Vektor je važan geometrijski objekt, uz pomoć njegovih svojstava zgodno je rješavati mnoge probleme na ravnini iu svemiru. U ovom članku ćemo ga definirati, razmotriti njegove glavne karakteristike, a također ćemo pokazati kako se vektor u prostoru može koristiti za definiranje ravnina.
Što je vektor: dvodimenzionalni slučaj
Prije svega, potrebno je jasno razumjeti o kojem objektu je riječ. U geometriji se usmjereni segment naziva vektor. Kao i svaki segment, karakteriziraju ga dva glavna elementa: početna i krajnja točka. Koordinate ovih točaka jednoznačno određuju sve karakteristike vektora.
Razmotrimo primjer vektora na ravnini. Da bismo to učinili, nacrtamo dvije međusobno okomite osi x i y. Označimo proizvoljnu točku P(x, y). Ako ovu točku povežemo s ishodištem (točkom O), a zatim odredimo smjer prema P, tada ćemo dobiti vektor OP¯ (kasnije u članku traka iznad simbola označava da razmatramo vektor). Dolje je prikazan vektorski crtež na ravnini.
Ovdje je također prikazan još jedan vektor AB¯ i možete vidjeti da su njegove karakteristike potpuno iste kao OP¯, ali se nalazi u drugom dijelu koordinatnog sustava. Paralelnim prijevodom OP¯, možete dobiti beskonačan broj vektora s istim svojstvima.
Vektor u svemiru
Svi stvarni objekti koji nas okružuju nalaze se u trodimenzionalnom prostoru. Proučavanje geometrijskih svojstava trodimenzionalnih figura bavi se stereometrijom, koja operira konceptom trodimenzionalnih vektora. Od dvodimenzionalnih se razlikuju samo po tome što njihov opis zahtijeva dodatnu koordinatu, koja se mjeri duž treće okomite x i y osi z.
Slika ispod prikazuje vektor u prostoru. Koordinate njegovog kraja duž svake osi označene su obojenim segmentima. Početak vektora nalazi se u točki presjeka sve tri koordinatne osi, odnosno ima koordinate (0; 0; 0).
Budući da je vektor na ravnini poseban slučaj prostorno usmjerenog segmenta, u članku ćemo razmotriti samo trodimenzionalni vektor.
Vektorske koordinate temeljene na poznatim koordinatama njegovog početka i kraja
Pretpostavimo da postoje dvije točke P(x1; y1; z1) i Q(x2; y2; z2). Kako odrediti koordinate vektora PQ¯. Prvo, potrebno je dogovoriti koja će od točaka biti početak, a koja kraj vektora. U matematici je uobičajeno da se predmetni objekt piše duž njegovog smjera, odnosno P je početak, Q- kraj. Drugo, koordinate vektora PQ¯ izračunavaju se kao razlika između odgovarajućih koordinata kraja i početka, odnosno:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Napominjemo da će promjenom smjera vektora njegove koordinate promijeniti predznak, kako slijedi:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
To znači PQ¯=-QP¯.
Važno je razumjeti još jednu stvar. Gore je rečeno da u ravnini postoji beskonačan broj vektora jednak zadanom. Ova činjenica vrijedi i za prostorni slučaj. Zapravo, kada smo izračunali koordinate PQ¯ u gornjem primjeru, izvršili smo operaciju paralelne translacije ovog vektora na način da se njegovo ishodište poklopilo s ishodištem. Vektor PQ¯ može se nacrtati kao usmjereni segment od ishodišta do točke M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektorska svojstva
Kao i svaki geometrijski objekt, vektor ima neke inherentne karakteristike koje se mogu koristiti za rješavanje problema. Nabrojimo ih ukratko.
Vektorski modul je duljina usmjerenog segmenta. Poznavajući koordinate, lako ga je izračunati. Za vektor PQ¯ u gornjem primjeru, modul je:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektorski modul uključenravnina se izračunava po sličnoj formuli, samo bez sudjelovanja treće koordinate.
Zbroj i razlika vektora provodi se prema pravilu trokuta. Slika ispod pokazuje kako dodati i oduzeti ove objekte.
Da biste dobili vektor zbroja, dodajte početak drugog na kraj prvog vektora. Željeni vektor počinje na početku prvog i završava na kraju drugog vektora.
Razlika se izvodi uzimajući u obzir činjenicu da se oduzeti vektor zamjenjuje suprotnim, a zatim se izvodi gore opisana operacija zbrajanja.
Osim zbrajanja i oduzimanja, važno je znati množiti vektor brojem. Ako je broj jednak k, dobiva se vektor čiji je modul k puta različit od izvornog, a smjer je ili isti (k>0) ili suprotan od izvornog (k<0).
Također je definirana operacija množenja vektora među sobom. Za njega ćemo izdvojiti poseban odlomak u članku.
Skalarno i vektorsko množenje
Pretpostavimo da postoje dva vektora u¯(x1; y1; z1) i v¯(x2; y2; z2). Vektor po vektor može se množiti na dva različita načina:
- Skalar. U ovom slučaju, rezultat je broj.
- Vektor. Rezultat je neki novi vektor.
Skalarni proizvod vektora u¯ i v¯ izračunava se na sljedeći način:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Gdje je α kut između zadanih vektora.
Može se pokazati da se znajući koordinate u¯ i v¯, njihov točkasti umnožak može izračunati pomoću sljedeće formule:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skalarni proizvod je prikladan za korištenje kada se vektor rastavlja na dva okomito usmjerena segmenta. Također se koristi za izračunavanje paralelizma ili ortogonalnosti vektora i za izračunavanje kuta između njih.
Unakrsni proizvod u¯ i v¯ daje novi vektor koji je okomit na originalne i ima modul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Smjer prema dolje ili gore novog vektora određen je pravilom desne ruke (četiri prsta desne ruke usmjerena su od kraja prvog vektora do kraja drugog, a palac strši prema gore označava smjer novog vektora). Slika ispod prikazuje rezultat unakrsnog proizvoda za proizvoljni a¯ i b¯.
Unakrsni proizvod se koristi za izračunavanje površina likova, kao i za određivanje koordinata vektora okomitog na danu ravninu.
Vektori i njihova svojstva prikladni su za korištenje pri definiranju jednadžbe ravnine.
Normalna i opća jednadžba ravnine
Postoji nekoliko načina za definiranje ravnine. Jedna od njih je izvođenje opće jednadžbe ravnine, koja izravno slijedi iz poznavanja vektora okomitog na nju i neke poznate točke koja pripada ravnini.
Pretpostavimo da postoji vektor n¯ (A; B; C) i točka P (x0; y0; z 0). Koji uvjet će zadovoljiti sve točke Q(x; y; z) ravnine? Ovaj se uvjet sastoji u okomitosti bilo kojeg vektora PQ¯ na normalu n¯. Za dva okomita vektora, točkasti proizvod postaje nula (cos(90o)=0), napišite ovo:
(n¯PQ¯)=0 ili
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Otvarajući zagrade, dobivamo:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 ili
Ax + By + Cz +D=0 gdje je D=-Ax0-By0-Cz0.
Ova se jednadžba naziva općom za ravninu. Vidimo da su koeficijenti ispred x, y i z koordinate okomitog vektora n¯. Zove se avionski vodič.
Vektorska parametarska jednadžba ravnine
Drugi način definiranja ravnine je korištenje dva vektora koja leže u njoj.
Pretpostavimo da postoje vektori u¯(x1; y1; z1) i v¯(x2; y2; z2). Kao što je rečeno, svaki od njih u prostoru može biti predstavljen beskonačnim brojem identičnih usmjerenih segmenata, stoga je potrebna još jedna točka za jednoznačno određivanje ravnine. Neka je ova točka P(x0;y0; z0). Bilo koja točka Q(x; y; z) ležat će u željenoj ravnini ako se vektor PQ¯ može predstaviti kao kombinacija u¯ i v¯. To jest, imamo:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Gdje su α i β neki realni brojevi. Iz ove jednakosti slijedi izraz:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Zove se parametarska vektorska jednadžba ravnine s obzirom na 2 vektora u¯ i v¯. Zamjenom proizvoljnih parametara α i β, moguće je pronaći sve točke (x; y; z) koje pripadaju ovoj ravnini.
Iz ove jednadžbe lako je dobiti opći izraz za ravninu. Da biste to učinili, dovoljno je pronaći vektor smjera n¯, koji će biti okomit na oba vektora u¯ i v¯, odnosno treba primijeniti njihov vektorski produkt.
Problem određivanja opće jednadžbe ravnine
Pokažimo kako koristiti gornje formule za rješavanje geometrijskih problema. Pretpostavimo da je vektor smjera ravnine n¯(5; -3; 1). Trebali biste pronaći jednadžbu ravnine, znajući da joj pripada točka P(2; 0; 0).
Opća jednadžba je napisana kao:
Ax + By + Cz +D=0.
Budući da je vektor okomit na ravninu poznat, jednadžba će imati oblik:
5x - 3y + z +D=0.
Ostaje pronaći slobodni termin D. Računamo ga iz poznavanja koordinata P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Dakle, željena jednadžba ravnine ima oblik:
5x - 3y + z -10=0.
Slika ispod pokazuje kako izgleda rezultirajuća ravnina.
Naznačene koordinate točaka odgovaraju sjecištima ravnine s osi x, y i z.
Problem određivanja ravnine kroz dva vektora i točku
Sad pretpostavimo da je prethodna ravnina drugačije definirana. Poznata su dva vektora u¯(-2; 0; 10) i v¯(-2; -10/3; 0), kao i točka P(2; 0; 0). Kako napisati jednadžbu ravnine u vektorskom parametarskom obliku? Koristeći razmatranu odgovarajuću formulu, dobivamo:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Primjetite da se definicije ove jednadžbe ravnine, vektori u¯ i v¯ mogu uzeti apsolutno bilo koje, ali uz jedan uvjet: ne smiju biti paralelni. Inače, ravnina se ne može jednoznačno odrediti, međutim, može se pronaći jednadžba za gredu ili skup ravnina.
