Metode za postavljanje jednadžbi linija u ravnini i u trodimenzionalnom prostoru

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Prava crta je glavni geometrijski objekt na ravnini iu trodimenzionalnom prostoru. Od ravnih crta se grade mnoge figure, na primjer: paralelogram, trokut, prizma, piramida i tako dalje. Razmotrite u članku različite načine postavljanja jednadžbi linija.

Definicija ravne linije i vrste jednadžbi za njeno opisivanje

Svaki učenik ima dobru ideju o kojem geometrijskom objektu govori. Ravni pravac se može predstaviti kao skup točaka, a ako svaku od njih naizmjence povežemo sa svim ostalima, onda ćemo dobiti skup paralelnih vektora. Drugim riječima, moguće je doći do svake točke pravca iz jedne od njegovih fiksnih točaka, prenoseći je u neki jedinični vektor pomnožen realnim brojem. Ova definicija ravne linije koristi se za definiranje vektorske jednakosti za njen matematički opis iu ravnini iu trodimenzionalnom prostoru.

Prava linija može se matematički predstaviti sljedećim vrstama jednadžbi:

općenito;
vektor;
parametrijski;
u segmentima;
simetrično (kanonsko).

Dalje ćemo razmotriti sve imenovane tipove i pokazati kako s njima raditi na primjerima rješavanja problema.

Vektorski i parametarski opis ravne linije

Počnimo s definiranjem ravne linije kroz poznati vektor. Pretpostavimo da postoji fiksna točka u prostoru M(x₀; y₀; z_{0). Poznato je da kroz njega prolazi pravac i usmjeren je duž vektorskog segmenta v¯(a; b; c). Kako iz ovih podataka pronaći proizvoljnu točku pravca? Odgovor na ovo pitanje dat će sljedeću jednakost:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Gdje je λ proizvoljan broj.

Sličan izraz može se napisati za dvodimenzionalni slučaj, gdje su koordinate vektora i točaka predstavljene skupom od dva broja:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Napisane jednadžbe nazivaju se vektorske jednadžbe, a sam usmjereni segment v¯ je vektor smjera za ravnu liniju.

Iz napisanih izraza jednostavno se dobivaju odgovarajuće parametarske jednadžbe, dovoljno ih je eksplicitno prepisati. Na primjer, za slučaj u prostoru, dobivamo sljedeću jednadžbu:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Prikladno je raditi s parametarskim jednadžbama ako trebate analizirati ponašanjesvaka koordinata. Imajte na umu da iako parametar λ može uzeti proizvoljne vrijednosti, on mora biti isti u sve tri jednakosti.

Opća jednadžba

Drugi način definiranja ravne linije, koji se često koristi za rad s razmatranim geometrijskim objektom, je korištenje opće jednadžbe. Za dvodimenzionalni slučaj, to izgleda ovako:

Ax + By + C=0

Ovdje velika latinična slova predstavljaju određene numeričke vrijednosti. Pogodnost ove jednakosti u rješavanju problema leži u činjenici da ona eksplicitno sadrži vektor koji je okomit na pravu liniju. Ako ga označimo s n¯, možemo napisati:

n¯=[A; B

Osim toga, izraz je prikladan za određivanje udaljenosti od ravne do neke točke P(x₁; y_{1). Formula za udaljenost d je:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Lako je pokazati da ako eksplicitno izrazimo varijablu y iz opće jednadžbe, dobivamo sljedeći dobro poznati oblik pisanja ravne linije:

y=kx + b

Gdje su k i b jedinstveno određeni brojevima A, B, C.

Jednadžba u segmentima i kanonska

Jednadžba u segmentima najlakše je dobiti iz općeg pogleda. Pokazat ćemo vam kako to učiniti.

Pretpostavimo da imamo sljedeći redak:

Ax + By + C=0

Pomaknite slobodni član na desnu stranu jednakosti, zatim podijelite cijelu jednadžbu s njom, dobit ćemo:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, gdje je q=-C / A, p=-C / B

Dobili smo takozvanu jednadžbu u segmentima. Ime je dobio zbog činjenice da nazivnik kojim se svaka varijabla dijeli pokazuje vrijednost koordinate presjeka pravca s odgovarajućom osi. Prikladno je koristiti ovu činjenicu za prikaz ravne linije u koordinatnom sustavu, kao i za analizu njenog relativnog položaja u odnosu na druge geometrijske objekte (ravne linije, točke).

Sad prijeđimo na dobivanje kanonske jednadžbe. To je lakše učiniti ako uzmemo u obzir parametarsku opciju. Za slučaj u avionu imamo:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Izražavamo parametar λ u svakoj jednakosti, zatim ih izjednačavamo, dobivamo:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Ovo je željena jednadžba napisana u simetričnom obliku. Baš kao vektorski izraz, on eksplicitno sadrži koordinate vektora smjera i koordinate jedne od točaka koja pripada pravoj.

Može se vidjeti da smo u ovom odlomku dali jednadžbe za dvodimenzionalni slučaj. Slično, možete napisati jednadžbu ravne linije u prostoru. Ovdje treba napomenuti da ako kanonski oblikzapisi i izraz u segmentima imat će isti oblik, tada je opća jednadžba u prostoru za ravnu liniju predstavljena sustavom dviju jednadžbi za ravnine koje se sijeku.

Problem konstruiranja jednadžbe ravne linije

Iz geometrije svaki učenik zna da kroz dvije točke možete povući jednu liniju. Pretpostavimo da su sljedeće točke dane u koordinatnoj ravnini:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Potrebno je pronaći jednadžbu pravca kojoj obje točke pripadaju, u segmentima, u vektorskom, kanonskom i općem obliku.

Idemo prvo dobiti vektorsku jednadžbu. Da biste to učinili, definirajte za vektor izravnog smjera M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Sada možete stvoriti vektorsku jednadžbu uzimajući jednu od dvije točke navedene u opisu problema, na primjer, M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Da bismo dobili kanonsku jednadžbu, dovoljno je pronađenu jednakost transformirati u parametarski oblik i isključiti parametar λ. Imamo:

x=-1 - 2λ, dakle λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, tada dobivamo λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Preostale dvije jednadžbe (opće i u segmentima) mogu se pronaći iz kanonske transformacije na sljedeći način:

x + 1=-2y + 6;

opća jednadžba: x + 2y - 5=0;

u segmentnoj jednadžbi: x / 5 + y / 2, 5=1

Rezultirajuće jednadžbe pokazuju da vektor (1; 2) mora biti okomit na pravu. Doista, ako pronađete njegov skalarni proizvod s vektorom smjera, tada će biti jednak nuli. Jednadžba segmenta linije kaže da pravac siječe x-os na (5; 0) i y-os na (2, 5; 0).

Problem određivanja točke presjeka linija

Dvije ravne su dane na ravnini sljedećim jednadžbama:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Potrebno je odrediti koordinate točke u kojoj se ove linije sijeku.

Postoje dva načina za rješavanje problema:

Transformirajte vektorsku jednadžbu u opći oblik, a zatim riješite sustav dviju linearnih jednadžbi.
Ne izvodite nikakve transformacije, već jednostavno zamijenite koordinatu točke presjeka, izraženu kroz parametar λ, u prvu jednadžbu. Zatim pronađite vrijednost parametra.

Učinimo drugi način. Imamo: