Nejednakosti i sustavi nejednakosti jedna je od tema koja se uči u srednjoškolskoj algebri. Što se tiče težine, nije najteže, jer ima jednostavna pravila (o njima malo kasnije). U pravilu, školarci vrlo lako uče rješavanje sustava nejednakosti. Tome je zaslužna i činjenica da učitelji svoje učenike naprosto „obučavaju“o ovoj temi. I to ne mogu ne učiniti, jer se to u budućnosti proučava uz korištenje drugih matematičkih veličina, a također se provjerava za OGE i Jedinstveni državni ispit. U školskim udžbenicima tema nejednakosti i sustava nejednakosti je vrlo detaljno obrađena, pa ako ćete je proučavati, onda je najbolje pribjeći njima. Ovaj je članak samo parafraza većeg dijela materijala i može sadržavati neke propuste.
Koncept sustava nejednakosti
Ako se okrenemo znanstvenom jeziku, možemo definirati pojam "sustavanejednakosti". Ovo je takav matematički model koji predstavlja nekoliko nejednakosti. Naravno, ovaj model zahtijeva rješenje, a ono će biti opći odgovor za sve nejednakosti sustava predloženog u zadatku (obično se piše ovako, jer primjer: "Riješi sustav nejednadžbi 4 x + 1 > 2 i 30 - x > 6… ").
Sustavi nejednakosti i sustavi jednadžbi
U procesu učenja nove teme često dolazi do nesporazuma. S jedne strane sve je jasno i radije bih krenuo u rješavanje zadataka, ali s druge strane neki momenti ostaju u “sjeni”, nisu dobro shvaćeni. Također, neki elementi već stečenog znanja mogu se ispreplitati s novima. Greške se često događaju kao rezultat ovog preklapanja.
Stoga, prije nego što pređemo na analizu naše teme, trebamo se prisjetiti razlika između jednadžbi i nejednakosti, njihovih sustava. Da bismo to učinili, potrebno je još jednom razjasniti koji su to matematički koncepti. Jednadžba je uvijek jednakost, i uvijek je nečemu jednaka (u matematici se ova riječ označava znakom "="). Nejednakost je model u kojem je jedna vrijednost ili veća ili manja od druge, ili sadrži tvrdnju da nisu iste. Dakle, u prvom je slučaju prikladno govoriti o jednakosti, a u drugom, koliko god očito zvučalo izsam naziv, o nejednakosti početnih podataka. Sustavi jednadžbi i nejednadžbi praktički se međusobno ne razlikuju, a metode za njihovo rješavanje su iste. Jedina razlika je u tome što prvi koristi jednakosti dok drugi koristi nejednakosti.
Vrste nejednakosti
Postoje dvije vrste nejednakosti: numeričke i s nepoznatom varijablom. Prvi tip daje vrijednosti (brojeve) koje nisu jednake jedna drugoj, na primjer, 8 > 10. Druga vrsta su nejednakosti koje sadrže nepoznatu varijablu (označene nekim slovom latinice, najčešće X). Ovu varijablu treba pronaći. Ovisno o tome koliko ih ima, matematički model razlikuje nejednakosti s jednom (one čine sustav nejednakosti s jednom varijablom) ili više varijabli (oni čine sustav nejednadžbi s nekoliko varijabli).
Zadnje dvije vrste, prema stupnju njihove konstrukcije i stupnju složenosti rješenja, dijele se na jednostavne i složene. Jednostavne se također nazivaju linearne nejednakosti. Oni se, pak, dijele na stroge i nestroge. Strogi posebno "recite" da jedna vrijednost mora biti ili manja ili više, pa je to čista nejednakost. Postoji nekoliko primjera: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, itd. Nestrogi također uključuju jednakost. Odnosno, jedna vrijednost može biti veća ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "≧") ili manja ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "≦"). Još uvijek u reduU nejednačinama varijabla ne stoji u korijenu, kvadratu, nije djeljiva ničim, zbog čega se nazivaju "jednostavnim". Složene uključuju nepoznate varijable, čije pronalaženje zahtijeva više matematičkih operacija. Često su u kvadratu, kocki ili ispod korijena, mogu biti modularni, logaritamski, frakcijski itd. No budući da je naš zadatak razumjeti rješenje sustava nejednakosti, govorit ćemo o sustavu linearnih nejednadžbi. Međutim, prije toga treba reći nekoliko riječi o njihovim svojstvima.
Svojstva nejednakosti
Svojstva nejednakosti uključuju sljedeće odredbe:
- Znak nejednakosti je obrnut ako se primijeni operacija promjene slijeda strana (na primjer, ako je t1 ≦ t2, zatim t 2 ≧ t1).
- Oba dijela nejednakosti omogućuju vam da sebi dodate isti broj (na primjer, ako je t1 ≦ t2, zatim t 1 + broj ≦ t2 + broj).
- Dvije ili više nejednakosti sa predznakom istog smjera omogućuju vam da dodate njihov lijevi i desni dio (na primjer, ako je t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, zatim t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Oba dijela nejednakosti dopuštaju da se pomnože ili podijele s istim pozitivnim brojem (na primjer, ako je t1 ≦ t2i broj ≦ 0, zatim broj t1 ≧ broj t2).
- Dvije ili više nejednakosti koje imaju pozitivne pojmove i znak istog smjera dopuštajumnožite jedno drugo (na primjer, ako je t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 zatim t1 t3 ≦ t2 t4).
- Oba dijela nejednakosti dopuštaju da se pomnože ili podijele s istim negativnim brojem, ali se predznak nejednakosti mijenja (na primjer, ako je t1 ≦ t2 i broj ≦ 0, zatim broj t1 ≧ broj t2).
- Sve su nejednakosti prolazne (na primjer, ako je t1 ≦ t2 i t2≦ t3, zatim t1 ≦ t3).
Sada, nakon proučavanja glavnih odredbi teorije vezanih za nejednakosti, možemo prijeći izravno na razmatranje pravila za rješavanje njihovih sustava.
Rješenje sustava nejednakosti. Opće informacije. Rješenja
Kao što je gore spomenuto, rješenje su vrijednosti varijable koje odgovaraju svim nejednakostima danog sustava. Rješenje sustava nejednakosti je provedba matematičkih operacija koje u konačnici dovode do rješenja cijelog sustava ili dokazuju da on nema rješenja. U ovom slučaju se kaže da se varijabla odnosi na prazan skup brojeva (napisan na sljedeći način: slovo koje označava varijablu ∈ (znak "pripada") ø (znak "prazan skup"), na primjer, x ∈ ø (čita se ovako: "Varijabla "x" pripada praznom skupu"). Postoji nekoliko načina rješavanja sustava nejednačina:grafička, algebarska, supstitucijska metoda. Vrijedi napomenuti da se oni odnose na one matematičke modele koji imaju nekoliko nepoznatih varijabli. U slučaju da postoji samo jedan, bit će prikladna metoda razmaka.
Grafička metoda
Omogućuje rješavanje sustava nejednakosti s nekoliko nepoznanica (od dvije ili više). Zahvaljujući ovoj metodi, sustav linearnih nejednakosti rješava se prilično lako i brzo, pa je to najčešća metoda. To je zato što crtanje smanjuje količinu pisanja matematičkih operacija. Postaje posebno ugodno malo se odmoriti od olovke, uzeti olovku s ravnalom i uz njihovu pomoć nastaviti s daljnjim radnjama kada je puno posla obavljeno i želite malo raznolikosti. Međutim, neki ne vole ovu metodu zbog činjenice da se morate odvojiti od zadatka i svoju mentalnu aktivnost prebaciti na crtanje. Međutim, to je vrlo učinkovit način.
Za rješavanje sustava nejednadžbi grafičkom metodom potrebno je sve članove svake nejednadžbe prenijeti na njihovu lijevu stranu. Znakovi će biti obrnuti, nula treba biti napisana s desne strane, zatim svaka nejednakost treba biti napisana zasebno. Kao rezultat, funkcije će se dobiti iz nejednakosti. Nakon toga možete dobiti olovku i ravnalo: sada morate nacrtati graf svake dobivene funkcije. Cijeli skup brojeva koji će biti u intervalu njihovog presjeka bit će rješenje sustava nejednakosti.
Algebarski način
Omogućuje rješavanje sustava nejednakosti s dvije nepoznate varijable. Nejednakosti također moraju imati isti predznak nejednakosti (tj. moraju sadržavati ili samo predznak "veće od" ili samo znak "manje od" itd.) Unatoč svojim ograničenjima, ova metoda je također kompliciranija. Primjenjuje se u dva koraka.
Prvi uključuje uklanjanje jedne od nepoznatih varijabli. Prvo ga trebate odabrati, a zatim provjeriti prisutnost brojeva ispred ove varijable. Ako ih nema (tada će varijabla izgledati kao jedno slovo), onda ništa ne mijenjamo, ako postoji (tip varijable će biti npr. 5y ili 12y), onda je potrebno osigurati da je u svakoj nejednadžbi broj ispred odabrane varijable isti. Da biste to učinili, trebate pomnožiti svaki član nejednakosti zajedničkim faktorom, na primjer, ako je u prvoj nejednadžbi napisano 3y, a u drugoj 5y, tada morate sve članove prve nejednadžbe pomnožiti s 5, a drugi za 3. Dobivate 15y i 15y, respektivno.
Druga faza odluke. Potrebno je prenijeti lijevu stranu svake nejednadžbe na njihove desne strane s promjenom predznaka svakog člana na suprotno, napišite nulu na desnoj strani. Zatim dolazi zabavni dio: rješavanje odabrane varijable (inače poznate kao "redukcija") uz zbrajanje nejednakosti. Dobit ćete nejednakost s jednom varijablom koju treba riješiti. Nakon toga, trebali biste učiniti isto, samo s drugom nepoznatom varijablom. Dobiveni rezultati bit će rješenje sustava.
Način zamjene
Omogućuje rješavanje sustava nejednakosti kada imate priliku uvesti novu varijablu. Obično se ova metoda koristi kada se nepoznata varijabla u jednom članu nejednadžbe povisi na četvrti stepen, a u drugom se kvadrira. Stoga je ova metoda usmjerena na smanjenje stupnja nejednakosti u sustavu. Uzorak nejednakosti x4 - x2 - 1 ≦ 0 rješava se na sljedeći način. Uvodi se nova varijabla, na primjer t. Oni pišu: "Neka t=x2", tada se model prepisuje u novom obliku. U našem slučaju dobivamo t2 - t - 1 ≦0. Ovu nejednakost je potrebno riješiti intervalnom metodom (o tome malo kasnije), zatim se vratiti na varijablu X, a zatim učiniti isto s drugom nejednakošću. Dobiveni odgovori bit će odluka sustava.
Metoda intervala
Ovo je najlakši način rješavanja sustava nejednakosti, a ujedno je univerzalan i raširen. Koristi se u srednjoj školi, pa čak i u srednjoj školi. Njegova je bit u tome da učenik traži intervale nejednakosti na brojevnoj liniji, koja je ucrtana u bilježnicu (ovo nije graf, već samo obična ravna crta s brojevima). Gdje se sijeku intervali nejednadžbi, nalazi se rješenje sustava. Da biste koristili metodu razmaka, slijedite ove korake:
- Svi članovi svake nejednakosti prenose se na lijevu stranu s promjenom predznaka u suprotan (na desnoj je napisano nula).
- Nejednakosti se ispisuju zasebno, rješenje svake od njih se utvrđuje.
- Sjecišta nejednakosti na brojčanomravno. Svi brojevi na ovim raskrižjima bit će rješenje.
Koji način koristiti?
Očito onaj koji se čini najlakšim i najprikladnijim, ali postoje slučajevi kada zadaci zahtijevaju određenu metodu. Najčešće kažu da morate riješiti ili pomoću grafa ili metodom intervala. Algebarska metoda i supstitucija se koriste iznimno rijetko ili se uopće ne koriste, budući da su prilično složene i zbunjujuće, a osim toga, više se koriste za rješavanje sustava jednadžbi, a ne nejednakosti, pa treba pribjeći crtanju grafova i intervala. Oni donose vidljivost, što ne može a da ne pridonese učinkovitom i brzom izvođenju matematičkih operacija.
Ako nešto ne radi
Tijekom proučavanja određene teme iz algebre, naravno, može doći do problema s njezinim razumijevanjem. I to je normalno, jer je naš mozak dizajniran na način da nije u stanju razumjeti složeno gradivo u jednom potezu. Često trebate ponovno pročitati odlomak, potražiti pomoć učitelja ili vježbati rješavanje tipičnih problema. U našem slučaju izgledaju, na primjer, ovako: "Riješi sustav nejednadžbi 3 x + 1 ≧ 0 i 2 x - 1 > 3". Dakle, osobna nastojanja, pomoć izvana i praksa pomažu u razumijevanju bilo koje složene teme.
Rešebnik?
I knjiga rješenja je također jako dobra, ali ne za varanje domaće zadaće, već za samopomoć. U njima možete pronaći sustave nejednakosti s rješenjem, pogledajte(poput predložaka), pokušajte razumjeti kako se točno autor rješenja nosio sa zadatkom, a zatim pokušajte to učiniti sam.
Zaključci
Algebra je jedan od najtežih predmeta u školi. Pa, što možeš učiniti? Matematika je oduvijek bila takva: nekima je lako, a drugima teško. Ali u svakom slučaju, treba imati na umu da je općeobrazovni program osmišljen na način da se svaki učenik može nositi s njim. Osim toga, morate imati na umu ogroman broj pomoćnika. Neki od njih su gore spomenuti.
