Formula za volumen šesterokutne piramide: primjer rješavanja problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-02 17:48

Izračunavanje volumena prostornih figura jedan je od važnih zadataka stereometrije. U ovom članku razmotrit ćemo pitanje određivanja volumena takvog poliedra kao piramide, a također ćemo dati formulu za volumen pravilne šesterokutne piramide.

šesterokutna piramida

Prvo, pogledajmo koja je brojka, o čemu će biti riječi u članku.

Imamo proizvoljan šesterokut čije stranice nisu nužno jednake jedna drugoj. Također pretpostavimo da smo odabrali točku u prostoru koja nije u ravnini šesterokuta. Spajanjem svih kutova potonjeg s odabranom točkom, dobivamo piramidu. Dvije različite piramide sa šesterokutnom bazom prikazane su na donjoj slici.

Može se vidjeti da se lik osim šesterokuta sastoji od šest trokuta čija se spojna točka naziva vrh. Razlika između prikazanih piramida je u tome što visina h desne od njih ne siječe šesterokutnu bazu u njenom geometrijskom središtu, a visina lijeve figure padabaš u tom centru. Zahvaljujući ovom kriteriju, lijeva piramida nazvana je ravna, a desna - koso.

Budući da bazu lijevog lika na slici čini šesterokut s jednakim stranicama i kutovima, naziva se točnim. Dalje u članku ćemo govoriti samo o ovoj piramidi.

Volum heksagonalne piramide

Za izračunavanje volumena proizvoljne piramide vrijedi sljedeća formula:

V=1/3hS_o

Ovdje je h duljina visine figure, S_{o je površina njezine baze. Upotrijebimo ovaj izraz da odredimo volumen pravilne šesterokutne piramide.}

Budući da se brojka koja se razmatra temelji na jednakostraničnom šesterokutu, za izračunavanje njegove površine možete koristiti sljedeći opći izraz za n-kut:

S=n/4a2ctg(pi/n)

Ovdje je n cijeli broj jednak broju strana (uglova) poligona, a je duljina njegove stranice, kotangensna funkcija se izračunava pomoću odgovarajućih tablica.

Primjenom izraza za n=6, dobivamo:

S₆=6/4a² ctg(pi/6)=√3/2a ²

Sada preostaje zamijeniti ovaj izraz u opću formulu za volumen V:

V₆=S₆h=√3/2ha²

Dakle, da bi se izračunao volumen piramide koja se razmatra, potrebno je znati njena dva linearna parametra: duljinu stranice baze i visinu figure.

Primjer rješavanja problema

Pokažimo kako se dobiveni izraz za V_{6 može koristiti za rješavanje sljedećeg problema.}

Poznato je da je volumen pravilne šesterokutne piramide 100 cm3. Potrebno je odrediti stranu baze i visinu figure, ako je poznato da su međusobno povezane sljedećom jednakošću:

a=2h

Budući da su samo a i h uključeni u formulu za volumen, bilo koji od ovih parametara se može zamijeniti u nju, izraženo u terminima drugog. Na primjer, zamijenite a, dobivamo:

V₆=√3/2h(2h)^2=>

h=∛(V_6/(2√3))

Da biste pronašli vrijednost visine figure, trebate uzeti korijen trećeg stupnja iz volumena, koji odgovara dimenziji duljine. Zamijenimo vrijednost volumena V_{6 piramide iz iskaza problema, dobivamo visinu:}

h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm

Budući da je strana baze, u skladu s uvjetom problema, dvostruko veća od pronađene vrijednosti, za nju dobivamo vrijednost:

a=2h=23, 0676=6, 1352 cm

Obujam šesterokutne piramide može se pronaći ne samo kroz visinu figure i vrijednost stranice njezine baze. Za izračun je dovoljno poznavati dva različita linearna parametra piramide, na primjer, apotemu i duljinu bočnog ruba.