
Druge metode
Postoji još nekoliko metoda za dobivanje rješenja sustava linearnih jednadžbi. Na primjer, takozvana Gauss-Jordanova metoda, koja se koristi za pronalaženje rješenja sustava kvadratnih jednadžbi, a također je povezana s korištenjem matrica. Postoji i Jacobijeva metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Najlakše je prilagoditi se računalu i koristi se u računalstvu.
Teški slučajevi
Složenost se obično javlja kada je broj jednadžbi manji od broja varijabli. Tada možemo sa sigurnošću reći da je sustav ili nekonzistentan (odnosno da nema korijena), ili da broj njegovih rješenja teži beskonačnosti. Ako imamo drugi slučaj, onda trebamo zapisati opće rješenje sustava linearnih jednadžbi. Sadržavat će barem jednu varijablu.
Zaključak
Evo dolazimo do kraja. Da rezimiramo: analizirali smo što su sustav i matrica, naučili smo kako pronaći opće rješenje za sustav linearnih jednadžbi. Osim toga, razmatrane su i druge opcije. Saznali smo kako se rješava sustav linearnih jednadžbi: Gaussova metoda i Cramerova metoda. Razgovarali smo o teškim slučajevima i drugim načinima pronalaženja rješenja.
Zapravo, ova je tema mnogo opsežnija, a ako je želite bolje razumjeti, savjetujemo vam da pročitate više specijalizirane literature.
