Geometrija je lijepa jer, za razliku od algebre, gdje nije uvijek jasno što mislite i zašto, daje vidljivost objektu. Ovaj divni svijet raznih tijela ukrašen je pravilnim poliedrima.
Opći podaci o pravilnim poliedrima
Prema mnogima, pravilni poliedri, ili kako ih još zovu Platonova tijela, imaju jedinstvena svojstva. Nekoliko znanstvenih hipoteza povezano je s tim objektima. Kada počnete proučavati ova geometrijska tijela, shvatit ćete da praktički ništa ne znate o takvom konceptu kao što su pravilni poliedri. Prezentacija ovih predmeta u školi nije uvijek zanimljiva, pa se mnogi ni ne sjećaju kako se zovu. Većina ljudi pamti samo kocku. Nijedno tijelo u geometriji nije savršeno kao pravilni poliedri. Sva imena ovih geometrijskih tijela potječu iz antičke Grčke. Oni znače broj lica: tetraedar - četverostrani, heksaedar - šestostrani, oktaedar - oktaedar, dodekaedar - dvanaestostran, ikosaedar - dvadesetostran. Sva ta geometrijska tijelazauzimao važno mjesto u Platonovom konceptu svemira. Četiri su personificirala elemente ili entitete: tetraedar - vatru, ikosaedar - vodu, kocka - zemlju, oktaedar - zrak. Dodekaedar je utjelovio sve što postoji. Smatrao se glavnim, jer je bio simbol svemira.
Generalizacija koncepta poliedra
Poliedar je zbirka konačnog broja poligona tako da:
- svaka strana bilo kojeg od poligona je u isto vrijeme stranica samo jednog drugog poligona na istoj strani;
- od svakog poligona možete doći do ostalih prolazeći duž poligona koji su uz njega.
Mnogokuti koji čine poliedar su njegova lica, a njihove stranice su rubovi. Vrhovi poliedra su vrhovi poligona. Ako se koncept poligona shvati kao ravne zatvorene izlomljene linije, dolazi se do jedne definicije poliedra. U slučaju kada se pod ovim pojmom podrazumijeva dio ravnine koji je ograničen isprekidanim linijama, onda treba razumjeti površinu koja se sastoji od poligonalnih dijelova. Konveksni poliedar je tijelo koje leži na jednoj strani ravnine koja se nalazi uz njegovo lice.
Još jedna definicija poliedra i njegovih elemenata
Poliedar je površina koja se sastoji od poligona koja ograničava geometrijsko tijelo. Oni su:
- nekonveksan;
- konveksno (ispravno i netočno).
Pravilan poliedar je konveksan poliedar s maksimalnom simetrijom. Elementi pravilnih poliedara:
- tetraedar: 6 rubova, 4 lica, 5 vrhova;
- heksaedar (kocka): 12, 6, 8;
- dodekaedar: 30, 12, 20;
- oktaedar: 12, 8, 6;
- ikosaedar: 30, 20, 12.
Eulerov teorem
Uspostavlja odnos između broja bridova, vrhova i lica koja su topološki ekvivalentna sferi. Zbrajanjem broja vrhova i strana (B + D) raznih pravilnih poliedara i usporedbom s brojem bridova može se ustanoviti jedan uzorak: zbroj broja lica i vrhova jednak je povećanom broju bridova (P). po 2. Možete izvesti jednostavnu formulu:
B + D=R + 2
Ova formula vrijedi za sve konveksne poliedre.
Osnovne definicije
Koncept pravilnog poliedra ne može se opisati jednom rečenicom. To je sadržajnije i obimnije. Da bi tijelo bilo prepoznato kao takvo, mora zadovoljiti niz definicija. Dakle, geometrijsko tijelo će biti pravilan poliedar ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:
- je konveksan;
- isti broj bridova konvergira na svakom od njegovih vrhova;
- sva njegova lica su pravilni poligoni, jednaki jedan drugom;
- svi njegovi diedralni kutovi su jednaki.
Svojstva pravilnog poliedra
Postoji 5 različitih vrsta pravilnih poliedara:
- Kocka (heksaedar) - ima ravan kut na vrhu je 90°. Ima 3-strani kut. Zbroj ravnih kutova na vrhu je 270°.
- Tetraedar - ravan kut na vrhu - 60°. Ima 3-strani kut. Zbroj ravnih kutova na vrhu je 180°.
- Oktaedar - kut ravnog vrha - 60°. Ima 4-strani kut. Zbroj ravnih kutova na vrhu je 240°.
- Dodekaedar - ravan kut na vrhu 108°. Ima 3-strani kut. Zbroj ravnih kutova na vrhu je 324°.
- Ikosaedar - ima ravan kut na vrhu - 60°. Ima 5-strani kut. Zbroj ravnih kutova na vrhu je 300°.
Površina pravilnih poliedara
Površina ovih geometrijskih tijela (S) izračunava se kao površina pravilnog poligona pomnožena s brojem njegovih strana (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Zapremina pravilnog poliedra
Ova vrijednost se izračunava množenjem volumena pravilne piramide, u čijoj se osnovi nalazi pravilan poligon, s brojem lica, a njena visina je polumjer upisane kugle (r):
V=1: 3rS
Volume pravilnih poliedara
Kao i svako drugo geometrijsko tijelo, pravilni poliedri imaju različite volumene. Ispod su formule po kojima ih možete izračunati:
- tetraedar: α x 3√2: 12;
- oktaedar: α x 3√2: 3;
- ikosaedar; α x 3;
- heksaedar (kocka): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaedar: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementi pravilnih poliedara
Heksaedar i oktaedar su dualna geometrijska tijela. Drugim riječima, mogu se dobiti jedna od druge ako se težište lica jednoga uzme kao vrh drugoga, i obrnuto. Ikosaedar i dodekaedar su također dualni. Samo je tetraedar dualan samom sebi. Prema Euklidskoj metodi, dodekaedar možete dobiti od heksaedra izgradnjom "krovova" na stranama kocke. Vrhovi tetraedra bit će bilo koja 4 vrha kocke koji nisu susjedni u parovima duž brida. Iz heksaedra (kocke) možete dobiti druge pravilne poliedre. Unatoč činjenici da postoji bezbroj pravilnih poligona, postoji samo 5 pravilnih poliedara.
Radijus pravilnih poligona
Postoje 3 koncentrične sfere povezane sa svakim od ovih geometrijskih tijela:
- opisano, prolazeći kroz njegove vrhove;
- upisano, dodirujući svako njegovo lice u središtu;
- medijan, dodirujući sve rubove u sredini.
Polumjer opisane sfere izračunava se sljedećom formulom:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Polumjer upisane kugle izračunava se po formuli:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
gdje je θ diedralni kut između susjednih strana.
Polumjer srednje sfere može se izračunati pomoću sljedeće formule:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
gdje je h vrijednost=4, 6, 6, 10 ili 10. Omjer opisanog i upisanog polumjera je simetričan u odnosu na p i q. Toizračunato po formuli:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simetrija poliedara
Simetrija pravilnih poliedara uzrokuje glavni interes za ova geometrijska tijela. Podrazumijeva se kao takvo kretanje tijela u prostoru, koje ostavlja isti broj vrhova, lica i bridova. Drugim riječima, pod učinkom transformacije simetrije, brid, vrh, lice ili zadržava svoj izvorni položaj ili se pomiče na izvorni položaj drugog ruba, vrha ili lica.
Elementi simetrije pravilnih poliedara karakteristični su za sve vrste takvih geometrijskih tijela. Ovdje govorimo o identičnoj transformaciji koja ostavlja bilo koju od točaka u izvornom položaju. Dakle, kada rotirate poligonalnu prizmu, možete dobiti nekoliko simetrija. Bilo koji od njih može se predstaviti kao proizvod refleksije. Simetrija koja je proizvod parnog broja refleksija naziva se ravna linija. Ako je umnožak neparnog broja refleksija, onda se naziva inverznim. Dakle, sve rotacije oko pravca su izravne simetrije. Svaki odraz poliedra je inverzna simetrija.
Da bismo bolje razumjeli elemente simetrije pravilnih poliedara, možemo uzeti primjer tetraedra. Svaka ravna crta koja će prolaziti kroz jedan od vrhova i središte ovog geometrijskog lika također će proći kroz središte lica nasuprot njemu. Svaki od zavoja od 120° i 240° oko linije je množina.simetrija tetraedra. Budući da ima 4 vrha i 4 lica, postoji samo osam izravnih simetrija. Bilo koja od linija koja prolazi sredinom ruba i središtem ovog tijela prolazi sredinom njegovog suprotnog ruba. Svaka rotacija za 180°, koja se zove pola okreta, oko ravne linije je simetrija. Budući da tetraedar ima tri para bridova, postoje još tri izravne simetrije. Na temelju prethodno navedenog možemo zaključiti da će ukupan broj izravnih simetrija, uključujući identičnu transformaciju, doseći dvanaest. Tetraedar nema druge izravne simetrije, ali ima 12 inverznih simetrija. Stoga tetraedar karakteriziraju ukupno 24 simetrije. Radi jasnoće, možete napraviti model pravilnog tetraedra od kartona i osigurati da ovo geometrijsko tijelo zaista ima samo 24 simetrije.
Dodekaedar i ikosaedar najbliži su sferi tijela. Ikosaedar ima najveći broj lica, najveći diedarski kut i može se najčvršće pritisnuti uz upisanu kuglu. Dodekaedar ima najmanji kutni defekt, najveći čvrsti kut na vrhu. Svoju opisanu sferu može ispuniti maksimalno.
Pokreti poliedra
Uobičajeni neumotani poliedri, koje smo svi zajedno lijepili u djetinjstvu, imaju mnogo pojmova. Ako postoji skup poligona, čija je svaka strana identificirana samo s jednom stranom poliedra, tada identifikacija strana mora ispuniti dva uvjeta:
- iz svakog poligona možete prijeći preko poligona koji imajuidentificirana strana;
- identificirane strane moraju imati istu duljinu.
To je skup poligona koji zadovoljavaju ove uvjete koji se naziva razvoj poliedra. Svako od ovih tijela ima nekoliko njih. Tako, na primjer, kocka ih ima 11.
